数学分析教案 (华东师大版)第十四章 幂级数.doc

《数学分析》教案
第十四章 幂级数
教学目的：1.理解幂级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题；2.理解幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性。
教学重点难点：本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。
教学时数：12学时
§ 1 幂级数（ 4 时 ）
幂级数的一般概念. 型如 和 的幂级数 . 幂级数由系数数列 唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如 的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一. 
一.            幂级数的收敛域:
1.             收敛半径 、收敛区间和收敛域：
Th 1 （ Abel ） 若幂级数 在点 收敛 ， 则对满足不等式的任何 ，幂级数 收敛而且绝对收敛 ；若在点 发散 ，则对满足不等式 的任何 ，幂级数 发散.
证 收敛, { }有界. 设| | , 有
| , 其中 .
.
定理的第二部分系第一部分的逆否命题.
幂级数 和 的收敛域的结构.
定义幂级数的收敛半径 R.  
收敛半径 R的求法.  
Th 2 对于幂级数 , 若 , 则
ⅰ> 时,;ⅱ> 时; ⅲ> 时 .
证 , ( 强调开方次数与 的次数是一致的). ……
由于 , 因此亦可用比值法求收敛半径.
幂级数 的收敛区间: .
幂级数 的收敛域: 一般来说 , 收敛区间 收敛域. 幂级数 的收敛域是区间 、 、 或 之一.
例1 求幂级数 的收敛域 .
例2 求幂级数 的收敛域 .
例3 求下列幂级数的收敛域:
⑴ ; ⑵ .
2. 复合幂级数 : 令 , 则化为幂级数 .设该幂级数的收敛区间为 ，则级数 的收敛区间由不等式 确定.可相应考虑收敛域.
特称幂级数 为正整数)为缺项幂级数 .其中 . 应注意 为第项的系数 . 并应注意缺项幂级数 并不是复合幂级数 , 该级数中,为第 项的系数 .
例4 求幂级数 的收敛域 .
解 是缺项幂级数 .
. 收敛区间为 . 时,
通项 . 因此 , 该幂级数的收敛域为 .
例5 求级数 的收敛域 .
解 令 , 所论级数成为幂级数 .由几何级数的敛散性结果, 当且仅当 时级数 收敛. 因此当且仅当 , 即时级数 收敛. 所以所论级数的收敛域为 .
例6 求幂级数 的收敛半径 .
解 . 
二． 幂级数的一致收敛性：
Th 3 若幂级数 的收敛半径为 ，则该幂级数在区间 内闭一致收敛 .
证 , 设 , 则对 , 有
, 级数 绝对收敛, 由优级数判别法, 幂级数 在 上一致收敛. 因此 , 幂级数 在区间 内闭一致收敛.
Th 4 设幂级数 的收敛半径为 ,且在点 ( 或 )收敛,则幂级数 在区间 ( 或 )上一致收敛 .
证 . 收敛 , 函数列 在区间 上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛 .
易见 , 当幂级数 的收敛域为 ( 时 , 该幂级数即在区间上一致收敛 .
三. 幂级数的性质:
1. 逐项求导和积分后的级数:
设 ,
*) 和 **)仍为幂级数. 我们有
命题1 *) 和 **)与 有相同的收敛半径 . ( 简证 )
值得注意的是，*) 和 **)与 虽有相同的收敛半径（ 因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域 ， 例如级数 .
2. 幂级数的运算性质:
定义 两个幂级数 和 在点 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.
命题2 ,.(由以下命题4系2)
命题3 设幂级数 和 的收敛半径分别为 和 ,
, 则
ⅰ> , — Const ， .
ⅱ> + , .
ⅲ> ( )( ) , , .
3. 和函数的性质:
命题4 设在 ( 内 . 则
ⅰ> 在 内连续;
ⅱ> 若级数 或 收敛, 则 在点 ( 或 )是左( 或右 )连续的;
ⅲ> 对 , 在点 可微且有 ;
ⅳ> 对 , 在区间 上可积, 且 .
当级数 收敛时, 无论级数 在点 收敛与否,均有
. 这是因为: 由级数 收敛, 得函数
在点 左连续, 因此有 .
推论1 和函数 在区间 内任意次可导, 且有
, ……
.
由系1可见, 是幂级数的和函数的必要条件是 任意次可导.
推论2 若 , 则有

例7 验证函数 满足微分方程 .
验证 所给幂级数的收敛域为 .
.
, 代入, . 
§ 2 函数的幂级数展开
一.            函数的幂级数展开:
1.       Taylor级数: 设函数 在点 有任意阶导数.
Taylor公式和Maclaurin公式 .
Taylor公式：
.
余项 的形式:
Peano型余项: ,
（ 只要求在点 的某邻域内有 阶导数 ， 存在 ）
Lagrange型余项: 在 与 之间.
或 .
积分型余项: 当函数 在点 的某邻域内有 阶连续导数时, 有
.
Cauchy余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy余项 .
特别地， 时，Cauchy余项为 在 与 之间. 
Taylor级数: Taylor公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得

