2022-2023学年广东省广州市华南师大附中九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市华南师大附中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.）
1．（3 分）近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是( )

A． B．
C． D．
2．（3 分）下列事件是必然事件的是( ) A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放《今日在线》C．射击运动员射击一次，命中十环
D．方程 x2 - x = 0 必有实数根
3．（3 分）平面直角坐标系内一点 P(-2, 3) 关于原点对称的点的坐标是( )

第 9页（共 25页）

A． (3, -2)
B． (2,3) C． (-2, -3)
D． (2, -3)

4．（3 分）如图， ÐA 是eO 的圆周角， ÐA = 50° ，则ÐBOC 的度数为( )

A． 40° B． 50° C．100° D．130° 5．（3 分）抛物线 y = - 1 (x - 2)2 + 1 的顶点坐标是( )
2

A． (-2, -1)
B． (-2,1)
C． (2, -1)
D． (2,1)

6．（3 分）如图，把 DOAB 绕点O 逆时针旋转60° ，得到 DOCD ，则下列结论错误的是( )

A. BD = OB
B. AB = OC
C. ÐA = ÐC
D. ÐAOC = ÐBOD

7．（3 分）已知实数 x1 ， x2 满足 x1 + x2 = 7 ， x1 x2 = 12 ，则以 x1 ， x2 为根的一元二次方程是( )

A． x2 - 7x +12 = 0
B． x2 + 7x +12 = 0
C． x2 + 7x -12 = 0
D． x2 - 7x -12 = 0

8．（3 分）如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦 AB 与小圆相切于点C ，则 AB = (

)

A． 4cm B． 5cm C． 6cm D． 8cm 9．（3 分）一个圆的半径为 4，则该圆的内接正方形的边长为( )

2
A．2 B． 2
C． 4
D．8

2
10．（3 分）二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示，其对称轴为直线 x = -1 ，则下列说法：

① abc > 0 ；② 2a + b = 0 ；③ 4ac > b2 ④ a - b + c > 2 ．其中正确的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.）

1
11．（3 分）已知 x = 1 是关于 x 的一元二次方程 x2 - a = 0 的一个根，则常数 a 的值是 ．

12．（3 分）一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的 4 个白球和 2 个红球，从袋子中任意摸出一个球是白球的概率是 ．
13．（3 分）已知关于 x 的方程 x2 + 2x - m = 0 没有实数根，则 m 的取值范围是 ．

14．（3 分）如图，直线 y = x - 1 与抛物线 y = x2 - 3x + 2 都经过点 A(1, 0) 和 B(3, 2) ，则不等

式 x - 1 > x2 - 3x + 2 的解集是 ．

15．（3 分）如图，从一块边长为 12 的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．

16．（3 分）如图，线段 BC 的两个端点分别在 x 轴和直线l 上滑动（均不与原点O 重合），

Ða= 60° ，BC = 2 ，作 BP ^ x 轴，CP ^ l ，交点为 P ，设 P 的坐标为( p, q) ，则 p2 + q2 = ．

三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4 分）解方程： x2 + 4x + 3 = 0 ．

18．（4 分）如图， eO 中，弧 AB = 弧 AC ， ÐC = 70° ，求ÐA 的度数．

19．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， DOAB 的顶点坐标分别为O(0, 0) ， A(5, 0) ，
B(4, -3) ．将DOAB 绕点O 顺时针旋转90° 得到△ OA¢B¢ ，点 A 旋转后的对应点为 A¢ ．
（1） 画出旋转后的图形△ OA¢B¢ ，并写出点 B¢ 的坐标；
（2） 在（1）的条件下，求点 B 经过的路径长（结果保留p) ．

20．（6 分）两个相邻正奇数的积为 143，求这两个正奇数．

21．（8 分）如图，已知eO 为RtDABC 的内切圆，切点分别为 D ， E ， F ，且ÐC = 90° ，
AB = 13 ， BC = 12 ．
（1） 求 BF 的长；
（2） 求eO 的半径 r ．

22．（10 分）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字

0，1，2；乙袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字-1 ， -2 ，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 x ，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 y ，确定点 M 坐标为(x, y) ．
（1） 用树状图或列表法列举点 M 所有可能的坐标；
（2） 求点 M (x, y) 在函数 y = -x + 1的图象上的概率．

