方程和不等式(学案).doc

九下复习学案 方程与不等式
第二单元 方程与不等式
本单元主要知识结构

第一节 一元一次方程

一、方程的有关概念
1、方程：含有 的等式叫做方程.
2、方程的解：能使方程左右两边的值 的 的值，叫做方程的解.
3、解方程：求 的过程叫做解方程.
例1.已知x2m - 1+5=4x是一元一次方程，则m=________.
例2 已知方程的一个根是1，则的值是 .

练习1
（1）关于的方程的根是2，则= .
（2）已知是方程的一个根，则代数式的值等于 .

二、等式的基本性质
1、等式的基本性质1 等式的两边加上（或减去） ，结果仍相等.
即若，则 .
等式的基本性质2 等式的两边乘 ，或除以同一个 的数，结果仍相等.
即若，则 ；若， ，则 .
2、等式具有反身性和传递性
反身性：若，则 ；
传递性：若，，则 .
三、一元一次方程及解法
一元一次方程的一般形式： .
一元一次方程的解法
例3解方程并填写下表.

觧一元一次方程的一般步骤：
变形名称
变形依据
注意事项

练习2 解下列方程
（1） （2） （3）

例4 解关于的方程（）.

四、一次方程的应用
例5 某市供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8：00~22：00，14小时，谷段为22：00~次日8：00，10小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0．03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时， 谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．
（1）问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元?
（2）如不使用分时电价结算， 5月份小明家将多支付电费多少元?
解：

例题6．某商品的进价是5000元，标价为6500元，商店要求以利润不低于5%的售价打折销售，最低可以打几折出售此商品？

【课堂检测题】【课堂检测题】
1.若 –=1,则2(m+2)-3n=6,这是根据等式性质____________，在等式两边同时________________.
2、当=_______时，方程的解是－2．
3、若方程和方程的解相同，则______.
4、如果与x－3的值互为相反数，则x=_______．
5、在公式P=中，已知P、F、t都是正常数，则S等于（ ）
A. B. C. D. PFt
6、 解方程：2－

7关于x的方程 5x-3=4x与ax-12=0的解相同，求a;

8、某市在端年节准备举行划龙舟大赛，预计15个队共330人参加．已知每个队一条船，每条船上人数相等，且每条船上有1人击鼓，1人掌舵，其余的人同时划桨．设每条船上划桨的有人，那么可列出一元一次方程为 ．

9、2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据．已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额．
年份
2001
2003
2004
2005
2007
降价金额（亿元）
54

35
40

10、农科所向农民推荐渝江Ⅰ号和渝江Ⅱ号两种新型良种稻谷.在田间管理和土质相同的条件下，Ⅱ号稻谷单位面积的产量比Ⅰ号稻谷低20%，但Ⅱ号稻谷的米质好，价格比Ⅰ号高.已知Ⅰ号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.
（1）当Ⅱ号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、图纸和面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同？
（2）去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷，且进行了相同的田间管理.收获后，小王把稻谷全部卖给国家.卖给国家时，Ⅱ号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克，Ⅰ号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖Ⅱ号稻谷比卖Ⅰ号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？

11..一商店将每台彩电先按进价提高40%，标出售价，然后广告宣传将以80%的优惠价出售，结果每台赚了300元，则经销这种产品的利润率是多少？

第二节 二元一次方程（组）
一、二元一次方程的相关概念
1、二元一次方程的一般形式： .
2、二元一次方程的解
例1 二元一次方程在正整数范围内的解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

练习1
（1）在四对数值中，满足方程3x-y=2的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
（2）若一个二元一次方程的解为，则这个方程可以是_________________（只要求写出一个）．

二、二元一次方程组的相关概念
1、二元一次方程组
2、二元一次方程组的解
例2 a 为何值时，方程组

解x ,y的值互为相反数，并求它的值。

三、二元一次方程组的解法
例3 解方程组

小结：
1、解二元一次方程组的基本思路是“ ”，即将“二元”转化为“ ”；
2、解二元一次方程组的基本方法有“ ”和“ ”．
3、解二元一次方程组的特殊方法—— .
① ；
② ；
③ ．

练习2 解下列方程组
（1） （2）

四、二元一次方程组的应用
例4 某厂去年总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元．已知今年计划总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求今年计划的总支出和总产值各为多少．

【课堂检测题】
1、已知点(2，－1)是方程y=kx＋1的一个解，则直线y=kx+l的图象不经过第 象限.
2、写出满足方程x+2y=9的一对整数值________________．
3、若方程组的解是，则a＝_________，b＝_______.
4、如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是（ ）
A.

