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千年沉浮话鸡兔
广州 杜厚生
2010年5月

一、算术方法千年沉浮
多年来，面对每一届初中学生，“鸡兔同笼”都是我必讲的一节课。有一个学生毕业后，在教师节寄给我的贺卡中写道：“我永远忘不了鸡兔同笼的那一节课，我第一次感到数学课也可以这么生动、这么有趣。”这是一个数学很烂的学生，当然，在那一节课后，也没有让他“从此过上了幸福的生活”，成为一个热爱数学的学生。一个老师曾经让自己的学生有“永远忘不了”的一节课，也足可以自豪了，那一刻我的感动恐怕还超过了他的感动。
我曾经问过许多同行的中学数学教师是否用过鸡兔题教学，几乎所有老师都说用过。再问怎么用，也几乎一致地回答，就是一道普通的列方程应用题，知道算术解法吗？回答是没听过、不知道。这的确代表了中国目前中学数学课堂教学的现状。至于选用这道一千五百年前的中国古代数学名题，只不过是告诉学生，虽然我们和我们的千年祖先做着同一道题，对祖先是名题、难题，对我们这一代人，只是最基础的简单题，是不值一提，因为我们有代数方程这个先进武器，代数方法与算术解法之间的差别，就像古代弓箭火药对现代冲锋枪手榴弹的的差别。
远离算术解法，摈弃算术解法，强化代数方法，这就是绝大多数中学教师的所认可的教学方向。于是，绝大多数中学数学老师不会用算术方法解小学应用题，面对自己读小学的孩子求助的眼神，只好先列出方程，然后通过变形倒推出一个勉强的算术解释。
与中学截然相反，对“鸡兔同笼”的算术解法的算法原理、推广应用、课堂教学效果、智力开发拓展，在小学教师教研实践中却热热闹闹、不绝如缕。中学数学完全无视传统体系和传统方法，将中国和西方、古代和现代割裂开来，漠视传承，拒绝衔接，在中国古代数学特有的算术体系与现代代数方法的较量中，算术彻底败下阵来。一个孩子在小学被开启的智力活动也被强力扭曲，“长大后，你就成了我”，也就成了一个不会解小学算术题的优秀数学教师！
名题“鸡兔同笼”出自公元四世纪南北朝时期我国古代数学著作《孙子算经》，至今已有一千五百余年了。千年已降，这道名题和中国古代数学一样，几经沉浮，历经沧桑。从汉朝到南北朝，是大师辈出、盛世华章的时代，直到十六世纪，中国数学是领先于全世界的。从汉至唐宋，读书人没有不读算术、不懂计算的，算术是唐宋科考的必考内容。但从元朝起，直到明清，科考只考八股文，算术被无情摈弃，于是读书人也就不学算术、不会计算了，这一弃，就是六百多年！但清代学者研究百鸡问题的很多，其中较突出的是骆腾凤、丁取忠和时曰醇。特别是时曰醇，对百钱百鸡问题有深入的研究，著有《百鸡术衍》上、下两卷，共28道题，都是不定方程问题，分别用方程术和大衍求一术两种方法求解，将鸡兔同笼和百鸡问题集大成地推到了顶峰，这是又一次先沉后浮。民初至今，西方科学进入中国，中国的科学发展在努力与世界同步，数学也在随之同步发展，但可悲的是，中国古代数学却被打入冷宫，罪名是落后陈旧、不科学、不系统，没有逻辑推理体系，只能龟缩在数学史和趣味数学的一角苟延残喘，落花流水春去也。
不料到了二十世纪八十年代，中国出了个吴文俊，别具慧眼，用令人不能不服的研究成果，为中国古代数学正本清源，让世界认识到：
“我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。《九章》与《刘注》是这一机械化体系的代表作，与公理化的代表作欧几里得《几何原本》可谓东西辉映，在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来近几百年的相对消沉后，势必重新登上历史舞台。《九章》与《刘注》所贯穿的机械化思想，不仅曾深刻影响了数学的历史进程，而且对数学的现状也正在发扬它日益显著的影响。它在进入 21 世纪后在数学中的地位，几乎可以预卜。”
吴文俊院士预言：“将来的数学，应该是走中国古代数学道路，而不是国际道路，这是一条总的趋势。”
