一元二次方程的解法生本课堂教学设计.doc

22.2 降次——解一元二次方程“生本”课堂教学设计
——厦门市湖滨中学 叶志娟
课题
一元二次方程的解法——第2课时
课型
新授课
授课教师
叶志娟
章节
22.2降次——解一元二次方程（第2课时）
授课学校
松柏中学
授课班级
初三（6）班
教学
目标
1.知识与技能：
（1）会解含有三项的一元二次方程
（2）会利用利用配方法推导出求根公式法。（3）利用“”，快速判断一元二次方程根的情况。
2.数学思考:
(1)通过具体数字系数实例切入探索含有三项的一元二次方程的解法，初步体会其解法过程中的降次思想和因式分解的作用。
(2)通过从1个字母系数到三个字母系数的一元二次方程循序渐进的探索理解利用配方法推导求根公式，自然产生“” 的讨论，培养推理能力和由特殊到一般的数学思想，同时渗透了分类讨论的思想
(3)利用“”，实现知识之间的沟通；
3.态度情感与价值观：
(1)渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；进一步体会降次消元转化的思想方法
(2)培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神，感受数学的严谨性．

重点

难点

探索含有三项的一元二次方程的解法
及利用“”，快速判断一元二次方程根的情况

利用配方法推导出含有字母系数的一元二次方程的求根公式及对“”的讨论。
教材
分析
降次——解一元二次方程是义务教育课程标准实验教科书（人教版）九年级上册第22章第二节的内容，本节课是在学生学习了含有一项、二项的一元二次方程的解法的基础上，进一步延续和深化学习含有三项的一元二次方程的解法。在理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程的基础上，很自然地推出含有三项字母系数的一元二次方程的求根公式。同时利用“”，实现知识之间的沟通。一元二次方程的解法是中学方程教学的重要环节。又是解决实际问题时被广泛应用的工具。
学情
分析
1.学生知识技能基础：在学习本课之前已经学习了含有一项、二项的一元二次方程的解法；初步掌握了直接开平方法与提取公因式法，体会了降次消元的思想，同时也能易掌握配方法解数字系数的一元二次方程，但利用配方法解含有三项字母系数的一元二次方程是难点，特别是对配方法怎样配系数是个难点。对“”的分类讨论意识不够。
2.学生活动经验基础：学生通过举简单例子，找出规律的研究方法不够熟练，往往举出的例子较为复杂，不利研究。但具有小组合作学习的经验，能通过观察、动手、讨论等数学活动，积极参与对数学问题的讨论。但思维的开放度、严谨性不够，分类讨论思想意识较为需要教师的进一步引导。

教学
策略
根据方程的教学结构关系，采用整体的融合渗透的教学策略，对教材进行重组。在理解一元二次方程的原理的基础上，体会其解法过程中的降次思想和因式分解的作用。借助方程解法的教学，使学生经历一元二次方程各种解法的形成过程，并且通过大量的事实归纳概括，提炼形成方程的解法，整体感悟渗透其中的数学思想和方法，注意实现知识之间的沟通与联系。
教学资源
课本、教参、学案
教学媒体
多媒体课件
教学过程设计
教学环节
教师活动
预设学生活动
设计意图
课前三分钟
积累

1.填写下表
2.解方程
3.用适当的数填空：(完全平方公式：)
①x2+4x+     =（x+    ）2；
②x2－5x+     =（x－    ）2；
③+      =（x+    ）2； ④x2+bx+     =（x+    ）2
回顾已有的知识，动笔练习，四人小组互相对答，纠错反思。

配成完全平方式的关键是常数项的选择。
复习已有的知识基础,不仅唤醒学生知识回顾，又为新知识的引出做好铺垫。

学会利用完全平方知识填空， 初步配方为后面学习打 下基础

第一环节
探索含有三项的一元二次方程（一放一收）

（1）完全平方法

（2）十字相乘法。

（3）配方法
师：前一节课我们学习了含有一项、二项的一元二次方程的解法，今天我们一起来研究含有三项的一元二次方程的解法。首先从你会解的三项一元二次方程入手
问题1：
（1） 请举出二个含有三项的数字系数的一元二次方程（其中要求。如
（2）从能快速解出那个方程，为什么？
（3）四人小组交流讨论，能够快速解出的方程具有什么特点？
问题2：
（1）请同学们各举个可以用完全平方法解一元二次方程的例子与同桌说一说。

问题3：你还会解哪些方程？其方程有什么特点

问题4：剩下的方程；，该如何解？你会怎么处理？

学生举例如下：进行分类如下：
第一类：完全平方法

第二类：十字相乘法

第三类：配方法得出结论：
（1）关于x的方程x2+px+q=0，若能找到两个数a、b，使a+b=p, a·b=q 则就有x2+px+q= x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)=0即为十字相乘法
（2）二次项系数为1的配方法的基本思路是将方程转换成：
的形式

尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为学生创造在数学活动中获得活动经验的机会。
明确研究问题从简单入手。

在经历特殊到一般归纳过程的基础上，一放探索含有三项的数字系数的一元二次方程的解法，生生和师生之间围绕方程的结构特点进行交流和讨论，提炼出一元二次方程两种解法。配方法与十字相乘法。
此次“收”的目的是注意引导学生从整体上重点把握一元二次方程的完全平方法与配方法之间的关系，有利于学生在结构意义上实现类比迁移。

第二环节
利用配方法，探索求根公式（二放二收）

（1）含有1个字母系数的一元二次方程的解法

（2）含有三个字母系数的一元二次方程的解法

（3）对“” 的讨论
师：既然大家都已经学会用配方法解含有数字系数的一元二次方程，那么现在请大家挑战一下含有一个字母系数的一元二次方程。
问题5：解关于的方程
（1）
（2）
请（1）、（2）组做第（1）小题
（3）、（4）组做第（2）小题
问题6：这两题有什么共同点与不同点，你有什么新发现，为什么要这么处理？

教师应对学生的练习进行部分展示，给予肯定，特别是对全对的同学给予予赞赏。板书需要讨论的步骤

师：一个字母系数的一元二次方程会解了，那么三个字母系数的一元二次方程呢？让我们一起来研究与讨论
问题7：解关于的方程
（，、、为常数）
化简、移项、配方、变形由我和学生一起探究完成，到
这步时，提出问题:
① 此时可以直接开平方吗？需要注意什么？
② 等号右边的值有可能为负吗？说明什么？

③ 小组交流、讨论达成共识。对“” 进行分情况的讨论。
即：（1）>0
（2）=0
（3）<0

（1）学生独立练习
（2）相互批改，小组交流汇报：
（3）学生观察，找到联系与区别，
第（1）小题中的
永远大于0，可利用直接开方法即可解之。
第（2）小题中的
无法确定其非负，则需分类讨论。

（4）配方后，若等式右边无法确定是否非负，则需讨论。

将配方法应用到一般性的题目中，
从一个字母系数，再到三个字母系数的一元二次方程，针对不同的条件，不同的环境，学生逐步经历一元二次方程求解的过程，注意引导学生理解一元二次方程的解法原理，体会其解法过程中的降次思想。
引导学生对配方法的完整过程做一个回顾，学生可以在回忆和思考中加深对课堂知识的理解，加强记忆和应用能力。

师生共同完成前四步，这样与利于减轻学生的思维负担，便于将主要精力放在后边公式的推导上。通过小组的讨论有利于发挥学生的互帮互助；有利于发挥集体的优势；有利于突破难点。

给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自主得出结论。

第三环节
利用“”，快速判断一元二次方程根的情况（三放三收）
师：通过刚才对“”的讨论，我们发现“”与一元二次方程的根有什么关系呢？
师：现在让我们来试着利用今天所学的知识来验证前面所解的方程的“”与方程的根根的情况是否一致。

问题8：不解方程，判断根的情况
（1）
（2）
（3）
（4）

生总结归纳：
>0
方程有两个不相等的实数根。
=0
方程有两个相等的实数根。
<0
方程没有实数根
生：
方程有两个相等实数根。
可采用完全平方法。

本次活动中，教师应关注：（1）学生验证根的情况是否得当；（2）注意利用“”实现与完全平方法知识之间的沟通与联系

第四环节
课堂小结
小结：本节课你有哪些收获？
1. 知识
（1） 初步感知含有三项的一元二次方程的解法
（2） 利用“”，快速判断一元二次方程根的情况。
2. 方法
配方法、降次消元法、公式法。
回忆总结：
1.一元二次方程的解法
（1）配方法
（2）因式分解法
（3）公式法
2．“”与一元二次方程的根的情况
3．在求根公式推导中，要注意对“” 的讨论

通过小结与反思，概括本节课的学习内容，努力引导学生整体把握一元二次方程解法的方法结构，提升运用方法结构进行主动学习的能力。
板书设计
22.2降次——解一元二次方程
1．一元二次方程的一般形式 2.求根公式的推导 具体例子
2.一元二次方程的解法
（1）配方法
（2）因式分解法
（3）公式法
3.“”与一元二次方程根的情况
第五环节
作业设计
1.利用配方法完整推导出（，、、为常数）的一元二次方程的求根公式
2.用所学的直接开平方法、完全平方法、十字相乘法、求根公式法各举一个方程，并解之，总结一元二次方程结构与各种解法之间的关系。
教学反思
1.整节课的框架结构需要做一定的调整
2.学习“”与一元二次方程的解的关系要与前面所学的完全平方法进行知识之间的沟通。
3.当学生的举例比较复杂不利于研究时，教师要告之学生学习和研究问题通常要从简单的例子入手，找出规律，总结方法，再用方法去解决复杂的数学问题。