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应用高等数学公式总汇（含答案）
应用高等数学公式总汇（含答案）
一、函数的极限：
1、数列的极限：
2、四则混合运算
若，，C为常数
（1） AB
（2） AB
（3）=
3、两个重要极限：
（1）
（2）
变形：
4、无穷小量：
设
（1）若，f（x）是g（x）的 高阶 无穷小
（2）若，f（x）是g（x）的 低阶 无穷小
（3）若，f（x）是g（x）的 同阶 无穷小
（4）若，f（x）是g（x）的 等价 无穷小
（5）若，f（x）是g（x）的 k阶 无穷小
5、等价替换：
若x→x0，f（x）~ f1（x），g（x）~ g1（x）
则
6、常用等价形式：
当f（x）→0时
（1）sinf（x）~ f（x）
（2）arc sinf（x）~ f（x）
（3）tanf（x）~ f（x）
（4）arc tanf（x）~ f（x）
（5）In（1+f（x））~ f（x）
（6）ef（x）-1~ f（x）
（7）1-cosf（x）~
（8）（1+f（x））α-1~ αf（x）
二、函数的连续：
1、间断点：
（1）第一类间断点：f-（x0）、f+（x0）均 存在的 间断点
⑴跳跃间断点： f-（x0）≠f+（x0）
⑵可去间断点： f-（x0）=f+（x0）
（2）第二类间断点：f-（x0）、f+（x0）至少有一个 不存在的 间断点
⑴无穷间断点： f-（x0）、f+（x0）中至少有一个为 ∞
⑵振荡间断点： f-（x0）、f+（x0）中至少有一个 振荡不存在
三、导数：
1、定义：=
2、导数的常见形式：
（1）
（2）
（3）
3、切线方程：
若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）），
则 y-y0=（x-x0）
注：
（1）如果=∞，则 x=x0
（2）如果=0，则 y=y0
4、法线方程：
若直线过点P（x0，f（x0）），
则 y-y0=（x-x0）
5、基本公式：
（1） 0
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
6、四则运算：
都有导数
（1）
（2）
（3）
（4）
推论：
（1）
（2）
（3）
7、反函数求导法则：
设y=f（x）与x=（y）（（y）≠0）
则 或=
8、n次导的常见公式：
（1）=
（2）
（3）=
9、参数方程求导：
设函数都可导，其中x=≠0，则函数的导数
10、复合函数求导：
若y=f（u），u=（x），且f（u）及（x）都可导，则复合函数y=f[（x）]的导数
11、隐函数求导：
（1）方程F（x，y）=0两边求导，解出
（2）公式法：由F（x，y）=0，则
（3）利用微分形式的不变性，方程两边求微分，然后解出
注：y是x的函数
12、对数求导：
将函数关系式两边取自然对数（成为隐函数形式），化简，然后两边两边求导，最后两边乘以y（x）
注：适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数（y=u（x）v（x））
13、高阶导数：
（1）二阶导数：
（2）三阶导数：
（4）n阶导数：
14、中值定理：
（1）拉格朗日定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得
推论1：如果函数f（x）在区间（a，b）内任意一点的导数都等于零，你们函数f（x）在（a，b）内是一个常数
推论2：如果函数f（x）与g（x）在区间（a，b）内每一点的导数与都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数，即：f（x）= g（x）+C，x（a，b）
（2）罗尔定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 0
（3）柯西定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得=
15、洛必达法则：
（1）型：
设函数f（x）、g（x）满足：
⑴ 0
⑵在点x0的某去心邻域内 都存在 ，且 0
⑶ 存在或为无穷
有：=
（2）型：
设函数f（x）、g（x）满足：
⑴
⑵在点x0=的某去心邻域内 都存在 ，且 0
⑶ 存在或为无穷
有：=
（3）其他未定型：
⑴0·∞型：f（x）·g（x）转化成 ，一般将In、arc留在分子上
⑵∞-∞型：通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为型或型
⑶型：f（x）g（x）= eg（x）Inf（x） =
16、函数单调性判定：
设函数y=f（x）在开区间（a，b）内可导
（1）如果函数y=f（x）在（a，b）内，，则函数y=f（x）在（a，b）内单调递 增 ；
（2）如果函数y=f（x）在（a，b）内，，则函数y=f（x）在（a，b）内单调递 减 ；
17、函数的极值：
（1）如果函数y=f（x）在点x0及其左右近旁有定义，且对于x0近旁的任何一点x（x≠x0）的函数值f（x）均有：
⑴f（x）<f（x0）,则f（x0）称为函数y=f（x）的 极大值 ，点x0称为函数y=f（x）的 极大值点
⑵f（x）>f（x0）,则f（x0）称为函数y=f（x）的 极小值 ，点x0称为函数y=f（x）的 极小值点
（2）驻点： 0 的点
（3）极值第一充分条件：
设点x0是f（x）可能的极值点（或不存在）
⑴当；,则x0为极大值点
⑵当；,则x0为极小值点
⑶当， 同号 ，则x0不是极值点
（4）极值的第二充分条件：
设y=f（x）在点x0处有一、二阶导数，且= 0
⑴如果 > 0，则函数y=f（x）在点x0处取得最小值f（x0）
⑵如果 < 0，则函数y=f（x）在点x0处取得最大值f（x0）
18、曲线凹凸性：
（1）若对于x（a，b）时，，则曲线在（a，b）上为 凹 ，用符号“ ” 表示
（2）若对于x（a，b）时，，则曲线在（a，b）上为 凸 ，用符号“ ” 表示
6、曲线拐点：
设f（x）在x0的某个邻域内二阶可导，且 0 ，若x0两侧 改变 符号，则 （x0，f（x0）） 为曲线的拐点
19、曲线的渐近线：
（1）水平渐近线：如果函数y=f（x）的定义域是无穷区间，且，则y= b
（2）垂直渐近线：如果函数y=f（x）在x=x0处间断，且，则x=
x0
（3）斜渐近线：如果函数y=f（x）定义在无穷区间，且，，则y= ax+b
20、经济学与导数：
（1）利润：L（Q）= R（Q）-C(Q)
（2）边际利润：
（3）函数弹性：
（4）需求弹性（供给函数）：
注：
⑴当|η| < 1时，为低弹性，此时需求变动幅度 小于 价格变动幅度。且 > 0，收益R（p）单调 递增 ，即价格随总收益的增加而增加
⑵当|η| > 1时，为高弹性，此时需求变动幅度 大于 价格变动幅度。且 < 0，收益R（p）单调 递减 ，即价格随总收益的增加而减少
①当|η| = 1时，为单位弹性，此时需求变动幅度 等于 价格变动幅度。且 = 0，收益R（p）取得 最大值
四、微分：
1、定义：dy=
2、基本公式：
（1）d（c）= 0
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
3、四则混合
都有微分
（1）
（2）
（3）
（4）
5、应用：
（1）计算函数改变量的近似值：△y≈dy=
（2）计算函数值的近似值：f（x0+△x）≈ f（x0）+
（3）当x0=0时，|x|很小时，有f（x）≈ f（0）+
注：|△x|相对于x0很小（越小越好）
推论：
⑴
⑵ex≈ 1+x
⑶In（1+x）≈ x
⑷sinx≈ x （x用弧度制表示）
⑸tanx≈ x （x用弧度制表示）
五、不定积分：
1、定义：
2、基本公式：
（1）
（2） （k为常数）
（3）
（4）
（5） （a>0且a≠1）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19） （a>0）
（20） （a≠0）
（21） （a≠0）
（22） （a>0）
3、性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） （k≠0）
（6）
4、换元积分法：
（1）第一类换元积分法（凑微分法）：= F[（x）]+C
（2）常见形式：
⑴ （a≠0）
⑵ （a≠0）
⑶ （a≠0）
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
⑿
（3）第二类换元积分法：

