2020-2021学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2020-2021 学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共 10 小题）

1．（3 分）下列图案是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．
2．（3 分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为 1，点 A、O、D 都在格点上，点 O

是△ABO 和△DCO 的位似中心，则△ABO 与△DCO 的周长比为（ ）

A．5：2 B．25：4 C．4：25 D．2：5

3．（3 分）如图，△ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°得到△ADE，∠BAC＝50°，则∠DAC 的度数为（ ）

A．10° B．15° C．20° D．25°

4．（3 分）如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则⊙O 半径为（ ）

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A．6 B．5 C．4 D．3

5．（3 分）把抛物线 y＝﹣4x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣4（x+2）2﹣3 B．y＝﹣4（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣4（x﹣3）2+2 D．y＝﹣4（x﹣3）2﹣2
6．（3 分）关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0 有一个根为 0，则 m 的值应为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2 或﹣2 D．1

7．（3 分）某市经济发展势头进一步向好，2020 年第一季度该地区生产总值约为 5229 亿元，第三季度生产总值约为 6508 亿元，设二，三季度平均每季度增长率为 x，依题意列出方程正确的是（ ）
A．5229（1+x）＝6508 B．5229（1﹣x）＝6508
C．5229（1+x）2＝6508 D．6508（1﹣x）2＝5229
8．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．a＜0 B．4a+2b+c＞0

C．c＞0 D．当 x＝1 时，函数有最小值

9．（3 分）如图，AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于 E、F、G 三点，且 AB∥CD，BO＝3， CO＝4，则 OF 的长为（ ）

A． B． C． D．5
10．（3 分）如图，平行于 BC 的线段 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则若 AD＝1，则 BD 的长为（ ）

A． B．1 C． D． 二．填空题（共 6 小题）
11．（3 分）点 A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x﹣3＝0 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1+x2
＝ ．

13．（3 分）圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则它的侧面积为 ．

14．（3 分）在某一时刻，测得一根高为 1.2m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 60m，则这栋楼的高度为 m．
15．（3 分）若抛物线 y＝2x2﹣3x+c 与直线 y＝x+1 没有交点，则 c 的取值范围是 ．
16．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E，F 分别在线段 BC，CD 上，且 CF＝3， CE＝2，若点 M，N 分别在线段 AB，AD 上运动，P 为线段 MF 上的点，在运动过程中， 始终保持∠PEB＝∠PFC，则线段 PN 的最小值为 ．

三．解答题（共 9 小题）

17．解方程：x2﹣10x+16＝0．
18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，在图中画出将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°后得到的△ A'B'C'．

19. 如图，AB 为⊙O 直径，点 C 在⊙O 上，AC 平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为 E．求证： DE 为⊙O 切线．
20．已知抛物线 y＝a（x﹣1）2+k 且经过点 A（﹣1，0）、B（0，3）．
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 直接写出不等式 a（x﹣1）2+k≥3 的解集．
21. 如图，在⊙O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，且 PD＜PC．
（1）求证：△PAD∽△PCB；

（2）若 PA＝3，PB＝8，CD＝10，求 PD．

22. 某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件 50 元，现在的销售单价为每件 80 元，每

周可卖出 200 件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每降

低 1 元，每周可多卖出 20 件．

（1） 若想满足每周销售利润为 7500 元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价为多少元？

（2） 销售单价应为多少元，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？

23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝4，BC＝8，点 E，F 分别在边 AD，CD 上，且 AE

＝2，CF＝1，分别连接 BE，BF 交 AC 于点 G，H．

（1） 若平行四边形 ABCD 的面积为 24，求△AEG 的面积；
（2） 求的值．

24. 如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 6，∠AOB＝60°，⊙O 上一动点 C 从点 B 出发以每秒 个单位沿圆周逆时针运动，运动时间为 t（秒）（0≤t≤16），点 B 关于 AC 的对称点为
B'，射线 CB'与⊙O 另一交点为 D．
（1） 直接写出⊙O 的半径长；
（2） 当四边形 ABCD 的面积为时，求 t 值；
（3） 当点 C 运动到 12 秒时停止，在点 C 运动的过程中求△BCD 的内心 M 所经过的路径长．

