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直线与方程
【基础知识归纳】
一、直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的概念：（1）倾斜角：当直线与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角a叫做直线的倾斜角。（2）倾斜角的范围： 0°≤a＜180°。
2、直线的斜率
（1）斜率公式：K=tana（a≠90°）（2）斜率坐标公式：K= （x1≠x2）
（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当a=0°时，k=0；当0°＜a＜90°时，k＞0，且a越大，k越大；当a=90°时，k不存在；当90°＜a＜180°时，k＜0，且a越大，k越大。
二、两直线平行与垂直的判定
1、两直线平行的判定：
（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行；
（2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k1=k2 Û ∥
2、两直线垂直的判定：
（1）一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两直线垂直；
（2）如果两条直线、的斜率都存在，且都不为0，则⊥ Û k1·k2=－1
三、直线方程
点斜式：，(斜率存在) 斜截式： (斜率存在)
两点式：，(不垂直坐标轴) 截距式： (不垂直坐标轴,不过原点)
一般式：.
四、直线的交点与距离公式
1．求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。
相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.重合方程组有无数解.
2. ①两点间距离： 推导方法：构造直角三角形“勾股定理”；
②点到直线距离： 推导方法：构造直角三角形“面积相等”；
③平行直线间距离： 推导方法：在y轴截距代入②式；
五、直线系方程
1．平行直线系
平行已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）
2.垂直直线系
垂直已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）
3.过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；
（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为
（为参数），其中直线不在直线系中。
【题型分析】
题型1：直线的倾斜角与斜率
例1：已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与
线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围.
解：如图所示, 直线PA的斜率是,
直线PB的斜率是.
当直线由PA变化到y轴平行位置PC, 它的倾斜角由锐角增至90°，斜率的变化范围是[5,；当直线由PC变化到PB位置，它的倾斜角由90°增至，斜率的变化范围是.
所以斜率的变化范围是.
例2．直线2xcosα－y－3＝0(α∈)的倾斜角的变化范围是(　　)
A. B. C. D.
解析：直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，由于α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2cosα∈.设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈，由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.选B.
变式：1．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解析：记圆心为,记上、下两切点分别记为、，则
，∴的斜率即.
2．直线的倾斜角的取值范围是_______
分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于的一个三角不等式即可．
解：已知直线的方程为，其斜率．
由，得，即．由，得．
说明：解题易得出错误的结果，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．
题型2：直线与直线的位置关系
例：已知两条直线和互相垂直，则等于 ( D )
A．2　　 B．1　 C．0　 D．
变式：已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线l1∥l2的 (B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型3：直线的方程
例1：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________．
解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.
例2：直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解．
解法一：由于直线在两轴上有截距，因此直线不与、轴垂直，斜率存在，且．
设直线方程为，
令，则，令，则．由题设可得，解得或．
所以，的方程为或．故直线的方程为或．
解法二：由题设，设直线在、轴的截距均为．
若，则过点，又过点，∴的方程为，即：．
若，则设为．由过点，知，故．
∴的方程．综上可知，直线的方程为或．
变式：1.已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．
解：直线l:3x+4y－12=0的斜率为，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为，
又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即
2.已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程．
解：由已知得与两坐标轴不垂直．
∵直线经过点，∴ 可设直线的方程为，即.
则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.
根据题意得，即.
当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，此方程无实数解.
故直线的方程为，或. 即或.
3．直线过点（－1，3），倾斜角的正弦是，求直线的方程
解：因为倾斜角的范围是：，又由题意：，所以：，
直线过点（－1，3），由直线的点斜式方程得到：，即：或．
说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．
题型4：与交点有关的问题
例1：已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.
【解】解方程组得交点(－).
若＞0，则＞1.当＞1时，－＜0，此时交点在第二象限内.又因为为任意实数时，都有1＞0，故≠0.因为≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在轴上
【点拨】也可先讨论=1时，两直线平行，无交点.再考虑≠1时的情况.
变式：若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的斜率的取值范围.