,
称此级数为函数 在点 的Taylor级数. 只要函数 在点 无限次可导, 就可写出其Taylor级数. 称 = 时的Taylor级数为Maclaurin级数, 即级数 .
自然会有以下问题: 对于在点 无限次可导的函数 , 在 的定义域内或在点 的某邻域内, 函数 和其Taylor级数是否相等呢 ?
2． 函数与其Taylor级数的关系：
例1 函数 在点 无限次可微 . 求得 . 其Taylor级数为
.
该幂级数的收敛域为 . 仅在区间 内有 = . 而在其他点并不相等, 因为级数发散.
那么, 在Taylor级数的收敛点, 是否必有 和其Taylor级数相等呢 ? 回答也是否定的 .
例2 函数 在点 无限次可导且有 因此其
Taylor级数 ，在 内处处收敛 . 但除了点 外, 函数 和其Taylor级数并不相等.
另一方面, 由本章§1命题4推论2（和函数的性质）知：在点 的某邻域内倘有,则在点无限次可导且级数 必为函数在点 的Taylor级数.
综上 , 我们有如下结论:
⑴ 对于在点 无限次可导的函数 , 其Taylor级数可能除点 外均发散, 即便在点 的某邻域内其Taylor级数收敛, 和函数也未必就是 . 由此可见, 不同的函数可能会有完全相同的Taylor 级数.
⑵ 若幂级数 在点 的某邻域内收敛于函数 , 则该幂级数就是函数 在点 的Taylor级数.
于是 , 为把函数 在点 的某邻域内表示为关于 的幂级数，我们只能考虑其Taylor级数. 
3． 函数的Taylor展开式：
若在点 的某邻域内函数 的Taylor级数收敛且和恰为 ，则称函数 在点 可展开成Taylor级数(自然要附带展开区间. 称此时的Taylor级数为函数 在点 的Taylor展开式或幂级数展开式. 简称函数 在点 可展为幂级数. 当= 0 时, 称Taylor展开式为Maclaurin展开式. 通常多考虑的是Maclaurin展开式.
4.          可展条件:
Th 1 ( 必要条件 ) 函数 在点 可展 , 在点 有任意阶导数 .
Th 2 ( 充要条件 ) 设函数在点 有任意阶导数 . 则 在区间
内等于其Taylor级数( 即可展 )的充要条件是: 对 ,有 . 其中 是Taylor公式中的余项.
证 把函数 展开为 阶Taylor公式, 有
.
Th 3 ( 充分条件 ) 设函数 在点 有任意阶导数 , 且导函数所成函数列一致有界, 则函数 可展.
证 利用Lagrange型余项 , 设 , 则有
.
例3  展开函数 ⅰ> 按幂; ⅱ> 按幂.
解

,
,
.
所以 , ⅰ> .
可见 , 的多项式 的Maclaurin展开式就是其本身.
ⅱ>
.
二.           初等函数的幂级数展开式:  
初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.  
为得到初等函数的幂级数展开式 , 或直接展开, 或间接展开.
1. . ( 验证对 R ， 在
区间 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此可展 ).
.
2. , .
, .
可展是因为 在 内一致有界.
3. 二项式 的展开式:
为正整数时, 为多项式, 展开式为其自身;
为不是正整数时, 可在区间 内展开为

对余项的讨论可利用Cauchy余项. 具体讨论参阅[1]P56. 
时, 收敛域为 ;
时, 收敛域为 ;
时, 收敛域为 .
利用二项式 的展开式 , 可得到很多函数的展开式. 例如取 ,得
， .
时, , . 
间接展开: 利用已知展开式 , 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式. 利用微积运算时, 要求一致收敛. 幂级数在其收敛区间内闭一致收敛 ,总可保证这些运算畅通无阻.
4. .
.
事实上 , 利用上述 的展开式, 两端积分 , 就有
,
.
验证知展开式在点 收敛, 因此 , 在区间 上该展开式成立.
5. .
由 . 两端积分,有

验证知上述展开式在点 收敛, 因此该展开式在区间 上成立.(这里应用了习题中第2题的结果,)
例4 展开函数 .
解
.
例5 展开函数 .
解

.
习 题 课 
一. 求收敛区间或收敛域:
例1 求幂级数 的收敛区间 .
例2 求幂级数 的收敛域.
解 设 , 注意到 , 有 .
时, 收敛域为 .
二. 函数展开:
例3 把函数 展开成 的幂级数 .
解 , ,
, ;
;
, .
与 的展开式 比较.
例4 展开函数 .
解 ,
, .
因此, 

， .
例5 展开函数 .
解 , ;
因此, , .
例6 把函数 展开成 的幂级数.
解
, .
而 =
, .  
三. 函数展开式应用举例:  
1.       做近似计算 :
例7 计算积分 , 精确到 .
解 .
因此, .  
上式最后是Leibniz型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使,可取 .故从第 项到第 项这前7 项之和达到要求的精度.于是

.  
2. 利用展开式求高阶导数: 原理.
例8 设 证明对 存在并求其值.

解 , .
时, ,
直接验证可知上式当 时也成立 . 因此在 内有
, .
函数 作为 的幂级数的和函数, 对 存在 , 且

即
四. 幂级数求和:  
原理: 对某些幂级数, 有可能利用初等运算或微积运算以及变量代换化为已知的函数展开式( 特别是化为函数 和 的展开式 ),借以求和.
例9 求幂级数 的和函数并求级数 和Leibniz级数 的和.
解 幂级数 的 收敛域为 , 设和函数为 ,则在 内有
,
注意到 , 则对 有
.
又 在点 连续 , 于是在区间 内上式成立. 即有
, .
取 , 有 .
取 , 有 .
例10 求幂级数 的和函数. 并利用该幂级数的和函数求幂级数 的和函数以及数项级数 的和.
解 该幂级数的收敛域为 . 在 内设
.
现求 . 对 ,有
.
由 连续 , 有 .
因此, , .
作代换 , 有
. .
.
例11 求幂级数 的和函数.
解法一 收敛域为 ,设和函数为 , 则有
.
因此, = , .
解法二
, .
例12 求幂级数 的和函数.
解 .
例13 求数项级数 的和.
解 该级数为Leibniz型级数, 因此收敛. 考虑幂级数 , 其收敛域为 . 设和函数为 , 在 内有
, .
注意到 ,对 有
, .
于是, .
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