25. 已知抛物线 C1：y＝ax2﹣2ax﹣2，点 O 为平面直角坐标系原点，点 A 坐标为（5，1）．
（1） 若抛物线 C1 过点 A，求抛物线解析式；
（2） 若抛物线 C1 与线段 OA 有交点，求 a 的取值范围；
（3） 把抛物线 C1 沿直线 OA 方向平移|t|个单位（规定：射线 OA 方向为正方向）得到抛物线 C2，若对于抛物线 C2，当﹣2≤x≤3 时，y 随 x 的增大而增大，求 t 的取值范围．

2020-2021 学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共 10 小题）

1．（3 分）下列图案是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180

度后与原图重合．

2．（3 分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为 1，点 A、O、D 都在格点上，点 O

是△ABO 和△DCO 的位似中心，则△ABO 与△DCO 的周长比为（ ）

A．5：2 B．25：4 C．4：25 D．2：5

【分析】先利用位似的性质得到△ABO∽△DCO，相似比为 2：5，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵点 O 是△ABO 和△DCO 的位似中心，

∴△ABO∽△DCO，相似比为 OA：OD＝2：5，

∴△ABO 与△DCO 的周长比为 2：5． 故选：D．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
3．（3 分）如图，△ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°得到△ADE，∠BAC＝50°，则∠DAC 的度数为（ ）

A．10° B．15° C．20° D．25°

【分析】利用角的和差定义求解即可．

【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAD＝40°，

∵∠BAC＝50°，

∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝50°﹣40°＝10°， 故选：A．
【点评】本题考查旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

4．（3 分）如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则⊙O 半径为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【分析】连接 OA，由题意得：OC⊥AB 于 C，OC＝3，再由垂径定理得 AC＝BC＝ AB

＝4，然后由勾股定理求出 OA 的长即可．

【解答】解：连接 OA，如图：

由题意得：OC⊥AB 于 C，OC＝3，AB＝8，
∴AC＝BC＝ AB＝4，
∴OA＝ ＝＝5， 即⊙O 半径为 5，
故选：B．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．

5．（3 分）把抛物线 y＝﹣4x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣4（x+2）2﹣3 B．y＝﹣4（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣4（x﹣3）2+2 D．y＝﹣4（x﹣3）2﹣2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．

【解答】解：把抛物线 y＝﹣4x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线的解析式为：y＝﹣4（x+2）2﹣3．
故选：A．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．（3 分）关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0 有一个根为 0，则 m 的值应为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2 或﹣2 D．1

【分析】把 x＝0 代入已知方程，列出关于 m 的新方程，通过解新方程可以求得 m 的值．

【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0 有一个根为 0，
∴m2﹣4＝0 且 m﹣2≠0， 解得，m＝﹣2．
故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．解题时，注意一

元二次方程的二次项系数一定不能等于零．

7．（3 分）某市经济发展势头进一步向好，2020 年第一季度该地区生产总值约为 5229 亿元，第三季度生产总值约为 6508 亿元，设二，三季度平均每季度增长率为 x，依题意列出方程正确的是（ ）
A．5229（1+x）＝6508 B．5229（1﹣x）＝6508
C．5229（1+x）2＝6508 D．6508（1﹣x）2＝5229
【分析】根据该市 2020 年第一季度及第三季度生产总值，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：5229（1+x）2＝6508． 故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．a＜0 B．4a+2b+c＞0

C．c＞0 D．当 x＝1 时，函数有最小值

【分析】利用抛物线开口方向可对 A 选项进行判断；利用函数图象得到 x＝2 时，y＜0， 则可对 B 选项进行判断；利用抛物线与 y 轴的交点位置可对 C 选项错误；根据抛物线的对称性得到对称轴，然后根据二次函数的性质可对 D 选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，所以 A 选项错误；