5、已知等式，当时，；当时，，则.
6、某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生人，分成个小组，则可得方程组 （ ）
A. B. C. D.
7、解方程组

8．已知方程组 由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为 乙看错了②中的，得到方程组的解为 若按正确的、b计算求方程组的解及x－y的值.

9、在等于 S＝V0t＋at2 中，当 t＝1 时，S＝5，当 t＝2 时，S＝14，
① 求 V0、a 的值．②当 t＝3 时，求 S 的值．

10、根据下图给出的信息，求每件 T 恤衫和每瓶矿泉水的价格．

共计44元
共计26元

11、某景点为在五一期间吸引更多的游客，推出集体购票优惠票价活动，其门票价目如下：
购票人数
不超过30人
30人以上但不超过50人
50人以上
每人门票价
2元
1.5元
1元
有同一旅行社的甲、乙两个旅行团共60人（甲团人数多于乙团）准备去该景点旅游，如果甲、乙两团各自购票，那么一共要支付98元．
(1) 如果两团联合起来购票，那么比各自购票要节约多少钱？
(2) 甲乙两团各有多少人？
（3）如果甲团有12人因故不能前往旅游，那么旅行社该如何购票才能最省钱？

第三节 分式方程
一、分式方程
二、分式方程的解法
例1 解方程
（1）． （2）

小结：
1、解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体做法是“ ”.
2、解分式方程的一般步骤是：
① ，将分式方程转化为 方程；
② 解 方程；
③ ，判断方程解的情况.
3、分式方程的增根：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根．因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须 ．

练习1
（1）若关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．－1
（2）解方程

三、分式方程的应用
例2 据报道，今年４月中旬后，广深铁路高速列车将再提速25％，提速后乘客从广州坐火车到深圳将缩短15分钟， 广州、深圳两市距离150千米．求提速前的列车速度．

例3．某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成,现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？

【课堂检测题】
1、方程 的根是　　　　　　　　；
2、当x=____　　　___时，代数式的值相等．
3、如果是分式方程 的增根，则a＝　　　　　；
4、某市为了处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．设原计划每天铺设管道米，可得方程（ ）．
A. B.
C. D.
5、为改善生态环境,防止水土流失，某村拟在荒坡地上种植960棵树, 由于青年团员的支持,每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵，设原计划每天种植棵，
（1）要求：填上适当的代数式，完成表格．

种植数量（棵）
效率（棵/天）
所用时间（天）
原计划

x

实际

（2）根据题意得方程_____ .
6、解方程：．

7、在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程中甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．

第四节 一元二次方程
一、一元二次方程的相关概念
只含有 未知数，且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程.
一般形式： .
例1方程（m2－1）x2＋mx－5＝0 是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（ ）
A. m≠1 B. m≠0 C. |m|≠1 D. m＝±1

二、一元二次方程的解法
例2 用适当的解下列方程
（1） （2） （3）

小结：
解一元二次方程的基本思路是： .
一元二次方程的解法有： 法、 法和 法.
三种解法的优先选择顺序是： 法→ 法→ 法.

练习1 解下列方程
（1） （2）

（3）（配方法） （4）

三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程（是常数，且）的根的判别式是 .
判别式与一元二次方程的根的关系：
______　　_____方程 实数根
_________　　__方程 实数根
_________　　__方程 实数根

例3 已知：关于的一元二次方程．
求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
证明：

例4 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
解：

例5 已知关于x的一元二次方程只有正整数根，试求非负整数a的值．
解：

例6．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围
是 ．
变式1：若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
变式2：若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ．
变式3：若二次函数与轴有两个交点，则的取值范
围是 ．
变式4：若方程组有两个实数解，则的取值范围是 ．
变式5：已知一次函数和反比例函数在同一坐标平面内的图象有两个交点，则的取值范围是 ．

练习2
（1）一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
（2）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m<l B．m>-1 C．m>l D．m<-1
（3）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么＝　　　　.
（4）关于x方程（k－1）x2－4x＋5＝0有两个不相等的实数根，则k　　　　　　　.