2
23．（10 分）如图， DACE 是等腰直角三角形， ÐACE = 90° ， AC = 4
， B 为 AE 边上一

点，连接 BC ，将DABC 绕点C 旋转到DEDC 的位置．
（1） 若ÐACB = 20° ，求ÐCDE 的度数；
（2） 连接 BD ，求 BD 长的最小值．

24．（12 分）如图，直角梯形 ABCD 中， ÐA = ÐB = 90° ， AB = 12 ， CD = AD + BC ．
（1） 尺规作出以 AB 为直径的圆eO （保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 判断CD 与eO 的位置关系，并说明理由；
（3） 设 AD = x ， BC = y ，求 y 关于 x 的函数解析式．

25．（12 分）如图，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象交 x 轴于 A(-1, 0) ， B(2, 0) ，交 y 轴于

C(0, -2) ．
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 点 P 在该二次函数图象的对称轴上，且使| PB - PC | 最大，求点 P 的坐标；
（3） 若点 M 为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点 M 运动到何处时，四边形

ACMB 的面积最大？求出此时点 M 的坐标及四边形 ACMB 面积的最大值．

2022-2023 学年广东省广州市华南师大附中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.）
1．（3 分）近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是( )

A． B．
C． D．

【解答】解： A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选： D ．
2．（3 分）下列事件是必然事件的是( )

A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放《今日在线》C．射击运动员射击一次，命中十环
D．方程 x2 - x = 0 必有实数根
【解答】解： A 、抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上是随机事件，故本选项错误；

B 、打开电视频道，正在播放《今日在线》是随机事件，故本选项错误；

C 、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项错误；

D 、方程 x2 - x = 0 必有实数根是必然事件，故本选项正确； 故选： D ．
3．（3 分）平面直角坐标系内一点 P(-2, 3) 关于原点对称的点的坐标是( )

第 25页（共 25页）

A． (3, -2)
B． (2,3) C． (-2, -3)
D． (2, -3)

【解答】解：点 P(-2, 3) 关于原点对称的点的坐标是(2, -3) ． 故选： D ．

4．（3 分）如图， ÐA 是eO 的圆周角， ÐA = 50° ，则ÐBOC 的度数为( )
A． 40° B． 50° C．100° D．130°
【解答】解：QÐA = 50° ，
\ÐBOC = 2ÐA = 100° ． 故选： C ．
5．（3 分）抛物线 y = - 1 (x - 2)2 + 1 的顶点坐标是( )
2

A． (-2, -1)
B． (-2,1)
C． (2, -1)
D． (2,1)

【解答】解：因为 y = - 1 (x - 2)2 + 1 是抛物线的顶点式，
2
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2,1) ， 故选： D ．
6．（3 分）如图，把 DOAB 绕点O 逆时针旋转60° ，得到 DOCD ，则下列结论错误的是( )

A. BD = OB
B. AB = OC
C. ÐA = ÐC
D. ÐAOC = ÐBOD

【解答】解：QDOAB 绕点O 逆时针旋转60° 得到DOCD ，
\ÐA = ÐC ， ÐAOC = ÐBOD ， AB = CD ， OB = OD ，
QÐBOD = 60° ，
\ BD = OB ． 故选： B ．
7．（3 分）已知实数 x1 ， x2 满足 x1 + x2 = 7 ， x1 x2 = 12 ，则以 x1 ， x2 为根的一元二次方程是( )

A． x2 - 7x +12 = 0
B． x2 + 7x +12 = 0
C． x2 + 7x -12 = 0
D． x2 - 7x -12 = 0

【解答】解：以 x ， x 为根的一元二次方程 x2 - 7x +12 = 0 ，
1 2

故选： A ．
8．（3 分）如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦 AB 与小圆相切于点C ，则 AB = (

)

A． 4cm B． 5cm C． 6cm D． 8cm

【解答】解：连接OA ， OC ，

Q AB 与小圆相切，
\OC ^ AB ，
\ C 为 AB 的中点，即 AC = BC = 1 AB ，
2
在RtDAOC 中， OA = 5cm ， OC = 3cm ，

OA2 - OC2
根据勾股定理得： AC = 则 AB = 2 AC = 8cm ． 故选： D ．
= 4cm ，

9．（3 分）一个圆的半径为 4，则该圆的内接正方形的边长为( )

2
A．2 B． 2
C． 4
D．8

2
【解答】解：如图所示： eO 的半径为 4，
Q四边形 ABCD 是正方形， ÐB = 90° ，
\ AC 是eO 的直径，
\ AC = 2 ´ 4 = 8 ，
Q AB2 + BC 2 = AC 2 ， AB = BC ，
\ AB2 + BC 2 = 64 ，