∵x＝2 时，y＜0，

∴4a+2b+c＜0，所以 B 选项错误；

∵抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，

∴c＜0，所以 C 选项错误；

∵抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），

∴抛物线的对称轴为直线 x＝1，

∴当 x＝1 时，函数有最小值，所以 D 选项正确． 故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0），
二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小．当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时， 抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置．当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c）．抛物线与 x 轴交点个数由
△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0 时，抛物线与
x 轴有 1 个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．
9．（3 分）如图，AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于 E、F、G 三点，且 AB∥CD，BO＝3， CO＝4，则 OF 的长为（ ）

A． B． C． D．5
【分析】连接 OF，如图，利用切线长定理和切线的性质得∠OBC＝∠ABC，∠BCO＝ ∠BCD，OF⊥BC，再利用平行线的性质得到∠OBC+∠BCO＝90°，则可利用勾股定理计算出 BC＝5，然后利用面积法计算出 OF．
【解答】解：连接 OF，如图，

∵AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于 E、F、G 三点，
∴BO 平分∠ABC，CO 平分∠BCD，OF⊥BC，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠BCO＝ ∠BCD，
∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBC+∠BCO＝ （∠ABC+∠BCD）＝ ×180°＝90°，
∵∠BOC＝90°，

∴BC＝ ＝＝5，
∵OF•BC＝ OB•OC，
∴OF＝ ＝． 故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和平行线的性质．
10．（3 分）如图，平行于 BC 的线段 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则若 AD＝1，则 BD 的长为（ ）

A． B．1 C． D．
【分析】由平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，可知△ADE 与△ABC
相似，且面积比为 ，则相似比为，，可求出 AB 的长，则 DB 的长可求出．
【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，

∴S△ADE＝S 四边形 DBCE，

∴ ＝，
∴，
∵AD＝1，

∴AB＝ ．

∴DB＝AB﹣AD＝ ． 故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．
二．填空题（共 6 小题）

11．（3 分）点 A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，﹣3） ．

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（﹣2，3）关于原点 O 的对称点是 P′（2，﹣3）
【解答】解：根据两个点关于原点对称，

∴点 P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）；故答案为（2，﹣3）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
12．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x﹣3＝0 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1+x2
＝ 4 ．

【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x﹣3＝0 的两个实数根分别为 x1，x2，
∴x1+x2＝4， 故答案为 4．
【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两
根为 x1，x2，则 x1+x2＝﹣，x1•x2＝ ．
13．（3 分）圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则它的侧面积为 12π ．
【分析】根据圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×2×6＝12π， 故答案为：12π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
14．（3 分）在某一时刻，测得一根高为 1.2m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长

为 60m，则这栋楼的高度为 24 m．

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．

【解答】解：设这栋楼的高度为 hm，

∵在某一时刻，测得一根高为 1.2m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 60m，
∴＝，
解得 h＝24． 故答案为：24．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
15．（3 分）若抛物线 y＝2x2﹣3x+c 与直线 y＝x+1 没有交点，则 c 的取值范围是 c＞3 ．

【分析】根据两个函数的图象没有交点，则两个函数关系式组成方程组无解，从而得出答案．
【解答】解：因为抛物线 y＝2x2﹣3x+c 与直线 y＝x+1 没有交点， 所以一元二次方程 2x2﹣3x+c＝x+1 没有实数根，
即 2x2﹣4x+c﹣1＝0 无实数根， 所以 16﹣8（c﹣1）＜0，
解得，c＞3，

故答案为：c＞3．

【点评】本题考查二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，理解两个函数图象没有公共点的意义是解决问题的关键．
16．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E，F 分别在线段 BC，CD 上，且 CF＝3， CE＝2，若点 M，N 分别在线段 AB，AD 上运动，P 为线段 MF 上的点，在运动过程中，
始终保持∠PEB＝∠PFC，则线段 PN 的最小值为 ．

【分析】根据四边形对角互补得：C、E、P、F 四点共圆，取 EF 的中点为 O，以 EF 为

直径作圆 O，如图 1，连接 OP，ON，根据三角形三边关系可知：PN≥ON﹣OP，因为OP 为定值，当 O、N、P 三点共线，且 ON⊥AD 时，ON 最小，PN 最小，如图 2，根据勾股定理可得结论．
【解答】解：如图 1，

