函数与极限测试题答疑.doc

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第一章 函数与极限测试题答疑

一、 选择题（7×4分）
1． 设，则-------------------（ D ）
A B C D
注：中学基本问题，应拿分！
2． 函数的增量---------------------------------（ C ）
A 一定大于0 B一定小于0 C不一定大于0 D一定不大于0
注：中学基本问题，应拿分！
3． -----------------------------------------------------------------------（ C ）
A B C D
注：重要极限基本问题，应拿分！
4． 当是关于的----------------------------------------------（ C ）
A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但非等价无穷小
注：无穷小比较基本问题，应拿分！
5． 是的-----------------------------------------------------（ B ）
A跳跃间断点 B可去间断点 C第二类间断点 D连续点
注：间断点类型基本判定问题，应拿分！
应选何答案？
6． 曲线的水平渐近线方程为------------------------------------（ B ）
A B C D
注：水平渐近线方程基本问题，应拿分！
7．函数在处有定义是在处有极限的-----------------（ D ）
A 充分但非必要条件 B 必要但非充分条件
C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件
注：函数在处有定义与有极限的基本关系问题，应拿分！

二、 填空题（3×4分）
1． .
注：的基本计算问题，分子分母比较最大项，应拿分！
2．若函数连续，则2 .
注：函数连续的基本问题，应拿分！
3．已知：，则， .
注：极限的逆问题，有一定难度！
由，得，进而有
三、 计算题（4×7分）
1．
注：极限定式的基本问题，应拿分！
2．=
注：极限的基本问题，应拿分！
3．
注：极限的基本问题，尽管例题未讲，但处理方法讲过，化为比式，应拿分！
4．
==
注：极限的综合问题，有一定难度！
错误解法：原式
尽管得数正确，但分子两个局部等价无法保证整个分子也等价！
四、（9分）设,
（1）求函数的间断点并判断其类型；
（2）求该函数图象的水平渐近线及铅直渐近线。
解：（1）是非定义点，一定是间断点，又，所以为第二类间断点
（2）因，则为铅直渐近线
又 ， 所以 ，为其水平渐近线
注：极限应用的综合问题，但难度不大！
五、（8分）当时，与互为等价无穷小，求值。
解：因为，，
则 ，所以
注：极限的逆问题，但难度不大！
错误解法：因为，
又，故，所以
想一想，该方法为何错？
六、（8分）把长为的线段AB分为等分，以每个小段为底做底角为的等腰，这些等腰的两腰组成一折线，试求当无限增大时所得折线长的极限。
解：
注：极限的基本建模问题，应拿分！
请解决下列问题：
1、半径为的圆内接正边形，试求当无限增大时，其边长与面积的极限。
2、根据药物动力学理论，一次静脉注射剂量为的药物后，经过时间，体内血药浓度为，其中为消除速率常数，为表观分布容积。若每隔时间注射一次，（1）试求次注射后体内血药浓度与第次注射后的时间的关系。
（2）随着的无限增大，血药浓度是否会无限上升呢？

七、（7分）（二题可以选作一题）
（1）求
（2）求证：方程在内至少有一实根
（1）解：
而，
故由夹逼定理知原式
注：和式极限的基本问题，利用和式分项中的最大项、最小项进行放缩，由夹逼定理完成，本题属提高题型中的简单题！
试用夹逼定理证明
（2）证明：令 ，其为在上有定义的初等函数，
则在上连续，又，
故由零点存在定理知，在内至少存在一点，使得
即方程在内至少有一个根，证毕。
注：连续的基本性质问题，尽管未介绍，但其属于中学问题，理解上较容易，但在证明表述上有一定难度！
试证明方程至少有一个正根，并且它不超过。