与上述结论相对应的，就是用肇始于我国古代的数学机械化体系，在吴文俊、张景中等中国数学家具有开创性的、独具中国特色的开发研究下，结合电脑的数学机械化开创了现代数学里程碑式的新时代，近百来的世界数学难点在吴文俊提出数学机械化原理的构想之后，20年左右的时间就被中国数学家成功突破，中国传统数学历经千年沉浮，再一次站在了世界的前沿，实现了最新一次的升华。（2001年2月19日吴文俊院士荣获首届国家最高科学技术奖。获得奖金500万元人民币。）
中学数学教学还有什么理由轻视算术呢？中国算术与西方数学是东西辉映并立的两大数学体系，是数学发展中相互交替的主流啊。不一定要等到教育部重新制定课程标准和新教材，中学老师也应该主动将算术请回课堂，让算术获得应有的教学空间，仅凭教师个人的努力，目前至少可以在以下四个方面做一点贡献：
1.重新认识算术，是“从问题出发，以解决问题为主旨，以构造性与机械化为其特色的算法体系”，不再是“未知数不参与运算的列式方法”。从算法体系的角度看算术，在课堂上给算术解的探讨留出足够的时间；
2.代数方程与算术解并重，各有长处，各擅胜场。强调算术解的快捷性，认识构造性对开拓思维的重要性。“鸡兔同笼”的算术解法相对于列方程，算术解的巧妙与快捷是公认的。毕竟数学学习的真谛是最快最准的解决实际问题，而不是单纯的数学推导证明，而思维的创造性、开拓性、敏捷性应该是数学学习留给大部分学生唯一的东西，公式、定理、方法都会逐渐忘却，而能力不会忘。
3.向小学老师学习算术，老师先走一步，熟悉与掌握算术方法，不能以其昏昏，使人昭昭。
4.了解并参与数学机械化，将数学机械化的成果引进课堂。过去千年中国传统数学的机械化体系的代表是算法体系、数图、数诀、算筹、算盘，今天的数学机械化是电脑软件，电化教学。可以进入课堂的创新体系有张景中教授的以面积方法为核心的新概念几何，教学软件有几何画板、函数画板、各数学分支的解题软件等。
下文中，以“鸡兔问题”及与其有关联的“百鸡问题”为例，了解一下中国古代数学，以及算术解法中完全不同于代数体系的构造性、机械化的算法体系。

二、中国古算中的“鸡兔同笼”
今有雉兔同笼，上有三十五头．
下有九十四足，问雉兔各几何？
这是出自公元四世纪南北朝时期我国古代数学著作《孙子算经》中著名的“雉兔同笼”问题．书中给出的解法是：“上置头，下置足，半其足，以头除（此处‘除’之意为‘除去’即减去）足，以足除头，即得．”
宋钱易《南部新书》卷三中，亦有算法曰：“鸡兔算，《国史谱》纪之尚不明。上下头，下下脚(即“上置头、下置脚”)，脚即折半，下见头除脚，见脚除头，上是鸡、下是兔。”
古书中用的计算工具是算筹，按照口诀在上下两行中放置若干算筹，最后剩下的算筹即是答案。
用现在口算的方法来算，就是先设“金鸡独立”同时玉兔人立，大家同时减少一半足数（即“半其足”），这时共有足数为94÷2 = 47；在这47条足中，每数一条足应该有一只鸡，而每数两条足才有一只兔，所以兔数为 47－35 = 12，即“以头除足”．鸡数为 35－12 =23．即“以足除头”．
在元代朱世杰《算学启蒙》(1299年)卷中，《永乐大典》卷中的《丁巨算法》，严恭《通原算法》中，也有鸡兔同笼问题的记载．朱世杰的解法与《孙子算经》不同，而与现在算术解法则几乎完全一样．

三、“鸡兔同笼”算术解
许多应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法——“假设法”来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。
　　有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
　　解1：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是
　　244÷2=122（只）
　　在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数
　　122－88=34，
　　有34只兔子。当然鸡就有54只。
　　答：有兔子34只，鸡54只。
　　上面的计算，可以归结为下面算式：