∵∠PEB＝∠PFC，∠PEB+∠CEP＝180°，

∴∠CEP+∠CFP＝180°，

∴C、E、P、F 四点共圆，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴∠BCD＝90°，

∴EF 是直径，

取 EF 的中点为 O，以 EF 为直径作圆 O，如图 1，连接 OP，ON，

∵PN≥ON﹣OP，
∵OP 是定值，OP＝EF＝ ＝，
即当 O、N、P 三点共线，且 ON⊥AD 时，ON 最小，PN 最小， 如图 2，PN 最小，延长 NO 交 BC 于 Q，则 OQ⊥CE，

∴EQ＝ EC＝1，
由勾股定理得：OQ＝ ＝＝，
∴PN＝6﹣ ﹣＝；
即线段 PN 的最小值为． 故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，圆周角定理，三角形的三边关系，勾股定理等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆 O，确定 PN 最小值时 PN 的位置是关键．
三．解答题（共 9 小题）

17．解方程：x2﹣10x+16＝0．
【分析】直接利用因式分解法解方程得出答案．

【解答】解：x2﹣10x+16＝0
（x﹣2）（x﹣8）＝0， x﹣2＝0 或 x﹣8＝0， 解得：x1＝2，x2＝8．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，在图中画出将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°后得到的△ A'B'C'．

【分析】利用网格特点和旋转的性质画出 A、B 的对应点 A′、B′即可．

【解答】解：如图，△A'B'C'为所作．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法， 找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19. 如图，AB 为⊙O 直径，点 C 在⊙O 上，AC 平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为 E．求证： DE 为⊙O 切线．
【分析】连接 OC，如图，由 AC 平分∠EAB 得到∠BAC＝∠EAC，加上∠OAC＝∠ACO， 则∠EAC＝∠ACO，于是可判断 OC∥AE，根据平行线的性质得 OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：连接 OC，如图，

∵AC 平分∠EAB，

∴∠BAC＝∠EAC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠ACO，

∴∠EAC＝∠ACO，

∴OC∥AE，

∵AE⊥DC，

∴OC⊥ED，

∴DE 是⊙O 的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
20．已知抛物线 y＝a（x﹣1）2+k 且经过点 A（﹣1，0）、B（0，3）．
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 直接写出不等式 a（x﹣1）2+k≥3 的解集．
【分析】（1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式即可求解；

（2）画出抛物线大致的图象，过点 B 作直线 m 交抛物线于点 D，则点 D 的坐标为（2，

3），即可求解．
【解答】解：（1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为 y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）画出抛物线大致的图象如下，

过点 B 作直线 m 交抛物线于点 D，

由抛物线的表达式知，函数的对称轴为 x＝1，则点 D 的坐标为（2，3），则不等式 a（x﹣1）2+k≥3 的解集为 0≤x≤2．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题

的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．

21. 如图，在⊙O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，且 PD＜PC．
（1） 求证：△PAD∽△PCB；

（2）若 PA＝3，PB＝8，CD＝10，求 PD．

【分析】（1）根据圆周角定理得出∠A＝∠C，∠D＝∠B，再根据相似三角形的判定推出即可；
（2） 根据相似得出比例式，再求出答案即可．

【解答】（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），

∴△PAD∽△PCB；

（2）解：∵△PAD∽△PCB，
∴＝，
∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，
∴＝， 解得：PD＝4 或 6，
当 PD＝4 时，PC＝6， 当 PD＝6 时，PC＝4，
∵PD＜PC，

∴PD＝4．

【点评】本题考查了相交弦定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能正确运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
22. 某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件 50 元，现在的销售单价为每件 80 元，每

周可卖出 200 件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每降

低 1 元，每周可多卖出 20 件．

（1） 若想满足每周销售利润为 7500 元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价为多少元？

（2） 销售单价应为多少元，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？

【分析】（1）设销售单价为 x 元,则每件附中的利润为(x﹣50)元，每周能卖出( ×

20+200)件，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于 x 的方程，求解并作出取舍即可．
（2）设该店铺每周销售利润为 W 元，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出 W

