中考复习~数学圆的应用题.doc

初三数学圆的应用题
1. 重径定理
例1. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一种如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求。图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图。已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，。请你结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
（05年河北）

图1

图2
分析：构造直角三角形结合垂径定理求解。
解：连结OA、OE，设OE与AB交于点P，如图3

图3
因为AC＝BD，
所以四边形ACDB是矩形
因为CD与⊙O切于点E
所以OE为⊙O的半径
即

所以PA＝PB，PE＝AC
故PA＝8，PE＝4
在中，由勾股定理得

即
解得
所以这种铁球的直径为20cm。
例2. 一座拱型桥，桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米。若水面上升3米至EF，则水面宽度EF是多少米？

图4
（1）若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（如图4），可设抛物线的表达式为。请你填空：
a＝____________，c＝___________，EF＝_________米。
（2）若把它看作是圆的一部分，则可构造图形（如图5）计算如下：设圆的半径是r米，在中，易知

图5

同理，当水面上升3米至EF，由中可计算出米，即水面宽度米。
（3）请估计（2）中EF与（1）中你计算出的EF的差的近似值（误差小于0.1米）
（05年佛山）
分析：这是一道与抛物线和圆的相关的应用问题。第（1）问由图4得到B、D两点的坐标，用待定系数法可求抛物线的解析式，再由F点纵坐标可得F点横坐标，从而得EF的长。第（2）问虽不要我们计算，但要弄清这是垂径定理的应用。
解：（1）由图4知B（10，0）、D（0，4），则抛物线的解析式为
而F点的纵坐标为3 即 解得 所以
综上，知
（3）误差估计如下：
因为

即
所以差的近似值约为0.6米
2. 弧长
例3. 如图6，已知圆锥的母线长OA＝8，底面圆的半径r＝2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是_________（结果保留根式）

图6
分析：将圆锥的侧面展开成扇形，小虫从侧面爬行一周又回到A点的最短距离就为AA’（如图7），由的长与圆锥底面圆周长相等可得

图7

所以
即
则为等腰直角三角形
所以
3. 面积
例4. 当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。图8是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？

图8
小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD＝80cm，，端点C、D与点A的距离分别是115cm，35cm。他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗？
也请你算一算雨刷CD扫过的面积为__________cm2（取3.14）
（04年济南）
分析：本题是扇形面积的应用，由图形特点可得雨刷CD扫过的面积

而

所以（cm）
例5. 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组成体，尺寸如图9所示，请你算出要搭建这样一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（取3.14，结果保留一位小数）
（05年新疆生产建设兵团）

图9
分析：本题所需篷布的面积应等于圆锥的侧面积加上圆柱的侧面积
解：设上部圆锥体的母线为l，则

所以

（平方米）

用心 爱心 专心 119号编辑 4