　　总脚数÷2－总头数=兔子数
　　上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍。可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法。

　　解2：假设所有的鸡伸出两只翅膀化成脚，于是每只动物都有四只脚，那么就有4×88只脚，比244只脚多了
　　88×4－244=108（只），这多出来的108只其实是鸡翅膀，每两只翅膀对应一只鸡，所以有
108÷2=54只鸡
可以列出公式
鸡数=（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）。
　　解3：当然，我们也可以假设所有的兔子抬起两条前腿，于是每只动物都有两只脚，
那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了
　　244－176=68（只）。
　　这少了的68只其实是兔前腿，每两只前腿对应一只兔，所以有
　　68÷2=34只兔
　　也可以列出公式
兔数=（总脚数－鸡脚数×总头数）÷（兔脚数－鸡脚数）。
　　上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。
　　假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”。
算术体系中的构造性就体现在上题的“假设”中，这种假设并不来自于原题给出的数量关系，是构造出一个新的情景，构造出一个新的数量关系，从而得到一个几乎心算就可以得到的答案。这种构造没有一定的定式，在不同类的题目中，构造也不同，即一题一构。中国古算题的题型结构几乎全是“题曰，答曰，术曰”的形式，其中的“术”就是本题的解题构造。这种一题一构的特殊性，就给学习过程带来了极大的趣味性和挑战性，因此算术解法远比代数方程更有趣味，也更能活跃课堂，起到开拓思维的效果。但也正是这种一题一构的特殊性，给批评者提供了攻击的口实，斥之为奇思怪想，缺乏科学性、系统性和普遍性。这真是贾府的焦大看林妹妹——一无是处。角度不同、立场不同使之耳。

四、“鸡兔同笼”算术解的应用
用上面的“假设法”甚至直接套用解题公式：兔数=（总脚数－鸡脚数×总头数）÷（兔脚数－鸡脚数）或鸡数=（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数），能够解决同类的大批应用题。所谓“同类的习题”是指在两个事件中，知道各自的一个分量（例如鸡2足和兔4足）和两种总量关系（例如总头数和总足数），求各自的另一个分量（例如鸡头数和兔头数）。以下给出4道例题和10道练习题。
现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。
　　例1 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红、蓝铅笔各买几支？
解1（套公式计算）：
以“分”作为钱的单位。我们设想，一种“鸡”（蓝笔）有11只脚，一种“兔子”（红笔）有19只脚，它们共有16个头，280只脚。
　　现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了。直接套用上面算鸡数公式，就有
鸡数=（鸡脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
蓝笔数=（19×16－280）÷（19－11）
　　=24÷8
　　=3（支）。
　　红笔数=16－3=13（支）。
　　答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。
解2（假设法计算）：
假设蓝铅笔每支升价8分，和红铅笔同为19分，那么升多了的钱数是19×16－280＝304－280＝24分，这是由于蓝铅笔每支升价8分得到的，故蓝铅笔有24÷8＝3支。