2
解得： AB = 4 ，

2
即eO 的内接正方形的边长等于 4 ．

故选： C ．
10．（3 分）二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示，其对称轴为直线 x = -1 ，则下列说法：

① abc > 0 ；② 2a + b = 0 ；③ 4ac > b2 ④ a - b + c > 2 ．其中正确的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：Q抛物线开口向下，
\ a < 0 ，

Q抛物线的对称轴为直线 x = - b
2a

= -1 ，

\b = 2a < 0 ，
Q抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
\ c > 0 ，
\ abc > 0 ，所以①正确；
Q b = 2a ，
\ 2a - b = 0 ， 所以②错误；
Q抛物线与 x 轴有 2 个交点，
\△ = b2 - 4ac > 0 ，所以③错误；
Q抛物线开口向下， x = -1 是对称轴，所以 x = -1 对应的 y 值是最大值，
\ a - b + c > 2 ，所以④正确．
故选： B ．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.）

1
11．（3 分）已知 x = 1 是关于 x 的一元二次方程 x2 - a = 0 的一个根，则常数 a 的值是 1 ．

1
【解答】解：Q x = 1是关于 x 的一元二次方程 x2 - a = 0 的一个根，

\12 - a = 0 ， 解得， a = 1； 故答案为：1．
12．（3 分）一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的 4 个白球和 2 个红球，从袋子中任
意摸出一个球是白球的概率是 2 ．
3

【解答】解：由题意可得，
从袋中任意摸出一个球是白球的概率为 4

= 2 ．

故答案为： 2 ．
3
4 + 2 3

13．（3 分）已知关于 x 的方程 x2 + 2x - m = 0 没有实数根，则 m 的取值范围是 m < -1 ．
【解答】解：Q关于 x 的方程 x2 + 2x - m = 0 没有实数根，
\△ = 22 - 4 ´1´ (-m) = 4 + 4m < 0 ，

解得： m < -1 ．
故答案为： m < -1 ．
14．（3 分）如图，直线 y = x - 1 与抛物线 y = x2 - 3x + 2 都经过点 A(1, 0) 和 B(3, 2) ，则不等式 x - 1 > x2 - 3x + 2 的解集是 1 < x < 3 ．

【解答】解：直线 y = x - 1 与抛物线 y = x2 - 3x + 2 都经过点 A(1, 0) 和 B(3, 2) ， 由图象得：不等式 x - 1 > x2 - 3x + 2 的解集是1 < x < 3 ．
故答案为：1 < x < 3 ．

15．（3 分）如图，从一块边长为 12 的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其

3
围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．

【解答】解：连接 AD ，
QDABC 是边长为 12 的等边三角形，

\ AD = 12 ´
3 = 6 ，
3
2

\扇形的弧长为 60p´ 6 3 = 2 3p，
180

3
\圆锥的底面圆的半径是 2 3p¸p¸ 2 = ．

3
故答案为： ．

16．（3 分）如图，线段 BC 的两个端点分别在 x 轴和直线l 上滑动（均不与原点O 重合），

Ða= 60° ， BC = 2 ，作 BP ^ x 轴， CP ^ l ，交点为 P ，设 P 的坐标为( p, q) ，则 p2 + q2 =

16 ．
3
【解答】解：连接OP ，取OP 的中点为 D ，
Q BP ^ x 轴， CP ^ l ，
\CD = BD = 1 OP ，
2
\ O 、 B 、 P 、C 四点共圆， OP 为直径，如图：

连接CD 和 BD ，过 D 作 DE ^ BC 于点 E ，
\CE = 1 BC = 1 ，
2
QÐa= 60° ，
\ÐBDC = 2ÐBOC = 120° ，
\ÐCDE = 60° ，
\ÐBCD = 30° ，
\ DE = 1 CD ，
2
在RtDCDE 中，由勾股定理可得CD2 = DE 2 + CE 2 ，

即： CD2 =
(1 CD)
2

2 + 12 ，

解得： CD = 2 3 ，
3
\OP = 4 3 ，
3
\ p2 + q2 = OP2 = 16 ，
3
故答案为： 16 ．
3
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4 分）解方程： x2 + 4x + 3 = 0 ．
【解答】解： x2 + 4x + 3 = 0 ， 分解因式得： (x + 1)(x + 3) = 0 ，
可得 x + 1 = 0 或 x + 3 = 0 ， 解得： x1 = -1 ， x2 = -3 ．
18．（4 分）如图， eO 中，弧 AB = 弧 AC ， ÐC = 70° ，求ÐA 的度数．