关于 x 的二次函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．

【解答】解:（1）设销售单价为 x 元,由题意得:
(x﹣50)×( ×20+200)＝7500,
整理得：﹣x2+140x﹣4875＝0, 解得:x1＝65,x2＝75,
∵尽可能让利于顾客,

∴x2＝75 不符合题意,
∴x＝65．

∴销售单价为 65 元．

（2）设该店铺每周销售利润为 W 元，由题意得:
W＝(x﹣50)×( ×20+200)
＝﹣20x2+2800x﹣90000,
∵a＝﹣20＜0,抛物线开口向下，对称轴为直线 x＝﹣＝70,
∴当 x＝70 时,W 有最大值，最大值为:

﹣20×702+2800×70﹣90000＝8000(元),
∴销售单价应为 70 元，该店铺每周销售利润最大,最大销售利润为 8000 元．

【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝4，BC＝8，点 E，F 分别在边 AD，CD 上，且 AE

＝2，CF＝1，分别连接 BE，BF 交 AC 于点 G，H．

（1） 若平行四边形 ABCD 的面积为 24，求△AEG 的面积；

（2） 求 的值．

【分析】（1）根据平行四边形的性质及相似三角形的判定得△AEG∽△CBG，然后由相似三角形的性质及面积公式可得答案；
（2）根据相似三角形的判定和性质可得答案．

【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEG＝∠GBC，∠EAG＝∠BCG，

∴△AEG∽△CBG，
∴，
∴ ，

∴S△BGC＝16S△AGE，
∵△ABG 和△AGE 分别以 BG、GE 为底时，两三角形高相等，

∴ ，

∴S△ABG＝4S△AGE，
∴S△ABC＝ 四边形 ABCD＝S△ABG+S△BCG＝20S△AGE＝24×，
∴S△AGE＝ ．
（2）∵DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝6，DF＝CD﹣CF＝3，
∴，
∴△DEF∽△DAC，

∴EF∥AC，

∴∠BGH＝∠BEF，∠BHG＝∠BFE，

∴△BGH∽△BEF，

∴ ．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
24. 如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 6，∠AOB＝60°，⊙O 上一动点 C 从点 B 出发以每秒
个单位沿圆周逆时针运动，运动时间为 t（秒）（0≤t≤16），点 B 关于 AC 的对称点为
B'，射线 CB'与⊙O 另一交点为 D．
（1） 直接写出⊙O 的半径长；
（2） 当四边形 ABCD 的面积为时，求 t 值；
（3） 当点 C 运动到 12 秒时停止，在点 C 运动的过程中求△BCD 的内心 M 所经过的路径长．

【分析】（1）根据有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOB 是等边三角形， 可得结论；
（2） 分两种情况：DC 是直径和 BC 是直径时，计算其圆心角，利用弧长公式及路程， 速度，时间的关系可得结论；
（3） 根据等角对等边可得：在点 C 的运动过程中 MA 永远保持不变，由于点 C 是从点B出发，所以点 M 也是从点 B 出发，以 MA 为半径运动了 90 度的圆心角，点 M 所经过的路径长即是这个弧长．
【解答】解：（1）如图 1，

∵∠AOB＝60°，OA＝OB，

∴△AOB 是等边三角形，

∴OB＝AB＝6，

即⊙O 的半径长为 6；
（2） 如图 2，连接 BC，BD，BD 交 OA 于点 N，

∵∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝30°，
∵点 B 关于 AC 的对称点为 B'，

∴∠BCA＝∠B'CA＝30°，

∴＝，

∴OA⊥BD，BN＝DN，

∴∠ABD＝∠OBD＝30°，
∴AN＝ AB＝3，BN＝DN＝3 ，
∴BD＝6 ，

∴S△ABD＝ ＝＝9 ，
∵四边形 ABCD 的面积为，
∴S△BDC＝27 ﹣9 ＝18 ，
如图 3，延长 DO 交⊙O 于点 C'，连接 BC'，则∠DBC'＝90°，