对于这类问题的计算，常常可以利用已知数的特殊性简化计算，。例中的19与11之和是30，我们也可以设想8支红铅笔，8支蓝铅笔，根据这一设想，脚数是
　　8×（11+19）=240。
　　比280少40。
　　40÷（19－11）=5。
　　就知道设想中的8支蓝铅笔应少5支，也就是蓝铅笔是3支。
　　30×8比19×16或11×16要容易计算些。
　　实际上，可以任意设想一个方便的计算的数。例如，设想16支中，设想10支红铅笔，6支蓝铅笔，就有钱数是
　　19×10+11×6=256。
　　比280少24。
　　24÷（19－11）＝3，
　　就知道设想6支蓝铅笔，要少3支。
　　下面再举三个稍有难度的例子。
　　例2 一份稿件，甲单独打字需6小时完成。乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，两人共用了7小时。甲打字用了多少小时？
解：中学老师注意了，这道题的算术解法和中学列方程的思路是迥异其趣的。设甲打字用了x小时，列方程得：x/6＋(7－x)/10＝1,用到的等量关系是部分工作量之和等于全部工作量。相当一部分中学生是怵这种题目的，因为等式中没有了时间单位，是无量纲的等式，在理解上有一定困难。大部分中学老师完全不知道怎么用算术方法来解这类问题。
我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），30÷6=5份，30÷10=3份。
　　现在有了两个总量：总时间是7小时，总分量是30份。各自的分量是甲每小时打5份，乙每小时打3份，就把问题转化成“鸡兔同笼”类型问题了。
　假设全部由甲打了7个小时，完成了7×5＝35份，多出了5份，因为甲每小时比乙多打5－3＝2份，所以5÷2＝2.5小时，即甲多打了2.5小时，所以甲实际打了7－2.5＝4.5小时
　　例3 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各几只？
解：本题有三种动物，所以相当于两次解鸡兔问题。因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种。
假设将8条腿的蜘蛛都变成6条腿，18只小虫共有6×18＝108条腿，比已知118条腿少了10条腿，所以蜘蛛有10÷2=5只；因此就知道6条腿的小虫共18－5=13（只）。
　　也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀，再用一次假设法易知有蜻蜓7只。
　　答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
　　例4 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
解：本题应该首先去掉已知的人数和题数，剩下三种情况，再合并成两种然后求解。
对2道、3道、4道题的人共有
　　52－7－6=39（人）。
　　他们共做对
　　181－1×7－5×6=144（道）。
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）。
假设对4道题的人每人去掉1.5道，只剩2.5道，于是39人共对39×2.5＝97.5道，少了46.5道题，
　　对4道题的人每人去掉1.5道，故　对4道题的人共有46.5÷1.5＝31人
　　答：做对4道题的有31人。

鸡兔问题练习题：
　　1.龟鹤共有100个头，350只脚。龟、鹤各多少只？答：龟：(4×100－350)÷(4－2)＝25；鹤75头
　　2.学校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动。象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副。象棋和跳棋各有几副？象棋：(6×26－120)÷(6－2)＝9；跳棋17副
　　3.有2分和5分的硬币共36枚，共值99分。问：两种硬币各多少枚？2分：(5×36－99)÷(5－2)＝27,5分9枚