（4）无理代换（根式代换）：
⑴当被积函数中含时，令x= tn （t>0）
⑵当被积函数中含和时，令x=tp（t>0），p是m和n的 最小公倍数
⑶当被积函数中含（a、b为常数且a≠0）时，令ax+b= tn （t>0）
（5）三角代换：
⑴若被不定积分f（x）含时，令x= |a|sint
⑵若被不定积分f（x）含时，令x= |a|sect
⑶若被不定积分f（x）含时，令x= |a|tant
注：并且需要回代

⑴ ⑵ ⑶
（6）分部积分法： 或
六、基本积分表：
1、含有a+bx的积分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
2、含有的积分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
3、含有的积分：
（1）
（2）
（3） （|x|<a）
（4） （|x|>a）
4、含有abx2的积分：
（1）
（2） （a>0，b>0）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
5、含有的积分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
6、含有的积分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
7、含有的积分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
8、含有的积分：
（1）
（2）
9、含有的积分：
（1）

（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
10、含有的积分：
（1）
（2）
（3）
（4）
11、含有三角函数的积分：一部分见上
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
=
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
12、含有反三角函数的积分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
13、含有指数函数的积分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
14、含有对数函数的积分：
（1）
（2）
（3）
（4）
七、定积分：
1、定义：
2、上下限交换：
3、上下限相等（即a=b）：= 0
4、性质：
设f（x）、g（x）在[a，b]上可积，
（1） k （k为常数）
注：
① b-a
② k（b-a）
（2）
（3）积分区间的可加性： +
（4）传递性： （在[a，b]上f（x）≤g（x））
注：
①当f（x）≥0时，则≥ 0
②当|f（x）|可积时，≤
（5）估值性：n（b-a） ≤≤ m（b-a） （m和n分别是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值）
（6）中值性：= f（ξ）（b-a） （a≤ξ≤b）
（7）均值性：=
5、计算方法：
1、微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）：= = F（b）-F（a） （F（x）是f（x）的原函数）
2、换元积分法：= （，）
3、分部积分法： = - 或= -
4、函数的奇偶性简化：
（1）奇：= 0
（2）偶：= 2
6、应用：
（1）面积：
⑴上下曲，左右直： （a<x<b）
⑵上下直，左右曲： （c<y<d）
（2）旋转体的体积：
⑴绕x轴的旋转体： （a<x<b）
⑵绕y轴的旋转体： （c<y<d）
（3）平面曲线的弧长：
曲线y=f（x）从x=a到x=b的曲线弧长L： （a<x<b）
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