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反对称张量在N维空间中的几何意义
By wxy
目录
推广的猜想、通过平面构造二阶张量
面量的基本性质
面量的模
单位面量
面量的“方向”、意义
面量的“点乘”
构造四维二阶张量
四维空间中平面间的位置关系
射影面积定理推广
四维空间中平面间的夹角位置术语
高维空间“叉乘”推广
向量间的叉乘：求法平面
标量与面量间的叉乘：求平面的法平面
叉乘与点乘的关系1
标量与标量间的叉乘：得置换张量
面量与面量间的叉乘：得标量
面量与面量间的叉乘的几何意义
叉乘与点乘的关系2
面量与奇异面量
面量之和有意义的条件
面量与向量的叉积：得到向量推广的猜想、通过平面构造二阶张量
张量是向量的推广。在N维空间中向量有N个分量，而张量则有N的阶数次方个分量。
因为张量、向量在欧氏空间中具有平移不变性，所以我们干脆只讨论已经平移到坐标原点的张量。
标量（〇阶张量）可以表示N维空间中有“大小”、“正负”的原点；
向量（一阶张量）可以表示N维空间中过原点的一条有方向有“大小”（长度）的直线；
由前面的例子我们希望二阶张量能代表有“大小”有“方向”的过原点的平面，但我们该怎么来具体表示呢？让我们先从我们已经熟知的表示方法开始。
已知两个在平面内的不共线（线性独立）的基底、，我们怎样表示这个平面？
N维空间中最一般的平面表示方法是 。但这个式子实际上是个极其简陋原始的方程组，用起来不方便，我们平时熟知的在三维空间中表示平面的方法是表示它的法向量，即 ,但这条路在四维空间中走不通。因为四维空间中与平面完全绝对垂直的也是平面！（“绝对垂直”即在两平面中各取任意一条直线，它们都垂直，详见后面“四维空间中平面间的位置关系”。）我们希望二阶张量能表示“大小”，即和间围成的平行四边形的“面积”，我们假定面积也能正交分解，投影。考察任意一个坐标面如 xOy 平面，和间围成的平行四边形的面积在这个坐标面的投影为，我们可以构造一个张量，使，即。为了方便，我们记。（正反并矢积之差）
面量的基本性质
面量的模
张量即表示向量和所决定的平面，我们称为“面量”，记为“”。三维空间中：，。我们这样定义的所有面量都是反对称张量，面量的模为基向量和间平行四边形的面积，即。注意既不等于，也不是中每项元素的平方和开方，而是中每项元素的平方和除以2再开方，那是因为二阶反对称张量有一半的项只相差了正负号，而本质上是重复的，在计算时我们其实只需要一半的数据，故用2除去。
面量的加法就是对应项相加
单位面量
我们记单位面量，则任意一个面量都能写成的形式（三维空间中反对称张量都能对应平面，但在四维空间中并不是每个反对称张量都是面量，详见后面高维空间叉乘推广）。
面量的“方向”、意义
设基底、，则，而。我们可以这样理解和间的关系：它们都表示xOy平面面积为1的面量，但一个是顺时针，一个是逆时针。即一个面量不仅表示了过原点的平面和它的大小（面积），还表示了一种旋转的方向。易知：两个非零面量，表示的过原点的平面相同。虽然面量的大小代表面积，但它不储存任何形状信息，所以我们不能规定面量代表的具体形状，它代表一个面积大小为面量的模的大小的任意一个有旋转方向的图形。
面量的“点乘”
规定两面量间的点乘：，即对应项积之和除以二。除以二的原因也一样：去掉反对称张量重复的分量。规定，不难证明为所表示的两平面的夹角（一面量在另一面量上投影的旋转的方向与另一面量旋转方向相同为锐角，相反为钝角）。点乘满足乘法分配率。

构造四维二阶张量
由易知，任意一个面量都能写成的形式。（但并不是每个四维反对称张量都是面量，详见后面高维空间叉乘推广）两面量间的点乘用同样的定义，但却不是简单的两面量间夹角余弦值了。要解释清楚四维面量间的点乘的几何意义，我们首先得搞清四维空间中平面间的位置关系。
B
m’
m
A