　　4.某人领得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多。那么2元、5元、10元各有多少张？(10×50－240)÷(10－3.5)＝40,2元与5元各20张，10元10张
　　5.一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天。甲先做了多少天？乙：(3×16－36)÷(3－2)＝12,甲4天
　　6.自行车越野赛全程220千米，全程被分为20个路段，其中一部分路段长14千米，其余的长9千米。问：长9千米的路段有多少个？(14×20－220)÷(14－9)＝12个
7.用1.1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问可以买1角的邮票多少张？
(10×15－110)÷(10－6)＝10,1角的邮票5张
8.盒子里有大小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个7克。问：盒中大、小钢珠各多少个？ (11×30－266)÷(11－7)＝16，大钢珠14个

9.小明给班里买了甲、乙两种电影票共50张，甲票每张0.5元，乙票每张0.35元，共花了19.6元，问：买甲票花的钱是买乙票花的钱的几分之几？ 乙票:(50×50－1960)÷(50－35)＝36，甲票14张

10.一辆公共汽车共载客50人，其中一部分人在中途下车，每张票价0.6元，另一部分到终点下车，每张票价0.9元。售票员共收票款36.9元。问：中途下了多少人？ (9×50－369)÷(9－6)＝27

五、“百鸡问题”算术解
百鸡术是中国古代解一次不定方程的一种方法。南北朝时的数学著作《张丘建算经》(约成书于5世纪，后收入《算经十书》)，卷下最末一题为：“今有鸡翁一直钱五，鸡母一直钱三，鸡雏三直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何”。史称“百鸡问题”。
设x表鸡雏数，y表鸡母数，z表鸡翁数，依题意可得：

这是一个三元一次不定方程组。
关于这一问题的解法，原书仅有“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三”的简单术文，并列出全部正整数答案(4，18，78)、(8，11，81)和(12，4，84)，至于“增四”、“减七”、“益三”的根据则没有叙述。
百鸡问题：公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只、小1文钱3只，用100文钱买了100只鸡，求公鸡母鸡小鸡应各买多少只？
解：先不考虑公鸡，100文钱买100只母鸡和小鸡。用鸡兔同笼算术解法中的“假设法”，假设所有母鸡化为小鸡，这样，100文钱可以买到300只小鸡，多出了200只小鸡，显然，这200只小鸡是由母鸡变化而来的，因为一只母鸡化为9只小鸡，鸡的数量多出了8只（即9－1只），多出的200只鸡除以8，得25，即有25只母鸡。故小鸡应买75只。这就是百鸡问题与鸡兔问题的相同之处。
第二步考虑用母鸡和小鸡置换公鸡，原则是每一次置换前后，鸡数和钱数要保持不变。例如用两只母鸡置换成一只公鸡和3只小鸡，钱数都是6文，但鸡数2只和4只，鸡数不相等，置换不可行。逐次试探，当用7只母鸡（21文），置换成4只公鸡加上3只小鸡时（也是21文），鸡数都是7只，置换成功。这就是《张丘建算经》中“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三”的由来。由于母鸡有25只，所以可以有置换7只、14只、21只三种方法，于是得到了全部的三组解：(4，18，78)、(8，11，81)和(12，4，84)。这是小学生都能理解的算术方法。与鸡兔问题一样，这种解法也有普遍性，可以推广到类似的三元一次不定方程组应用题上。
