2024年特岗教师在职攻读.doc

数学与统计学院
特岗教师在职攻读教育研究生
学科教学数学专业复试措施

一、 复试内容包括专业知识测试、综合素质及能力测试等。
1、专业知识测试采取笔试的方式进行，考试时间为2小时；
2、考试科目《数学综合》，内容包括数学分析、高等代数和初等数学研究。
3、综合素质及能力测试采取面试方式进行。
二、 复试成绩总分为100分，其中笔试部分占40分，面试占60分。笔试和面试成绩之和为考试成绩，考试成绩不低于60分，否则视为考试不合格，不予录用。

海南师范大学特岗教师在职攻读教育研究生复试科目
考　试　大　纲
科目名称:
数学综合
合用专业:
学科教学数学（特岗教师在职攻读教育研究生）
一、考试形式与试卷结构
（一）试卷满分 及 考试时间
本试卷满分为 100分，考试时间为120分钟。
（二）答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）对应的位置上。
二、考查目标（复习要求）
特岗教师在职攻读教育研究生入学考试数学教育学科目考试内容包括数学分析、高等代数和初等数学研究三门学科课程，要求考生系统掌握有关学科的基本知识、基础理论和基本措施，并能利用有关理论和措施分析、处理有关的实际问题。
三、考试内容概要
第一部分：数学分析
（一）函数
1、 考试内容
函数概念，函数的奇偶性、周期性、有界性、无界性，复合函数和反函数，初等函数。
2、 考试要求
了解函数、复合函数及反函数的概念，掌握函数的奇偶性、周期性、有界性、无界性和各初等函数的体现式、图形及其基本性质。
（二）实数连续性定理、极限与函数的连续性
1、 考试内容
实数连续性定理；数列和函数极限的概念，极限的四则运算及其性质，单调有界原理，Heine定理，二个重要极限，函数的连续性，间断点，初等函数的连续性及其性质，闭区间上连续函数的性质，闭区间套定理，无穷小量与无穷大量的比较。
2、考试要求
了解实数的连续性，了解戴德金连续性定理、确界原理、闭区间套定理三个定理中的某一个定理。了解数列和函数极限的概念，能够利用e-d语言证明数列及函数极限问题；掌握极限的性质，Heine定理和单调有界原理；能够利用二个重要极限求解其他极限；了解函数的连续性和间断性，掌握连续函数的基本性质，了解闭区间上连续函数的性质，闭区间套定理；懂得比较两个无穷小量及无穷大量。
（三）导数、微分、微分中值定理及其应用
1、 考试内容
导数定义，导数的几何意义，导数的四则运算、反函数的求导法则和复合函数求导的链式法则； 隐函数与参数方程确定的函数的求导法则；高阶导数；微分概念与微分的几何解释；微分法则，一阶微分的形式不变性。极值概念；Fermat定理和 微分中值定理(Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理)； L'Hospital法则；利用导数研究函数的各种性质(单调性与极值，函数的凸性)； 函数极值的判别法；利用导数求函数的渐近线并且绘制函数的图像。
2、考试要求
掌握导数的概念及其几何意义，掌握求导措施，会计算隐函数导数和由参数方程确定的函数的导数，紧记基本初等函数求导公式，会求简单的函数高阶导数；了解微分的概念和一阶微分形式的不变性。掌握Fermat定理和Rolle定理,Lagrange中值定理，了解Cauchy定理；掌握L'Hospital法则，会利用L'Hospital法则求待定式的极限；掌握函数的单调性、凹凸性与其导函数之间的关系，会求函数极值及函数的拐点；能够利用导函数进行函数作图。
（四）不定积分、定积分
1、 考试内容
原函数和不定积分的概念；不定积分的基本公式；换元积分法，分部积分法；有理函数的积分；三角函数有理式的积分；某些无理函数的积分；定积分概念及其几何意义；定积分的基本性质；函数的一致连续性，康托定理； Newton-Leibniz公式；定积分换元积分法和分部积分法。
2、 考试要求
掌握原函数和不定积分的概念，熟记不定积分的基本公式；掌握换元积分法和分部积分法；掌握有理函数的积分，了解三角函数有理式的积分，了解某些无理函数的积分，掌握定积分概念及其几何意义、定积分的基本性质； 掌握函数的一致连续性、康托定理、Newton-Leibniz公式、定积分换元积分法和分部积分法。
(五) 微积分的应用
1、 考试内容
Taylor公式，初等函数的Taylor公式；微元法；微积分在几何上的应用（平面图形的面积，已知截面积的立体体积，旋转体的体积，平面上的光滑曲线的弧长，曲线曲率，旋转体侧面积计算）；微积分在物理上的应用（总压力问题，变力作功问题）。开普勒三定律与万有引力定律。
2、 考试要求
掌握Taylor公式，能够利用各种措施求函数的Taylor公式；掌握微元法，能够利用积分求平面图形的面积、已知截面积的立体体积、旋转体的体积、平面上的光滑曲线的弧长、旋转体侧面积计算以用变力作功等简单物理问题；了解开普勒三定律与万有引力定律的数学建模；了解曲线曲率的求法。
(六) 再论实数系
1、 考试内容
实数连续性的等价描述：戴德金分割定理，确界原理，单调有界原理；实数闭区间上的紧致性，有限覆盖定理，闭区间套定理，紧致性定理；实数的完备性，柯西收敛原理；再论闭区间上连续函数的性质；函数的可积性。
