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单调动力系统理论概述及应用
张秋华
（池州学院 数学与计算机科学系，安徽 池州 247000）
[摘要] 本文介绍了单调动力系统的两个主要性质：极限集二分性和拟收敛点的几乎处处性，并给出了在泛函微分方程中的一个应用。
[关键词]单调动力系统；极限集二分性；拟收敛
中文分类号：
作者简介: 张秋华（1981－）男，安徽巢湖人，池州学院助教，在职硕士，主要研究方向：数理统计，多重比较，破产概率。E-mail:haim1211@。

自从19世纪末Poincaré等人从经典力学和微分方程的定性理论的研究中提出动力系统的概念以来，动力系统方法就成为研究微分方程的一个主要工具。动力系统的一个核心问题是轨线的渐近性态和拓扑结构，它包含两层含义，即轨线的极限集的构成及轨线趋近于它的方式。近几十年的非线性动力学研究成果表明，任何期望笼统的研究动力系统的渐近性态的想法似乎是不可取的也是行不通的。因此，我们只能期望于研究某些系统具有哪些通有性质，最简单的情况是轨线被吸引到平衡点。自然要问，哪些动力系统的所有或绝大多数的轨道具有这种通有性质了？由M.W.Hirsch和Hal Smith等人[2-6,8,9]发展起来的单调动力系统对此作了一个相当完美和成功的回答。本文简单介绍这方面的研究近况，并给出一个具体的例子加以说明。
一、 定义及记号：
定义1：令为带有正锥的序空间，，如果，则记为；如果，且，则记为。如果序空间的正锥有非空内部，即，称为强序空间。，如果，则记为。
定义2：映射称为上的半流，如果下面两条成立：
（），
（），
对于上的半流，，记为的轨道，为的正极限集，为的平衡点集合，即。如果，，则称点为拟收敛点；如果，则称为收敛点。记上所有拟收敛点集合为，上所有收敛点集合为。对于，记表示以{}为极限集的所有收敛点集合，则。
下面假设为（强）序空间上的半流，我们给出一些概念。
定义3：称为上的单调半流，如果，；称为上的强单调半流，如果， ；称为上的SOP（strongly order-preserving）半流，如果是单调半流，且，存在，，使得，从而，。
二、一些简单性质及命题：
命题1：（收敛准则）设是上的单调半流，有紧的轨道闭包，且存在使得，则为周期的周期轨。进一步地，如果使得成立的为的开集且非空，或者是上的SOP半流且，则。
命题2：（极限集的无序性）设为单调半流的正极限集，则
（）不存在，使得；
（）如果是周期轨或者是SOP的，则不存在，使得。
下面我们假设是序空间上的SOP半流，且每条轨道都有紧的闭包。通过几个命题，我们给出SOP半流的极限集二分性原理。
命题3：（共极限原理）设，存在，使得，则。
证明：选取的邻域，，使得，令
，。则当时，有。因此（*）式——，对，足够大的成立。
由于，其中，
则 对足够大的成立。
上式两边对求极限，得到，。
同理在（*）式中将，，再对求极限，
得到 ， 。所以，，故。
命题4：（相交原理）设，则。如果，，则。
证明：设，则存在{}，，使得，
，由单调性知。如果，由于，
则由命题2知矛盾，所以。再由命题3知。
命题5：（吸收原理）设，，使得（），
则（）。
证明：不妨设，则存在，的邻域，，，
使得 。由的不变性知。
由于，存在，使得。则由的不变性和单调性知：
对成立，从而。
下证。否则的话，由极限集的无序性知，
，矛盾。所以，命题得证。
命题6：（分离原理）设，存在使得，，如果，则。
下面我们给出SOP半流极限集的一个特征。
定理1：（极限集二分性）设，则
（）
（）。且若，使得当且仅当。
证明：如果，则由相交原理知（）成立。如果，不妨设存在（另一方面亦证）。则存在，使得，而且（如有必要取的子列）。由单调性知，再由知。所以由分离原理知，命题得证。
下面我们再给出两个相关定义，并由此给出SOP半流的拟收敛点稠密的性质。
定义4：为序空间的子集，称（可能为空集）为的下界，如果，，则称为的下确界，记为。同样有上确界的定义。
定义5：点称为下（上）方两次可达，如果对的任意邻域，存在，使得成立。
引理1：设，，如果下方两次可达，则，且。
证明：固定的任意邻域，由的无序性知。由的不变性知，所以，则由收敛准则（命题1）知。
由于，存在的邻域，，使得，对成立。
取，使得，对成立。则当时，有。
令，则，，且有，。
所以 （1）
假设下方两次可达，取，，且，由二分性原理知。
因为，由SOP半流的性质知存在，，有
， 。由二分性知，因此由
，有 ，所以 （2）
由（1），（2）知 ，命题得证。
假设SOP半流除了满足每条轨道都有紧的闭包外，还满足下面条件：
（L）： 的每个极限集有下确界，所有下方两次可达的点集内部在中稠密，或者的每个极限集有上确界，所有上方两次可达的点集内部在中稠密，两者成立其一。
定理2：设为上的SOP半流，每条轨道有紧的闭包，满足条件（L），则，且稠密。
证明：假设满足（L）的第一个条件，另一同样证明。记为所有下方两次可达的点集内部，由引理1知，，所以开集。由于集合是开集当且仅当，因此，所以。
故，从而，所以，命题得证。
三、 简单应用：
单调动力系统的许多结果可以用来解释常微分方程和泛函微分方程中轨线的渐进行为，下面我们举一例加以说明。
考虑滞后微分方程
（3）
其中，连续，满足 （4）
选取相空间，其中的序关系为逐点的意义。
给定，假设（3）满足初值条件的解局部上存在且唯一。
定理3：假设满足条件（4），且初值问题的解有界，则方程（3）的所有解都是收敛的。
证明：由条件（4）知解半流是SOP的（Smith），由于初值问题的解有界，所以所有的轨线有紧的闭包。易知在相空间中条件（L）成立，由定理2知。
因为方程（3）的平衡点解是完全有序的，由极限集的无序性知，从而定理得证。
四、 小结：
单调动力系统理论是单调方法与动力系统观点相结合的产物，其丰富的结果已经应用到常微分方程，泛函微分方程，抛物型微分方程以及偏泛函微分方程当中。由于泛函微分方程，抛物型微分方程以及偏泛函微分方程本身的复杂性，这方面的应用有一定得限制。我们可以通过适当选取这些问题的相空间，以及推广单调动力系统（比如伪单调动力系统，Wu），得到某些相应的结果。
参考文献：
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[8] H.L. Smith. Monotone Dynamical Systems, an introduction to the theory of competitive and cooperative systems, Math. Surveys and Monographs, 41[M]. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1995.
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