清朝时曰醇综合骆、丁二氏的解法，作《百鸡术衍》(1861)，收集了28道同类题，用方程法及大衍求一术（一次同余类）使这一古老问题灿然大著。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。
百鸡术在世界上流传很广泛，它是中外数学交流的一个重要线索，在中世纪世界数学史上有着特殊的意义。
本文的资料、习题均源自网络，由于许多资料业经多次转载，已经难以找到原始作者，故资料来源恕不一一列出，谨向有关作者，特别是许多小学数学教师致以个人的崇高敬意。

附录：百鸡问题源流考
百鸡术是中国古代解一次不定方程的一种方法。南北朝时的数学著作《张丘建算经》(约成书于5世纪，后收入《算经十书》)，卷下最末一题为：“今有鸡翁一直钱五，鸡母一直钱三，鸡雏三直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何”。史称“百鸡问题”。
设x表鸡翁数，y表鸡母数，z表鸡雏数，依题意可得：

这是一个三元一次不定方程组。
关于这一问题的解法，原书仅有“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三”的简单术文，并列出全部正整数答案(4，18，78)、(8，11，81)和(12，4，84)，至于“增四”、“减七”、“益三”的根据则没有叙述。第二种解法乃先固定某一未知数，由此将百鸡问题化为“鸡兔同笼问题”，相当于求解二元一次方程组。
清代学者研究百鸡问题的很多，其中较突出的是骆腾凤、丁取忠和时曰醇。
骆腾凤在《艺游录》(1815)中提出了一个十分巧妙的解法：先由题设方程组消去z，整理得7x+4y=100，两边同除以7，又得4yº2(mod7)；另一方面，因有4yº0(mod4)，于是得一“今有物不知数(4y)，以七除之，余二；以四除之，恰尽”的问题，可由“大衍求一术”解决。丁取忠《数学拾遗》(1851)的解法与杨辉所记第二法类似，只是他先假定鸡翁无，求得鸡母数25，鸡雏数 75；再由分析，若z加3，y减3，则鸡数不会变，而钱数则少8；又因为鸡翁的单价比鸡母的单价多2，可以设想再将7只鸡母换成4只鸡翁加3只小鸡，那么总的鸡数和钱数都不变，这样就解释了“增四”、“减七”、“益三”的道理，并得出第一组解 (4，18，78)。
时曰醇综合骆、丁二氏的解法，作《百鸡术衍》(1861)，收集了28道同类题，“诸题皆借方程为本术，并述大衍求一术以博其趣”，用方程法及大衍求一术（一次同余类）两种方法求解，使这一古老问题灿然大著。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。
时曰淳简介：
时曰淳，字清甫，嘉定人。精算术。发明古人术意，无不入微。咸丰末，与长沙丁取忠同客胡林翼幕府，每与商榷数理，见丁氏数学拾遗之百鸡术，谓与二色方程暗合。因为广衍，立二十八题，以“旧学商量加邃密、新知培养转深沉”十四字识其上下，为十四耦。诸题皆借方程为本术，并述大衍求一术以博其趣，作《百鸡术衍》二卷。
自序略曰：“张丘建算经鸡翁鸡母题问，甄、李两註及刘孝孙草，皆未达术意，不可通。近焦理堂所释尤误。读吾友丁君果臣数学拾遗，设术与二色方程暗合，乃通法也。骆氏艺游录用大衍求一术，以大小较求中数，取径颇巧，然遇较除共较实適尽者，则不可求。方程术则遇法除实得中数，不尽者以分母与减率相求而齐同之，无不可得。骆氏殆未知有方程本术耳。夫题祗本经一术，算理之微妙，不如孙子不知数一问，而术文各隐秘。彼则但举用数，此亦仅著加减三率，於前半段取数之法皆阙如。岂古人不传之秘，必待学者深思而自得乎？孙子求一术，至宋秦道古发之，独是题袭谬传讹，无借方程以问途者。曰淳蓄疑既久，今年春与果臣连榻鄂城，复一商榷，别后数月乃通之。怡然涣然，了无滞凝，亦穷愁中一快事也。因衍方程术为数学拾遗补，求负数法及加减率求答数法，附述求一术为艺游录补。以中小较求大数法，及大中较、大小较互求得中数、小数法，引伸钩索，温故知新，庶足以大畅厥旨乎！易翁、母、雏为大、中、小，设数不必以百，而统以百鸡命之者，识斯术所自昉也。”（清史稿·卷五百七 列传二百九十四 畴人二）