【解答】解：Q弧 AB = 弧 AC ，
\ÐB = ÐC = 70° ，
\ÐA = 180° - ÐB - ÐC = 180° - 70° - 70° = 40° ， 即ÐA 的度数为 40° ．
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， DOAB 的顶点坐标分别为O(0, 0) ， A(5, 0) ，
B(4, -3) ．将DOAB 绕点O 顺时针旋转90° 得到△ OA¢B¢ ，点 A 旋转后的对应点为 A¢ ．
（1） 画出旋转后的图形△ OA¢B¢ ，并写出点 B¢ 的坐标；
（2） 在（1）的条件下，求点 B 经过的路径长（结果保留p) ．

【解答】解：（1）如图所示，△ OA¢B¢ 即为所求．

点 B¢ 的坐标为(-3, -4) ；

32 + 42
（2）由图知， ÐAOA¢ = 90° ， OB = = 5 ，
\点 B 在旋转过程中所走过的路径长 BB¢ = 90p´ 5 = 5p ．
180 2
20．（6 分）两个相邻正奇数的积为 143，求这两个正奇数．

【解答】解：设这两个连续奇数为 x ， x + 2 ， 根据题意 x(x + 2) = 143 ，
\ x1 = 11 ， x2 = -13 （舍去），

\当 x = 11时， x + 2 = 13 ； 答：两个连续奇数为 11，13．
21．（8 分）如图，已知eO 为RtDABC 的内切圆，切点分别为 D ， E ， F ，且ÐC = 90° ，
AB = 13 ， BC = 12 ．
（1） 求 BF 的长；
（2） 求eO 的半径 r ．
【解答】解：（1）在 RtDABC 中，QÐC = 90° ， AB = 13 ， BC = 12 ，

AB2 - BC2
132 -122
\ AC = = = 5 ，

QeO 为RtDABC 的内切圆，切点分别为 D ， E ， F ，
\ BD = BF ， AD = AE ， CF = CE ，
设 BF = BD = x ，则 AD = AE = 13 - x ， CF = CE = 12 - x ，
Q AE + EC = 5 ，
\13 - x + 12 - x = 5 ，
\ x = 10 ，
\ BF = 10 ．

（2）连接OE ， OF ，
Q OE ^ AC ， OF ^ BC ，
\ÐOEC = ÐC = ÐOFC = 90° ，
\四边形OECF 是矩形，
\OE = CF = BC - BF = 12 - 10 = 2 ． 即 r = 2 ．

22．（10 分）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字

0，1，2；乙袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字-1 ， -2 ，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 x ，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 y ，确定点 M 坐标为(x, y) ．
（1） 用树状图或列表法列举点 M 所有可能的坐标；
（2） 求点 M (x, y) 在函数 y = -x + 1的图象上的概率．
【解答】解：（1）列表如下：

x

y
0
1
2

-1
(0, -1)
(1, -1)
(2, -1)
-2
(0, -2)
(1, -2)
(2, -2)
0
(0, 0)
(1, 0)
(2, 0)
共有 9 种等可能的结果数；
（2）满足点(x, y) 落在函数 y = -x + 1 的图象上的结果有 2 个，即(2, -1) ， ( 1，0 ) ，
所以点 M (x, y) 在函数 y = -x + 1 的图象上的概率= 2 ．
9

2
23．（10 分）如图， DACE 是等腰直角三角形， ÐACE = 90° ， AC = 4
， B 为 AE 边上一

点，连接 BC ，将DABC 绕点C 旋转到DEDC 的位置．
（1） 若ÐACB = 20° ，求ÐCDE 的度数；
（2） 连接 BD ，求 BD 长的最小值．
【解答】解：（1）Q DACE 是等腰直角三角形， ÐACE = 90° ，
\ÐA = ÐAEC = 45° ，
QÐACB = 20° ，
\ÐABC = 180° - ÐA - ÐACB = 115° ，
Q将DABC 绕点C 旋转到DEDC 的位置，
\ÐCDE = ÐABC = 115° ；
（2）Q将DABC 绕点C 旋转到DEDC 的位置，
\ÐACB = ÐDCE ， BC = DC ，
\ÐBCD = ÐDCE + ÐBCE = ÐACB + ÐBCE = 90° ，