【分析】可通过联立方程组将交点坐标解出，再求直线l的倾斜角的取值范围，也可以通过数形结合解决.
【解】如图，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l：y＝kx必过点（0，－）.当直线l过A点时，两直线的交点在x轴；当直线l绕C点逆时针（由位置AC到位置BC）旋转时，交点在第一象限. 根据，得到直线l的斜率k>. ∴倾斜角范围为.
【点拨】此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.
题型5：距离
例1：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 ( C )
A．36 B. 18 C. D.
解析：圆的圆心为(2，2)，半径为3，
圆心到直线的距离为>3，
圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.
例2：直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.
【解】找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点. 设, 则
，解得， 所以线段.
【点拨】问题转化为两定点在直线的同侧时，直线上有一点与两定点之间的距离之差有最大值；两定点在直线的异侧时，直线上有一点与两定点之间的距离之和有最小值
例3：已知点到直线的距离为，求的值；
解：

例4：求与直线及都平行且到它们的距离都相等的直线方程.
解：直线的方程化为. 设所求直线的方程为，
则，即，解得. 所以所求直线方程为.
【点拨】与两条平行直线，都平行且到它们的距离都相等的直线方程.
题型6：过定点问题
例:求证：直线恒过某一定点P，并求该定点的坐标。
解法一(换元法)　直线方程中的点斜式可以表明直线过点P（，），
因此我们可以将直线的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式，
从而证明该直线恒过定点，并且可直接求得该定点。
证明：，当时，
。　　令。
由此可得。　　即原直线方程可化为。
由直线的点斜式方程可知该直线过点P（3，1）。
当即时，原直线可化为，此时点（3，1）仍然在直线上。
综上，直线恒过定点P（3，1）。
解法二：(参数分离法)此法为常用方法.
分析：对于直线方程来说，如果我们将其中的m看作参数，
并将其分离得0，此时我们令，，
则这两条直线的交点P（，）一定满足直线方程0，
即P（，）在直线上，这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了。
证明：。
令，=0，解方程组得
令点P为（3，1），因点P（3，1）满足。所以也满足。
进一步得点P（3，1）满足。故直线恒过定点P
练习：已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点 (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，
所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是k≥0.
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A(－，0)，B(0,1＋2k)，又－<0且1＋2k>0，∴k>0，故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)
＝(4k＋＋4)≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
题型7：对称问题
（一）特殊的对称问题

点M（x,y）
直线Ax+By+C=0
关于x轴对称
（x,-y）
Ax+B(-y)+C=0
关于y轴对称
（-x,y）
A(-x)+By+C=0
关于原点对称
（-x,-y）
A(-x)+B(-y)+C=0
关于直线y=x对称
（y,x）
Ay+Bx+C=0
关于直线y=-x对称
（-y,-x）
A(-y)+B(-y)+C=0
简单的说，要想得到对称的直线方程，只需将对应的对称点的坐标代入即可；函数亦然。
（二）一般的对称问题
1.点关于点的对称点
注：点（x,y）关于点(m,n)的对称点为(2m-x,2n-y)。 利用点(m,n)是两点连线的中点。
例1:求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.
解： B是线段AC的中点，设点C（x，y），由中点坐标公式有，解得，故C（4，6）.
练习：求点A（2,2）关于点（-1，5）的对称点坐标。
2．点关于直线的对称点
注：先利用直线AB与直线l互相垂直可以求出直线AB的方程；然后求出直线AB与直线l的交点C;再利用点C是线段AB的中点求出点B的坐标.
例：求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.
解 据分析，直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为（x，y），则AA′的中点B的坐标为
由题意可知，，解得. 故所求点A′的坐标为
练习：求点A（2,2）关于直线l:2x-4y+9=0的对称点B坐标。
3.直线关于点的对称直线
注：两条直线是平行线,可以先设出所求直线的方程Ax+By+C=0;再利用点到两线的距离相等列出方程求出待定系数即可．需要注意的是方程应有两个根,其一为所求直线的C值,其二为已知直线的C值.