骆腾凤简介：
骆腾凤(1770－1841)，字鸣冈，号春池，清淮安府山阳县(今淮安市)人。父兴，县庠生，赠修职郎。骆氏幼颖悟，能诗善文，与邑人李宗昉同受业于清榜眼、礼部尚书汪廷珍。乾隆辛亥(1791)“岁科优等”为廪生。嘉庆庚申(1800)学使钱黼堂来淮主持县学考试，试古学出题《隗嚣宫怨赋》，骆腾凤“为淮属第一”，一时声名大振，时与李宗昉齐名，钱公“皆器重之”。后学使又出题《后生可畏》，“君文慷慨激昂，有寓意”，“钱公奇其才，遂以君充辛酉(1801)科选拔正贡，而以李副之”。是年秋，骆腾凤与李宗昉又同榜中举，并一同进京赴考。后来李宗昉与其师一样也中了榜眼，成了翰林院学士、礼部左侍郎，而骆腾凤“累上春官，七荐不售”，一直到道光丙戌(1826)方得“大挑一等”，“引见以知县用”。此时，他已是五十七岁老人了，对仕途已心灰意懒，不愿就任，遂“改授舒城县学训导”，到任未届一年即辞去。道光己亥(1839)，骆母崔太孺人百岁寿诞，朝廷颁旨“建坊舍南之安乐里”，从此“君自归养，后不复出游，晨夕侍膳，颐寿康娱，则君之孝可知矣。”
骆腾凤“性豪宕，不规规小节，每遇儒冠而猥鄙者，必丑诋之，颇为俗流所妒”，然而他：“性坦直无阿曲”。由于科第、仕途不得意，他在乡里一面设馆课徒，一面潜心研究数学。“教授里中学徒甚众，而孜孜善诲，亦以是附之。”他系统地钻研了我国古代算书：宋秦九韶《效学九章》、元李冶《测图海镜》、《益古演段》、朱世杰《四元玉鉴》等，利用进京参加礼部考试的机会，拜当时数学家李潢(号云门)为师，“寒暑靡间”，研习数学。嘉庆甲戌(1814)骆腾凤再度入京，李潢已去世，李之《九章算经注辑》、《古算经注》二书已成，但尚有大批手稿，其家人“谬加珍惜，秘不示人”，为了不使这些数学研究成果被湮没，骆腾凤将老师和自己演绎的稿纸，加以整理、概括，写成了《开方释例》四卷。
骆腾凤的数学成就在于：对古代天元术(即代数的一次方程)和乘方、开方进行了系统的研究，澄清了关于天元术起源的种种说法，纠正了当时数学家李锐、梅文鼎等人著作的谬误，指出西方流传到我国的解一次方程的借根方法，实源于我国的天元术，虽然西方以正负代替多少来掩盖它袭取天元术的痕迹，其实质没有变。李氏《开方说》、梅氏《少广拾遗》是当时有影响的数学著作，骆腾凤认为李、梅的学说颇不完备，“作法之原，究未详晰”，他还在乘方演算中“另辟一径，……由是以推，虽百乘以上无不可得。”骆腾凤在《开方释例》中，展示了自己对乘方、开方深入研究的成果，利用实例剖析，阐述了乘方、开方的途径和方法。《清史稿·骆腾凤传》评述：“骆氏于诸乘方方廉和较之加减之理，皆质言之，而推求各元进退定商诸述，尤足补李书所未备，诚学开方者之金锁匙。”
骆腾凤“尝取古今算书之未核者，溯原正伪”，写了《艺游录》二卷。指出：“天元一之妙，首在立正负”，“正负可以互易也”，并对简单高次方程、勾股定理等课题进行了探讨，还找到非常简便的方法来求勾股弦。
骆腾凤一生清贫，潜心数学，“遗稿凡十余万言，俱手自缮写”。在他病重期间，嘱其婿何锦寄京师同年李总宪宗肪及其学生全庆刊之。骆腾风“无子息”，其后事亦托诸清道咸年间大学者丁晏。去世时，其母一百零二岁，“君自恨不得终养”，于道光辛丑八月七日凄然而逝。他的著作在其去世后终得以行世，在当时影响很大，颇得数学界重视。（《淮安古今人物(第一辑)》）
百鸡术在世界上流传很广泛，印度的摩诃毗罗(9世纪)、婆什迦罗第二(12世纪)、埃及的阿布·卡米尔(9世纪)、意大利的L·斐波那契(13世纪)以及阿拉伯的卡西(15世纪)的著作中有类似的问题，印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同.它又是中外数学交流的一个重要线索，在中世纪世界数学史上有着特殊的意义。
下面是古今中外关于不定方程的一些著名算题：
1.一个金币可买24只羊，一个金币买一头牛，3个金币可买一匹马，现有100个金币要买100只动物，（三种动物都必须买到）
所以用2枚金币买羊，用29枚金币买牛，用69个金币买马为此题唯一答案.