\ BD =
2BC ，

当 BC ^ AE 时， BC 的值最小，即 BD 的值最小，

2
Q AC = 4 ，

\ AB = BC =
2 AC = 4 ，
2

2
\ BD = 4 ，

2
故 BD 长的最小值为 4 ．

24．（12 分）如图，直角梯形 ABCD 中， ÐA = ÐB = 90° ， AB = 12 ， CD = AD + BC ．
（1） 尺规作出以 AB 为直径的圆eO （保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 判断CD 与eO 的位置关系，并说明理由；
（3） 设 AD = x ， BC = y ，求 y 关于 x 的函数解析式．

【解答】解：（1）所作图形如图 1 所示；

（2） CD 与eO 相切，理由：如图 2，

作ÐADC 的角平分线，交 AB 于 M ，

\ÐADM = ÐCDM ，
过点 M 作 MF ^ CD 于 F ，
\ÐDFM = 90° = ÐA ，
Q DM = DM ，
\DADM @ DFDM (AAS ) ，
\ MF = MA ， DF = AD ，
\CD = DF + CF = AD + CF ，
Q CD = AD + BC ，
\CF = BC ，
在RtDCFM 和RtDCBM 中，

ìCF = BC
î
íCM = CM ，

\RtDCFM @ RtDCBM(HL) ，
\ BM = MF ，
\ MF = 1 AB ，
2
QeO 的直径为 AB ，
\CD 与eO 相切（圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线）；

（3） 如图 3，过点 D 作 DE ^ BC 于 E ，

\ÐDEC = ÐDEB = 90° ，
QÐA = ÐB = 90° ，
\ÐA = ÐB = ÐDEB = 90° ，

\四边形 ABED 是矩形，
\ DE = AB = 12 ， BE = AD = x ，
在RtDDEC 中， CE = BC - BE = y - x ， CD = AD + BC = x + y ， 根据勾股定理得， DE 2 + CE 2 = CD2 ，
\122 + ( y - x)2 = (x + y)2 ，
\ y = 36 ．
x

25．（12 分）如图，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象交 x 轴于 A(-1, 0) ， B(2, 0) ，交 y 轴于

C(0, -2) ．
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 点 P 在该二次函数图象的对称轴上，且使| PB - PC | 最大，求点 P 的坐标；
（3） 若点 M 为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点 M 运动到何处时，四边形

ACMB 的面积最大？求出此时点 M 的坐标及四边形 ACMB 面积的最大值．

【解答】解：（1）将 A(-1, 0) ， B(2, 0) ， C(0, -2) 代入 y = ax2 + bx + c ，

ìa - b + c = 0
í
\ ï4a + 2b + c = 0 ，
î
ïc = -2

ìa = 1
í
解得ïb = -1 ，
î
ïc = -2

\ y = x2 - x - 2 ；
（2）Q y = x2 - x - 2 = (x - 1 )2 - 9 ，
2 4

\抛物线的对称轴为直线 x = 1 ，
2
作C 点关于对称轴的对称点C ¢ ，连接 BC¢ 与对称轴交于点 P ，
QCP = C¢P ，
\| PB - PC |=| PB - PC ¢| „BC ¢ ，此时| PB - PC | 有最大值，
Q C(0, -2) ，
\C¢(1, -2) ，
设直线 BC¢ 的解析式为 y = kx + m ，

í2k + m = 0
\ ìk + m = -2 ，
î

ím = -4
解得ìk = 2 ，
î

\ y = 2x - 4 ，
\ P( 1 ， -3) ；
2
（3）过点 M 作 MN / / y 轴交 BC 于点 N ，
Q B(2, 0) ， C(0, -2) ，
\直线 BC 的解析式为 y = x - 2 ， 设 M (t,t2 - t - 2) ，则 N (t,t - 2) ，
\ MN = t - 2 - (t2 - t - 2) = -t2 + 2t ，

\ SDBCM

Q SDABC

\ S
= 1 ´ 2 ´ (-t 2 + 2t) = -t 2 + 2t ，
2
= 1 ´ 3 ´ 2 = 3 ，
2

= 3 - t 2 + 2t = -(t - 1)2 + 4 ，

四边形ACMB

当t = 1 时，四边形 ACMB 的面积最大值为 4， 此时 M (1, -2) ．