平面向量知识点与测试(学生用).doc

平面向量知识点与测试
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1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.单位向量：aO为单位向量｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.
2.向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则

向量的
减法
三角形法则

,
数
乘
向
量
1.是一个向量,满足:
2.>0时, 同向;
<0时, 异向;
=0时, .

向
量
的
数
量
积
是一个数
1.时，
.
2.

3.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.
(3)两个向量垂直的充要条件a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.
(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则 (线段定比分点的坐标公式)
当λ＝1时，得中点公式：＝（＋）或
(5)平移公式
设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），则＝+a或曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y－ｋ＝f（x－ｈ)
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1（可用中位线定理与相似三角形证明）
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）是的重心.
设

（2）为的垂心.
（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心
为的内心.
（4）为的外心。
典型习题：
1、已知向量，，若与 共线，则等于( )
A．； B．； C．； D．；
2、已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则
A.⊥ B.⊥(－) C.⊥(－) D.(＋)⊥(－)
3、已知向量的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4、已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足,则P的轨迹一定通过的
A 内心 B 垂心 C 重心 D AB边的中点
5、P是内的一点，，则的面积与的面积之比为
A．2 B．3 C． D．6
6、三角形ABC中，，三角形ABC面积夹角取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7、已知向量方向上的投影为（ ）
A．－ B． C．—2 D．2
8、设O在△ABC内部，且，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9、是平面内不共线两向量，已知，若三点共线，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
10、如图，在△ABC中，= （ ）
A． B．
C． D．
11、若点O是所在平面内的一点，且，则点O是的（ ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
12、点O是所在平面内的一点，满足，则点O是的（ ）
A 三个内角的角平分线的交点 B 三条边的垂直平分线的交点
C 三条中线的交点 D 三条高线的交点
13、O是平面内的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过三角形的（ ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
14、O是平面内的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过三角形的（ ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
请将答案写入下列答题卡中：
1
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