四、一元二次方程的应用
例7某水果批发商场经销一种高档水果. 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
解：

例8 某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元,求3月份到5月份营业额的平均月增长率.
解：

【课堂检测题】
1、方程x2 = 2x的解是（ ）
A. x=2 B. x1=，x2= 0 C. x1=2，x2=0 D. x = 0
2、方程 2x (x－2)＝3 (x－2) 的根是（　　）
A. x＝　　　　　B. x＝2　　　　　C. x1＝，x2＝2　　　D. x＝－
3、用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4、已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A． m＞－1 B． m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
5、如果关于x的方程x2－2x－＝0没有实数根，那么k的最大整数值是（　　）
A. －3 B. －2 C. －1 D. 0
6、方程x2-3x+1=0根的情况是( ).
A. 有两个不相等的实数根; B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根; D. 只有一个实数根
7、某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ 　）
A. 200(1+a%)2=148 B. 200(1－a%)2=148
C. 200(1－2a%)=148 D. 200(1－a2%)=148
8.方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A. B. m=2 C. m=-2 D m=
9关于x的一元二次方程（ａ－１）得一个根是０，则ａ值为（　　）
A１　　　B.－１　　C.－１或１　　　D.
10、解下列方程
（1）x2－4x＝5（用配方法） （2）4 (x－1)2＝(x＋1)2

（3）

11、关于的一元二次方程的一个根为1，求实数的值和方程的另一个根..

12、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某市城区近几年来，通过拆迁旧房、植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿化面积不断增加，如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题:
（1）在2004~2005年度、2005~2006年度中，增加绿地面积较多的是哪个年度？
（2）为满足城市发展的需要，计划在2008年底使城市绿地面积达到72.6公顷，试求该市2006~2008这两个年度绿地面积的年平均增长率.

13.某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月至需
要交10元用电费；如果超过A千瓦时，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每
千瓦时元交费
（1）该厂某户居民2月份用电90千瓦时，超过了规定的A千瓦时，则超过部分应交电费
元（用A表示）
（2）下表是这户居民3月，4月的用电情况和交费情况：
月份
用电量（千瓦时）
交电费总数（元）
3
80
25
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的用电量A千瓦时是多少？

第五节 一元一次不等式（组）
一、不等式的性质
性质1 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向 .
即若，则 ．
性质2 不等式两边乘（或除以）同一个 数，不等号的方向 ．
即若， ，则 （或 ）．
性质3 不等式两边乘（或除以）同一个 数，不等号的方向 ．
即若， ，则 （或 ）．

二、不等式的解、解集
1、不等式的解，不等式的解集
2、在数轴上表示不等式的解集

三、一元一次不等式
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．一般形式是或，其中是常数且．
2、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，可以对照进行复习，注意区分它们的异同点．
变形名称
变形依据
注意事项

例1 解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来．

例2 求不等式＋2 ≥ x的非负整数解.

例3．设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物
△□
△△△
○○
□○

体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如
图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的
物体，按质量从小到大的顺序排列为 ( ) ．
（A）○□△ （B）○△□
（C）□○△ （D）△□○

练习1
（1）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

（2）不等式2x-7<5-2x的正整数解有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

（3）求解不等式，并在已知数轴上表示出它的解集．

四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组．
2、一元一次不等式组的解集．
3、解一元一次不等式组的步骤：
① ；
② 利用数轴求出这些解集的 ，即为这个不等式组的解集；如果没有 ，那么这个不等式组 ．
一元一次不等式组
解集
图示

①

②
例4解不等式组 ，并将它的解集在数轴上表示出来．

①

②
例5解不等式：．

①
②
例6 解不等式组 ，并求出它的最小负整数解．

图1

练习2
（1）解集在数轴上表示为如图1所示的不等式组是（ ）

A． B． C． D．
（2）不等式组的解集为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．无解
（3）解不等式组:

练习3 k为何整数时，方程5x-2k=-x+4的解在1和3之间？

五、一元一次不等式（组）的应用
例7 填空
1、在函数中，自变量x的取值范围是 ．
2、在函数 中，自变量x的取值范围是 .

例7 某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11 815元．已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，
品名
厂家批发价（元/只）
商场零售价（元/只）
篮球
130
160
排球
100
120

试解答下列问题：
（1）该采购员最多可购进篮球多少只？
（2）若该商场把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只，该商场最多可盈利多少元？

【课堂检测题】
1、函数自变量 的取值范围是 .
2、在函数中，自变量的取值范围是 .
3、把一个不等式组的解集表示在数轴上，如图3所示，则该不等式组的解集为（　　）

图3
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4、将不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（　 ）

5、解不等式 ，并把解集表示在数轴上.

6、求不等式的正整数解．

7、解不等式组

8、解不等式组：

9、某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠．一名同学为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔．已知影集每本15元，钢笔每支8元，问他至少买多少支钢笔才能打折？

10．仔细观察下图，认真阅读对话：

小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干
是有多的，但要再买一袋牛奶就不够
了！今天是儿童节，我给你买的饼干
打9折，两样东西请拿好！还有找你
的8角钱.
阿姨，我买一盒
饼干和一袋牛奶
（递上10元钱）.

根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？

11.思考题:
（1）m为何值时,方程组的解为x>0,y<0?

（2）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围.

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