2、 考试要求
掌握确界原理、单调有界原理、闭区间套定理、紧致性定理和柯西收敛原理，了解戴德金分割定理，有限覆盖定理；懂得利用实数各基本定理证明闭区间上连续函数的性质；了解积分 上下和的概念、函数的可积性的充要条件。
（七）数项级数
1、 考试内容
数项级数的收敛和发散，级数收敛的必要条件，收敛级数的基本性质，正项级数收敛的判别法(比较判别法、比值判别法、根式判别法、拉阿比判别法、积分判别法) ；交织级数和Leibniz判别法，绝对收敛与条件收敛，柯西收敛原理，Abel变换以及有关一般数项级数的Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法,级数的重排问题及乘积问题。
2、 考试要求
掌握数项级数收敛和发散的概念、级数收敛的必要条件、收敛级数的基本性质，正确利用正项级数收敛的判别法(比较判别法、比值判别法、根式判别法、拉阿比判别法、积分判别法)、交织级数的Leibniz判别法，掌握绝对收敛与条件收敛的概念，了解柯西收敛原理，Abel变换，能够利用Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法判断级数的敛散性, 了解级数的重排问题及乘积问题。
（八）广义积分
1、 考试内容
无穷积分和瑕积分的概念及其敛散性（包括绝对收敛和条件收敛），无穷积分和瑕积分的性质，Cauchy收敛准则，比较判别法，积分第二中值定理，Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法。
2、 考试要求
掌握无穷积分和瑕积分的概念及其敛散性（包括绝对收敛和条件收敛）、无穷积分和瑕积分的性质、积分收敛的比较判别法、Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法，了解Cauchy收敛准则和积分第二中值定理。
（九）函数项级数、幂级数、傅里叶级数
1、 考试内容
函数列一致收敛性概念及其几何意义，函数列一致收敛性的判别法，一致收敛函数列的极限函数的分析性质(连续性、可积性、可微性)；函数项级数一致收敛性概念，一致收敛的Cauchy收敛准则，函数项级数一致收敛的必要条件，函数项级数一致收敛性的判别法 (M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法)，一致收敛的函数项级数的和函数的分析性质(连续性、可积性、可微性)。幂级数的收敛域和收敛半径，Abel第一定理和第二定理，幂级数和函数的性质(连续性、可积性、可微性)，函数的幂级数展开。三角函数系，三角级数的概念，以2p为周期的函数的Fourier级数，Fourier级数的收敛定理，函数的Fourier级数展开法。
2、 考试要求
掌握函数列一致收敛性概念，了解及其几何意义。掌握函数列一致收敛性的判别措施、一致收敛函数列的极限函数的分析性质(连续性、可积性、可微性)；掌握函数项级数一致收敛性概念、一致收敛的Cauchy收敛准则、函数项级数一致收敛的必要条件，能够利用函数项级数一致收敛性的判别法 (M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法)判断级数的一致收敛性，了解一致收敛的函数项级数的和函数的分析性质(连续性、可积性、可微性)并能够正确应用。了解Abel第一定理和第二定理，会求幂级数的收敛域和收敛半径，纯熟应用幂级数和函数的性质(连续性、可积性、可微性)。了解三角级数和正交函数系的概念，掌握Fourier级数的系数计算公式，会写出函数的Fourier级数以及奇函数、偶函数的Fourier级数展开式，了解Fourier级数的收敛定理和Riemann-Lebesgue引理。
（十）多元函数的极限与连续
1、 考试内容
平面点集的有关概念(区域、距离、聚点、开集和闭集等)，二维空间的基本定理(矩形套定理、致密性定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理)，多元函数的极限和连续性，多元函数的累次极限，有界闭区域上的连续函数的性质(有界性、最值性、介值性、一致连续性)。
2、 考试要求
了解平面点集的有关概念(区域、距离、聚点、开集和闭集等)、二维空间的基本定理(矩形套定理、致密性定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理)，掌握多元函数的极限和连续性、多元函数的累次极限，了解有界闭区域上的连续函数的性质(有界性、最值性、介值性、一致连续性)。
（十一）偏导数与全微分
1、 考试内容
偏导数的概念，全微分的概念，偏导数与微分的关系；多元复合函数的微分法，多元函数一阶微分形式的不变性，高阶偏导数；方向导数的概念及求法，多元函数的Taylor公式。
2、 考试要求
掌握偏导数和全微分的概念、偏导数与微分的关系；会利用多元复合函数的微分法求各阶偏导数和一、二阶微分，隐函数组的偏导数的求法；偏导数的几何应用（空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线）；了解方向导数的概念，掌握方向导数与可微的关系，会求函数的方向导数，了解多元函数的Taylor公式。