例：求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B（8，2）代入，解得c=-38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
练习：求直线 y=2x+3关于点A（2,2）对称的直线方程。
4.．直线关于直线的对称直线
(1) 两条直线是平行线：两条直线是平行线,则所求直线与已知两条直线也是平行线.可以先设出所求直线的方程Ax+By+C=0;再利用直线到直线线的距离相等列出方程求出待定系数即可．需要注意的是方程应有两个根,其一为所求直线的C值,其二为已知直线的C值.
例：求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l的方程为x-y+3=0.
练习：求直线 y=2x+3关于直线 y=2x-1对称的直线方程。
(2) 两条直线是相交直线：两条直线是相交直线,则所求直线与已知两条直线也是相交直线,并且经过已知两条直线的交点.在此利用的知识为直线到直线的角相等,求出所求直线的斜率,再代入点斜式方程即可。
例：试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.
解 由解得l1，l2的交点，设所求直线l的斜率为k，
由到角公式得，，所以k=-7.由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0.
练习：求直线 y=2x+3关于直线 y=x-1对称的直线方程。
题型8：有关最值的问题
例：已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．
解：线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，∴1＝＋≥2 ，∴xy≤3.(当且仅当x＝，y＝2时取“＝”)．
练习：
1.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为 (　　)
A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0 C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0
解析：设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则有＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝5＋＋≥5＋4＝9，
∴直线方程为2x＋y－6＝0.
2.若点A(a,0)，B(0，b)，C(1，－1)(a>0，b<0)三点共线，则a－b的最小值等于________．
解析：因为A(a,0)，B(0，b)，C(1，－1)三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，整理得－＝1，于是a－b＝(a－b)＝2－－＝2＋≥2＋2＝4，即a－b的最小值等于4.
3.直线过点（2，1），且分别交轴、轴的正半轴于点、．点是坐标原点，（1）求当面积最小时直线的方程；（2）当最小时，求直线的方程．
解：（1）如图，设，，的面积为，则
并且直线的截距式方程是 ＋＝1
由直线通过点（2，1），得 ＋＝1，所以:＝＝
因为点和点在轴、轴的正半轴上，所以上式右端的分母．由此得:，当且仅当，即时，面积取最小值4，这时，直线的方程是:＋＝1，即:
（2）设，则＝，＝，如图，所以 ＝＝
当＝45°时有最小值4，此时，直线的方程为．
说明：此题与不等式、三角联系紧密，解法很多，有利于培养学生发散思维，综合能力和灵活处理问题能力．动画素材中有关于此题的几何画板演示．
直线与方程练习
1.直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（ ）
A. B. C. D.－2，－3
2. 直线x - y + 3 = 0的倾斜角是（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
3.直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（ ）
A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直
4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为 (　　)
A.　　　　　　　　　B．－ C. D．－
5．直线x=3的倾斜角是（ ）
A.0 B. C.p D.不存在
6. 点（-1，2）关于直线y =x -1的对称点的坐标是（ ）
（A）（3，2） （B）（-3，-2） （C）（-3，2） （D）（3，-2）
7. 三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x－y=10相交于一点，则a的值是
A.－2 B.－1 C.0 D.1
8.“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的( )
（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
9.已知直线l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是
10.已知直线l1:x+ay+1=0与直线l2:x－2y+2=0垂直，则a的值为（ ）
A．2 B．－2 C．－ D．
11. 不论k为何实数，直线（2k－1）x－（k＋3）y－（k－11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是（ ）
A． （5, 2） B． （2, 3） C．（5, 9） D．（－,3）
12. 若Ａ（-2，3），Ｂ（3，-2），Ｃ（，m）三点共线 则ｍ的值为
13.直线l1：x＋my＋6=0与l2：(m－2)x＋3y＋2m=0，若则=__________;
14.直线mx＋ny＝1（mn≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为
15．已知点A(2,3)，B(－5,2)，若直线l过点P(－1,6)，且与线段AB相交，则该直线倾斜角的取值范围是
16．当时，两条直线、的交点在 象限．2
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