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函数思想（1）
第1讲
一、概述与要点
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题.因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系.初中阶段我们主要学习了正比例函数y=kx（k≠0）、反比例函数y=k/x（k≠0）、一次函数y=kx+b（k≠0）和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。下面我举例说明函数思想在解题中的应用.
二、例题选讲
例1：某商店将进单价为8元的商品按每件10元售出，每天可以售出100件。若商品的销售每提高1元，则销量减少8件，该商店售出价定多少元时，才能获得最大利润？最大利润是多少？
解：设该店的销售利润为y元，商品的每件提高x元，此时销售量为（100－8x）件，则
　 　y=（10+x）（100－8x）－8（100－8x）
　　 = =
　　可见当x=5（x只能取整数）时，y有最大值420.
答：将商品定价为15元时，可以获得最大利润420元.
D´
G
A
D
A´
C´
C
例2：如图3-1，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥拱的DGD´
部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米，AD和A´D´
是两侧高为5.5米的支柱，OA的OA´为两个方向的汽车
通行区，宽都为15米，E´
E
线段CD和C´D´为两段对称的上
桥B´
B
O
斜坡，其坡度为1：4.
(1)求桥拱DGD´所在抛物线的解析式及CC´的长;
图3-1
(2)BE和B´E´为支撑斜坡的立柱,其高都为4米,相应的AB和A´B´为两个方向的行人及非机动车通行区．试求AB和A´B´的宽；
(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的均为7米．它能否从OA(或OA´)区域完全通过？请说明理由．
解：(1)设DGD´所在的抛物线的解析式为y=ax2+c，由题得G(0,8),D(15,5.5).
∴ 解得
∴DGD´所在的抛物线的解析式为y=-. ，且AD=5.5，∵AC=5.54=22(米).
∴CC´=2×OC=2(OA＋AC)=2(15＋22)=74(米)． 答：CC´的长为74米．
(2)∵，BE=4， ∴BC=16． ∴AB=AC-BC=22-16=6(米) .
答：AB和A´B´的宽都是6米.
(3)答：该大型货车可以从OA(或OA´)区域安全通过．在y=-中，当x=4时，y=． ∵．
∴该大型货车可以从OA(或OA´)区域安全通过．
 例3：这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图3-2．在地面O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β，OA＝1千米，tgα=,
tgβ=．位于O点正上方千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米(即图中E点．)
·E
(1)若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；
·
(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由．
α
β
图3-2
A
D
O
C
解：(1)设导弹运行轨道的抛物线解析式为y=ax2+bx+c．由题意知，这条抛物线的顶点坐标为E(4,3), ∴抛物线的对称轴为x=4．点D(0,)在这条抛物线上．点D关于x=4的对称点D´的坐标为 (8, )，点D´也在这条抛物线上.则：
解得抛物线的解析式为：．
(2)设C点的坐标为(x0,y0)，过C作CB⊥Ox，垂足为B．在Rt△OBC和Rt△ABC中，OA=1，∴tgα=，tgβ=． ∴． ∴=7． 当=7时，， ∴点C的坐标为(7, )． ∵， ∴点C(7, )在抛物线上．因而导弹能击中目标C.
三、习题精选
1、某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10—25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元。该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠，乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠，问该单位怎样选择，支付的旅游费用较少？
2、旅客乘车按规定可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购行李票.设行李y(元)是行李重量x(千克)的一次函数，其图像如图所示，求：
⑴y与x之间的函数关系式；
⑵旅客最多可免费携带行李的重量.
3、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y亿度与(x-0.4)(元)成反比例，又当x=0.65时，y=0.8.
⑴求y与x之间的函数关系式；
⑵若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益=用电量×(实际电价-成本价)]
4、辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运A、B、C三种水果42吨到外地销售.按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满。每种苹果不少于2车.
苹果品种
A
B
C
每辆汽车运载量(吨)
2.2
2.1
2
每吨苹果获利(百元)
6
8
5
⑴设x辆车装运A种苹果，用y辆车装运B种苹果，根据上表提供的信息，求y与x间的函数关系式，并求x的取值范围；
⑵设此次外销活动的利润为 w (百元)，求w与x的函数关系式以及最大利润并安排相应的车辆分配方案.
答案：
1、当人数在10—15人时，选择乙；16人时，选择甲或乙都一样；17—25人时，选择甲.
2、y=x/6-5、30千克.
3、y=1/(5x-2)、0.6元.
4、y=20-2x， x的取值范围为2，3，4，5，6，7，8，9 、w =336-10.4x ，当x=2时最大利润3.152万元， 分配方案：运A种苹果2车， B种苹果16车， C种苹果2车.