（十二）隐函数存在定理
1、 考试内容
单个方程的隐函数存在定理，方程组的隐函数组存在定理，反函数组存在定理。
2、 考试要求
了解隐函数（组）存在定理，会求隐函数（组）的偏导数。
（十三）极值和条件极值
1、 考试内容
多元函数极值（条件极值与无条件极值）概念，稳定点概念，多元函数无条件极值的必要条件和充足条件，求多元函数无 条件极值的Lagrange乘数法。
2、 考试要求
掌握多元函数极值（条件极值与无条件极值）概念和稳定点概念，会求多元函数无条件极值及条件极值，掌握Lagrange乘数法。
（十四）含参变量的积分
1、 考试内容
含参变量的正常积分概念，含参变量的正常积分的分析性质（连续性定理、积分次序互换定理与积分号下求导定理），含参变量的正常积分的计算；含参变量的广义积分的一致收敛概念，含参变量的广义积分的一致收敛的判别法（Cauchy收敛原理、Weierstrass判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法及Dini定理）；一致收敛积分的分析性质（连续性定理、积分次序互换定理与积分号下求导定理）；Euler积分：Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系。
2、 考试要求
掌握含参变量的正常积分的分析性质，并能够应用于含参变量的正常积分的计算；掌握含参变量的广义积分的一致收敛的判别法、一致收敛积分的分析性质；掌握Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系。
（十五）重积分
1、 考试内容
重积分的概念及其基本性质，化重积分为累次积分的计算措施；重积分的变量代换，极坐标变换，柱坐标变换，球坐标变换；曲面面积的计算，重积分在物理中的应用（质心，转动惯量等）。
2、 考试要求
掌握重积分的概念及其基本性质，会利用化重积分为累次积分及变量代换计算重积分；掌握曲面面积的计算公式，会利用重积分表示物理中的质心，转动惯量等。
（十六）曲线积分与曲面积分
1、考试内容
第一型曲线积分的概念，第一型曲线积分的性质（线性性与途径可加性），第一型曲线积分的计算公式及其应用；第一型曲面积分的概念、计算及应用。第二型曲线积分的概念及性质（方向性、线性性与途径可加性），第二型曲线积分的计算公式及其应用；了解曲面的侧的有关概念，第二型曲面积分的概念及性质（方向性、线性性与曲面可加性），第二型曲面积分的计算及应用。
1、 基本要求
了解第一、二型曲线积分与曲面积分的概念；掌握第一、二型曲线积分与曲面积分的计算。
（十七）各种积分间的联系与场论初步
1、 考试内容
Green公式，用Green公式计算曲线积分及求区域的面积，曲线积分与途径无关的条件及其应用；Gauss公式及其应用，Stokes公式及其应用；梯度场、散度场、旋度场的概念、意义、计算及简单应用。
2、 考试要求
掌握利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的措施；了解曲线积分与途径无关的条件；了解梯度场、散度场、旋度场的概念。

参考教材或重要参考书：
华东师大数学系编，《数学分析》（上、下册，第三、四版），高等教育出版社。

第二部分：高等代数
（一）一元多项式
1、考试内容　
　 数域；一元多项式；整除的概念；最大公因式；；因式分解定理；重因式；多项式函数；复系数与实系数多项式的因式分解；有理系数多项式。
2、考试要求
（1） 掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域。　　
（2） 正确了解数域P上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算律。
（3）正确了解整除的定义,纯熟掌握带余除法及整除的性质。
（4）正确了解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。
（5）正确了解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻了解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握标准分解式。
（6）正确了解和掌握k重因式的定义。
（7）掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。正确了解多项式与多项式函数的关系。
（8）了解代数基本定理。纯熟掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。
（9）深刻了解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。
（二）行列式
1、考试内容　
排列；n级行列式；n级行列式的性质；行列式的计算；行列式按一行（列）展开；克兰姆法则。
2、考试要求
（1）了解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。
（2）深刻了解和掌握n级行列式的定义,能用定义计算某些特殊行列式。