四维空间中平面间的位置关系
共胞（共三维空间）
重合
无数交点
平行
无交点，平移后可重合
相交
有一条交线（一般的二面角）
异胞
共点
只有一个公共点
相离（不平行）
无交点，平移后可共点或相交
四维空间中平面A、B间的角度关系需要用两个参数描述。我们在一个平面A(或B)上取遍所有直线m，m与B(或A)间所夹的线面角会有一个最大值和最小值。线面角取最大值时的直线m与线面角取最小值时的直线m’相互垂直。
射影面积定理推广
三维空间中的射影面积定理在四维空间中同样成立，只是正方形面积元投影时两边在夹角最大值方向和最小值方向上都要乘上角度的余弦值导致面积变为原来倍。而数量积本质是一个面量乘以另一个面量在它上面的投影，所以我们得到四维空间面量间的点乘的几何意义：。而当两个平面共胞时最小角为= 0（它们的交线方向为最小角方向），最大角为它们的二面角（二面角的平面角的边方向垂直于它们的交线，即最大角方向），，此时退化为三维空间中的射影面积定理。
四维空间中平面间的夹角位置术语
平行（绝对平行）：;即两平面通过平移能真正完全重合。
（二面）垂直（半平行半垂直）：;即两平面通过平移能形成直二面角。
绝对垂直：;即两平面中任意直线均相互垂直。
共胞（共三维空间、半平行、成二面角）：;两平面中存在直线相互平行。
半垂直：;两平面中存在直线垂直于另一平面。
等角：;两平面中任意直线与另一平面所成线面角为一定值。
高维空间“叉乘”推广
三维空间中两向量叉乘得到的新向量是原来两向量所决定的平面的法向量。而在四维空间中两向量叉乘得到的是新的二阶张量——是原来两向量所决定的平面的法平面！我们可以类推到维空间中阶张量叉乘阶张量：得到的是一个表示原来两张量所决定的空间的法空间的阶张量，因为原来两张量所决定的空间的维数为，而法空间的维数为。
（ε为置换符号）
这个新张量的模为原来两张量所围成的平行多胞体的体积，且新张量的方向符合右手螺旋定则。这些高阶张量仍是反对称张量（交换角标置换符号反号所致）。所有叉乘都满足乘法分配率。
向量间的叉乘：求法平面

易证：。
其展开式为：（这里为了简便，我们把简单记作，其余同理）
标量与面量间的叉乘：求平面的法平面

由于标量不占置换符号角标上的位置，所以标量位置变动不变号。
叉乘与点乘的关系1
将式子展开可证：。这个式子的意义是两向量的叉乘等于两向量所决定的平面的法平面面量。这个式子在N维空间中均成立（如三维空间两向量的叉乘等于两向量所决定的平面的法向量）。
标量与标量间的叉乘：得置换张量
在我们的印象当中，，这是雷打不动的真理。但在我们规定的叉乘运算中，。
面量与面量间的叉乘：得标量
两面量间的叉乘为两面量所围成四维图形的“四维体积”，且“四维体积”的正负服从右手定则（即置换符号）。两面量所围成四维图形即两面量代表图形的的直积图形。这个图形体积与两面量代表图形选取的形状无关，只与两面量代表图形的面积有关。易证：。即满足正交换律！因为面量占两个置换符号的位置，这种交换被抵消，不变号。
面量与面量间的叉乘的几何意义
m’
A
B
H
h
m
通过求两面量间的叉乘为两面量所围成四维图形（假设为平行八胞体）的“四维体积”我们可计算出两面量对应平面间的夹角关系。为了方便，我们选两面量代表图形为两条边平行于两平面间最大角和最小角方向的单位正方形。平行八胞体四维体积。指平行八胞体中任意一个平行六面体胞的三维体积，为这个胞在平行八胞体中所对应的高。而。由几何关系：若，则，，即

联立式子（1）（2）可计算任意两平面间夹角和。
叉乘与点乘的关系2
将式子展开可证：。这有点像向量混合积的类比，但由于标量不占置换符号，二阶张量占偶数个，所以随便交换不变号。
面量与奇异面量
根据面量叉乘的几何意义，一个面量自身的叉乘应为0。设一面量，。而，显然不是所有反对称张量行列式值都为0。我们称行列式不为零的反对称张量为奇异面量。任意一个奇异面量都能写成两个面量的和。
面量之和有意义的条件
设为两个非奇异面量，即。而的奇异性则通过下式体现：
。故可得非奇异的充要条件为。即两面量共胞。所以四维空间中只有共胞面量相加才有意义。
面量与向量的叉积：得到向量
面量与向量的叉积得面量与向量决定的三维空间（胞）的法向量，模为围成的平行六面体体积。几何意义：这里的是平面与向量的线面角，只有一个。
混合积与点积的推广
面量与向量的叉积代原始公式计算麻烦，下面给出化简式：但新问题又来了：是二阶张量，是一阶张量（向量）我们得规定两不同阶向量间的点乘运算。为了使化简式成立，我们先看化简式左边，先硬性展开。设，，则竖着写是为了书写方便。再整理一下得。我们发现可以看做是张量每一行乘以所对应的项，再把每一列加起来，而“张量与的运算构成了了一种新的点乘运算即。类似的，其他阶张量的点乘运算为先把两阶张量有着共同阶数的部分相乘，再把不同阶数的部分合并累加，得到阶数为两阶张量阶数之差的新张量。

By wxy
2014 6 24