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耀眼的十七角星
葉 清 煌
大多數的同學認識數學王子—高斯(GAUSS.德國數學家西元1777~1855)是由國中數學課本講等差級數時有這一則故事。據說高斯在幼年時，老師出了一道複雜的計算題，即「求由1到100所有整數和」，但高斯卻令人驚訝的在幾秒內就算出他的正確答案為〝5050〞。使他的老師再也不敢看不起鄉下小孩。更進而賣力地幫助高斯，直到他無法教給高斯更進一步的數學知識。
高斯的家境貧窮，到14歲時才得到布朗斯韋克公爵全力資助（從1791年開始）。可是經濟方面的考慮值得正視。因此高斯曾徘徊在十字路口，對於終生事業不知何去何從。
1796年3月30日是一個關鍵時候，當年高斯才18歲，他發現了如何從〝歐氏工具〞，也就是以圓規及直尺，作十七邊形的圖。這個發現使高斯在數學家中一炮而紅，也因這事件使高斯決定獻身數學。大數學家Klein稱讚高斯如下：〝顯在我們面前的是一幅緊張和奇趣的活人劇，你看那十十八世紀的大數學家，就像一連串起伏的高山終止於動人的高峰GAUSS，越過此高峰是一片大且肥沃的田園，充滿了生命的欣欣向榮。〞若非發現正十七邊形的尺規作圖而致使高斯迫於經濟壓力，改變志趣，可想像得到今天的世界局面會倒退多少。
可曾想過在你墓碑上留下什麼嗎？
高斯對此成就是那麼自豪與高興，因而告訴他的友人說，他的墓碑上一定要刻上正17邊形，可惜並沒有如願以償，高斯的紀念碑上刻著一顆十七個角的星星，原來是負責紀念碑的雕刻家認為正十七邊形和圓形太像了，大家一定分辨不出來。（雕刻家的話有道理嗎？太外行了）
高斯不但解決了正十七邊形的作圖問題，而且也知道在理論上，用圓規和直尺作圖，哪些正多邊形可以做到，哪些是不能做到。他的定理說：
正n多邊形可以尺規作圖之充要條件是n可以寫成，其中都是不相同的費馬質數。所謂費馬質數就是型如的質數，如，，，，，法國數學家Pirre Fermat（費馬1601-1665）曾研究這些數並猜想所有型如的數皆為質數，這是不對的。Euler（尤拉1707~1783）發現含有因數641。1958年利用電子計算機發現能被所整除。前者大得不能想像；如果有人用一公分寬的數目字把他寫成十進位，他能繞可見的宇宙無數次。至今除了、、、、外，我們還沒有找到任何新的費馬質數。
如果正n邊形可以作圖，則正2n邊形自然也可以作圖。如果正s邊及正t邊形都可以作圖而且s，t互質，則正st邊形也可以作圖，理由如下：
若正s（或t）邊形可以作圖，也就是說我們可以把圓周s（或t）等分；設分點按逆時鐘方向順次各為。而且使與重合。因為s、t互質，我們由輾轉相除法可找到兩個正整數u，v，使得vs－ut＝1，即
因圓弧佔了全圓周的，而佔了，所以由上面等式可知佔了全圓周的，亦即弦為內接正st邊形的一邊。

由法國數學家Abraham-de Moivre（棣美弗）定理可知二項方程之根，也就是俗稱n次單位方根必為：
，k＝0,1,2,…, n－1
正n邊形之作圖在歐氏幾何的意義下，僅限於使用圓規和直尺，在這種限制下可以證明只能作出有理數、平方根，以及經由有限次的有理運算（即加、減、乘、除之四則運算）或開方所得的數。因此，一般而言，三次方根不能以尺規作圖；這就是在希臘三大幾何不可解的問題中〝三等分一角〞及〝倍立方〞等兩問題不能解的原因（除特殊情形以外）。

由於二項方程式與分圓問題的相關連
，我們知道只要能用有限多個有理數或平方根
將表出，則可作正n邊形作圖，我們
從單位圓著手，以尺規作出線段
，過P作x軸之垂線交單位圓於B。即為
正n邊形之一邊。
從P點把解二項方程的問題，化為解一連串一次或二次方程的問題。