（3）纯熟掌握行列式的基本性质。
（4）正确了解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算某些简单行列式。
（5）正确了解元素的余子式、代数余子式等概念。纯熟掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。
（6）纯熟掌握克莱姆(Cramer)法则。
（三）线性方程组
1、考试内容
消元法；n维向量组；线性有关性；矩阵的秩；线性方程组有解判别定理；线性方程组解的结构
2、考试要求
（1）正确了解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特性及作用。会求线性方程组的一般解。
（2）了解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。纯熟掌握向量的运算。深刻了解n维向量空间的概念。
（3）正确了解和掌握线性组合、线性有关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻了解向量组的极大无关组、秩的定义，会求向量组的一个极大无关组。
（4）深刻了解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。
（5）纯熟掌握线性方程组的有解判别定理。了解和掌握线性方程组的公式解。
（6）正确了解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。纯熟掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的所有解。
（四）矩阵
1、考试内容　
矩阵的概念；矩阵的运算；矩阵乘积的行列式与秩；矩阵的逆；矩阵的分块；初等矩阵；分块矩阵的初等变换
2、考试要求
(1) 了解矩阵概念产生的背景。
(2) 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。
(3) 掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。
(4) 正确了解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n级方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。
(5) 了解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。
(6) 正确了解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其他们之间的关系，纯熟掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的措施求一个方阵的逆矩阵。
(7) 了解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。
（五）二次型
1、考试内容　
二次型的矩阵表示；标准形；唯一性；正定二次型。
2、考试要求
(1)　正确了解二次形和非退化线性替代的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的协议概念及性质。
(2)　了解二次型的标准形，掌握化二次型为标准型的措施（配措施、初等变换法）。
(3) 正确了解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性；掌握惯性定理。
(4) 正确了解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；纯熟掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。
（六）线性空间
1、考试内容　
集合与映射；线性空间的定义与简单性质；维数，基与坐标；基变换与坐标变换；线性子空间；子空间的交与和；子空间的直和；线性空间的同构。
2、考试要求
(1)　掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。
(2)　正确了解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。
(3)　了解线性组合、线性表示、线性有关、线性无关等概念；正确了解和掌握n维线性空间的概念及性质。
(4)　正确了解和掌握基变换与坐标变换的关系。
(5)　正确了解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。
(6)　掌握子空间的交与和的定义及性质；纯熟掌握维数公式。
(7)　深刻了解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。
(8)　了解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。
（七）线性变换
1、考试内容
线性变换的定义；线性变换的运算；线性变换的矩阵；特性值与特性向量；对角矩阵；