2.钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文。问各买几何？
《续古摘奇算法》中引用《辨古通源》中的题。
这个题共有6组解（包括只买两种时的两个极端情况）。
3.今有鸭一值钱四，雀五值一钱，鸡一值一钱。凡百钱买百鸟，问鸡、雀、鸭各几何？
中亚细亚阿拉伯数学家阿尔·卡西（Al·Kashi）《算术之钥》第5卷第4节，1427年。
共得6组解（包括一组极端情况）。
得（x，y，z）＝（鸡、雀、鸭）＝（0，0，100）、（4，15，81）、（8，30，62）、（12，45，43）、（16，60，24）、（20，75，5）
4.百马百瓦：一百马，一百瓦，大马驮仨，中马驮俩，两个小马驮一片瓦，最后不剩马和瓦。问有多少大马、中马和小马？
得（x，y，z）＝（大马，中马，小马）＝（20，0，80）、（17，5，78）、（14，10，76）、（11，15，74）、（8，20，72）、（5，25，70）、（2，30，68）共有7组解（其中包括一组极端情况）。
5.有人买鸟：麻雀1钱币3只，斑鸠1钱币2只，鸽子2钱币1只。30个钱币买30只鸟。问各种鸟各买多少只？
费波那契（L·Fibonacci）公元1202年《计算之书》
得（x，y，z）＝（麻雀，斑鸠，鸽子）＝（0，20，10）、（9，10，11）、（18，0，12）。这样三组解中有一组是正整数解，其他两组为极端情况。
6.（清朝嘉靖皇帝）百牛问题：有银百两，买牛百头，大牛每头银十两，小牛每头银五两，牛犊每头银半两，问大、中、小牛各买几头？
（x，y，z）＝（大牛，小牛，牛犊）＝（5，85，10）（14，66，20）（23，47，30）（32，28，40）（41，9，50）共得5组解。
7.中国民间算术问题：（一）100条鱼共100斤，其中大鱼每条10斤，中鱼每条1斤，小鱼每16条1斤。问大、中、小鱼各多少条？
得（x，y，z）＝（大鱼，中鱼，小鱼）＝（0，100，0）、（5，47，48）
8.中国民间算术问题：（二）100条鱼共100斤，其中大鱼每条10斤，中鱼每条1斤半，小鱼每16条1斤。问大、中、小鱼各多少条？
（x，y，z）＝（大鱼，中鱼，小鱼）＝（9，3，88）
9.男人、妇女、小姐共47人，共付47钱币。男人没人付5钱币，妇女每人付3钱币，小姐每人付0.5钱币。问男人、妇女、小姐各几人？
16世纪欧洲A·Tierfedern《算术》
（男人，妇女，小姐）＝（x，y，z）＝（3，4，40）只有一组正整数解。
10.和尚吃馒头：一百个和尚吃一百个馒头，大和尚一人吃三个馒头，中和尚一人吃一个馒头，小和尚三人吃一个馒头，问大、中、小和尚各有几个？
明代程大位著《算法统宗》，原题为：
一百馒头一百僧，大僧三个更无增；
小僧三人分一个，大小和尚各几丁？
共有26组解。
11.马克思写了一本《数学手稿》，里面也有一道题：有30个人花了50先令，每个男人花3先令，每个女人花2先令，每个小孩花1先令，问男人、女人、小孩各几人？
共有11组解。
12.陈景润在1978年专门给具有初中和高中水平的青年写了一本《初等数论》，里面有一道题：有布7丈5尺，裁剪成大人和小孩的衣料，大人一件衣服用布7尺2寸，小孩一件衣服用布3尺，问各裁多少件衣服恰好把布用尽？
共有3组解：
（大人件数，小孩件数）＝（0，25）、（5，13）、（10，1）。
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