當n＝3時，

故得三根

當n＝4時，

故得四根為
，，，

當n＝5時，

或＝0
∵Z≠0 ∴＝0
令
所以
故

，
，

因此
可由1與5的比例中項得出。由此我們易得長度為之線段即可作出正五邊形。
高斯在他的研究結論說：〝在歐幾里得時代已經知道把一個圓分成三等分或五等分。令人吃驚的是在兩千年中沒有新東西來充實這些發現，幾何學家認為除了這些情況以及由這些情況導出的那些以外，使用圓規和直尺不能作正多邊形。〞
希臘人早就會作正三及正五邊形，下一個費馬質數就是17，這更顯出正17邊形作圖的歷史意義，正17邊形的實際作圖想法如下：
考慮圓分割方程式 ，

其中p為形如的質數
令以表示之根，
將1除外之p－1個根（這裡）組成周期。高斯周期是根的和，其中後項是前項的g次方，而總和之末項的g次方形成第一項（因此才稱為周期）。指數g稱為質數p的原根，g為整數，除以p得餘數1。換言之，g使得（1）的根可以用下列形式表示：

周期是
事實上

下一個周期只包含項，即
在這個周期裡，後項總是前項的次方，而且，也是p的一個原根。
依此設
高斯解圓分割方程式的辦法是把（1）簡化成二次方程式組的鏈。第一組包括一個二次方程式，第二組兩個，第三組四個，第四組八個，…等，最後一組包括a個二次方程式。第一組的各根構成a項周期，第二組構成b項周期，第三組構成c項周期，最後一組構成一個單項周期，也就是（1）本身的各個根。一組方程的各係數可由前一組方程之各係數確定，所以，最後一組的各項方程直接給出（1）的各個根。
在逐次確定各係數的過程中(r是E除以P的餘數且為整數)-----（2）是很重要的式子。
現在用高斯的方法解正17邊形（p＝17）的方程式
＝0
設，
，
且,g表示17的最小原根了
將1除外之16個根依序排成兩行
ω ，ω3 ，ω9，ω10，ω13，ω5，ω15，ω11
ω16，ω14，ω8，ω7 ，ω4 ，ω12，ω2，ω6
亦即下列元素為上列元素之共軛複數，由圖形即可看出
除以17所得餘數分別為
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

1
3
9
10
13
5
15
11
16
14
8
7
4
12
2
6
1
因此依據（2）

ω ω9ω13ω15ω16ω8 ω4 ω2 ω3ω10ω5ω11ω14 ω7 ω12 ω6
在數列，中每一個根為前一根之立方鏈中的第一組包括一個二次方程，其各個根成為周期。
令（α、β皆為實數，α＞0，β＜0）
＝

＝
由於＝0
∴α+β＝－1
又α‧β＝－4
因為

而＝
＝ ，
故在α‧β中這種項共計十六個，每四個可以結合成一個
++…+＝－1
故α‧β＝－4
故α、β滿足二次方程式----------(3)
故各個根為
α＝，和β＝
四個四項周期為
U＝
u＝
V＝
v＝
故，
∴

相對應的二次方程為
----------(4)
----------(5)
它們的根為
U＝，V＝
u＝，v＝
且，。
在所得各個二項周期中僅需兩式
和（γ>δ）
故γ+δ＝U
γ‧δ＝
含有γ和δ的二次方程為----------(6)
由（3）（4）（5）（6）我們可以計算cosθ＝
解：
cosθ＝＝
＝
＝
＝
高斯計算之值，高明吧！
這個形式可以尺規作圖，但明顯的是複雜，難度高，因此我們用下列的方法簡化：
令ψ是一個正角，使得
故可改寫為
其兩根為，，即α＝，β＝
又U＝，----------(7)
u＝，v＝----------(8)
因為，
∴
＝4＝＝

而
＝
＝
＝
＝
比較（7）（8）
故
正17邊形的實際作圖既不成問題，下一個目標當然是257邊形，這個工作由Richelot在1832年用了194頁紙，把實際作圖的步驟寫了出來。Hermes又向下一個目標進軍，他花了十年的功夫，仔細研究正65537邊形的作圖步驟，這個厲害的工作成果在1894年完成，現保存在哥廷根大學數學系裡的頂樓的大櫃子裡。

作圖：
1. 在圓O中作互相垂直之兩直徑交於圓心
2. 取上一點E使，作
3. 作
4. 作，
5. 以
6. 以E為圓心為半徑，交於，交於
7. 過作一直線垂直交圓O於，過作一直線垂直交圓O於
8. 以為圓心，為半徑順次畫弧，即得

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