线性变换的值域与核；不变子空间； 最小多项式
2、考试要求
(1)　了解和掌握线性变换的定义及性质。
(2)　掌握线性变换的运算及运算规律，了解线性变换的多项式。
(3)　深刻了解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相同的概念和线性变换在不一样基下的矩阵相同等性质。
(4)　了解和掌握矩阵的特性值、特性向量、特性多项式的概念和性质；会求一个矩阵的特性值和特性向量；掌握相同矩阵与它们的特性多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。
(5)　掌握n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件。
(6)　掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻了解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。
(7)　 掌握不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是A-子空间；深刻了解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。
(8)　正确了解最小多项式的概念；掌握一个矩阵相同于一个对角阵与它的最小多项式的关系。
（八）欧几里得空间
1、考试内容　
定义与基本概念；标准正交基；同构；正交变换；子空间；实对称矩阵的标准形；
向量到子空间的距离。
2、考试要求
(1)　深刻了解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区分。
(2)　正确了解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。
(3)　深刻了解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。
(4) 正确了解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。
(5)　正确了解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。
(6) 深刻了解并掌握任一个对称矩阵均可正交相同于一个对角阵，并掌握求正交阵的措施。能用正交变换化实二次型为标准形。

参考教材或重要参考书：
《高等代数》，北京大学编，高等教育出版社

第三部分 初等代数研究
（一）数系
1、考试内容
数的概念的扩展、自然数的序数理论、整数环、有理数域、实数域、复数域。
2、考试要求
了解数的概念发展简史，熟悉数系扩展的方式与标准；熟悉自然数的序数理论，了解归纳公理；熟悉整数环的基本性质及扩张过程；熟悉有理数域的基本性质及扩张过程；熟悉实数的定义及其性质；熟悉复数域的性质及扩张过程，会用复数处理问题。
（二）式与不等式
1、考试内容
解析式的基本概念、多项式、分式、实数域上的根式、指数式、对数式、三角式与反三角式、不等式。
2、考试要求：
掌握各种解析式的基本概念、性质和运算法则；纯熟掌握多项式的因式分解；掌握分式、根式、指数式、对数式、三角式与反三角式的变形；掌握不等式的解法与证明。
（三）方程与函数
1、 考试内容
方程与方程组的概念及分类、方程与方程组的同解性、整式方程、分式方程、无理方程和超越方程、方程组的解法、函数概念的概述、初等函数性质的判定。
2、 考试要求
熟悉方程（组）的有关概念、掌握方程（组）的同解理论及方程变形时增、减根的原因；掌握差根变换、倍根变换、倒根变换等常用方程变换；会解倒数方程、分式方程、无理方程和超越方程及特殊类型方程组；了解一元三次方程和二元一次不定方程的一般解法；能用初等措施求解特殊初等超越方程；了解函数概念的发展和几个定义方式；掌握五种初等函数的概念、性质和图象；纯熟利用初等措施讨论初等函数。
（四）数列
1、考试内容
数列概述、等差数列与等比数列、几个特殊的数列、数学归纳法、数列的母函数。
2、考试要求
了解数列的有关概念和通项的求解；掌握等差数列与等比数列；了解高阶等差数列、斐波拉契数列和分群数列；掌握数学归纳法；了解数列的母函数。
（五）排列与组合
1、 考试内容
加法原理与乘法原理、排列、组合、容斥原理。
2、 考试要求
掌握加法原理与乘法原理、排列数、组合数的计算、组合恒等式的证明；了解多项式定理以及容斥原理及其应用。
（六）算法
1、 考试内容
算法概念、程序的基本结构、算法设计的基本措施、算法思想在高中数学课程中的地位及其教学。
2、 考试要求
了解算法的概念及其性质；掌握程序的三种基本结构；了解算法设计的基本措施；了解算法思想在高中数学课程中的地位。

参考教材或重要参考书：
[1] 叶立军主编， 《初等数学研究》 ，华东师范大学出版社，。
[2] 李长明，周焕山， 《初等数学研究》 ，高等教育出版社，1995。
[3] 余元希，田万海，毛宏德， 《初等代数研究》 ，高等教育出版社，1988。
[4] 朱德祥，朱维宗， 《初等几何研究》 ，高等教育出版社，。