∵∠AOB＝∠AOD＝60°，

∴∠BOC'＝60°，

∴∠BDC'＝30°，

∴BC'＝6，
∴S△C'BD＝ ＝18 ，
∴C 与 C'重合，

∴t＝ ＝4；

如图 4，当 BC 是直径时，t＝ ＝12，

综上，t 的值是 4 或 12；

（3） 由（2）知：当点 C 运动到 12 秒时恰好运动到如图 4 所示，C 在 BO 的延长线上， 在这个过程中，总有∠ACB＝∠ACD，
作∠BDC 的角平分线交 AC 于点 M，则 M 就是△BCD 的内心，

∵∠ADB＝∠BCA＝∠ACD，

又∵∠AMD＝∠MCD+∠MDC，∠ADM＝∠ADB+∠BDM，

∴∠AMD＝∠ADM，

∴AM＝AD＝6，

即在点 C 的运动过程中 MA 永远保持不变，由于点 C 是从点 B 出发，所以点 M 也是从点

B 出发，以 MA 为半径运动了 90 度的圆心角，
∴点 M 所经过的路径长为×2×6π＝3π，
答：在点 C 运动的过程中△BCD 的内心 M 所经过的路径长是 3π．
【点评】本题是圆的综合题，有关点运动轨迹问题，涉及到垂径定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质和判定、轴对称的性质、弧长公式等知识点，有难度，本题涵盖的知识面比较广，是考查基础知识和基本能力的一道好题．

25. 已知抛物线 C1：y＝ax2﹣2ax﹣2，点 O 为平面直角坐标系原点，点 A 坐标为（5，1）．
（1） 若抛物线 C1 过点 A，求抛物线解析式；
（2） 若抛物线 C1 与线段 OA 有交点，求 a 的取值范围；
（3） 把抛物线 C1 沿直线 OA 方向平移|t|个单位（规定：射线 OA 方向为正方向）得到抛物线 C2，若对于抛物线 C2，当﹣2≤x≤3 时，y 随 x 的增大而增大，求 t 的取值范围．
【分析】（1）把 A 点坐标代入解析式求出 a 的值即可；

（2）首先求出 b＝﹣1，再根据直线与抛物线有两个交点求得 a 的取值范围即可；

【解答】解：（1）∵抛物线 C1：y＝ax2﹣2ax﹣2 过点 A，点 A 坐标为（5，1），
∴1＝25a﹣10a﹣2，
解得 a＝，
∴抛物线解析式为 y＝x2﹣ x﹣2，
（2）抛物线 C1：y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣a﹣2，
∴抛物线的对称轴是：直线 x＝1，顶点为（1，﹣a﹣2），

∵点 A 坐标为（5，1），
∴线段 OA 为 y＝x（0≤x≤5），
抛物线 C1 与线段 OA 有交点分两种情况：
①若 a＞0，如答图 1，
由（1）知 y＝ax2﹣2ax﹣2 点 A（5，1）时，a＝，
由图可知当抛物线开口变小，则抛物线与线段 OA 总有交点， 而 a＞0 时，a 越大抛物线开口越小，故 a≥ ，

②若 a＜0，如答图 2，

由 有解，即 ax2﹣（2a+）x﹣2＝0 有解得：

[﹣（2a+ ）]2﹣4a×（﹣2）≥0，解得 a 或 a≤，
∴≤a＜0 或 a≤，
而≤a＜0 时，抛物线 y＝ax2﹣2ax﹣2 与直线 y＝x 交点不在线段 OA，
∴a≤，
综上所述，抛物线 C1 与线段 OA 有交点，a≥或 a≤， 故答案为：a≥ 或 a≤．
（3）∵A（5，1），
∴抛物线C1 沿直线OA 方向平移|t|个单位相当于水平移动了|t|个单位再竖直方向移动了 |t|个单位，
∴抛物线 C2 的对称轴为 x＝1+t，
当﹣2≤x≤3 时，y 随 x 的增大而增大，分两种情况：

①a＞0 时，抛物线 C2 的对称轴为直线 x＝﹣2 或在直线 x＝﹣2 左侧，
∴1+ t≤﹣2 得 t≤﹣，
②a＜0 时，抛物线 C2 的对称轴为直线 x＝3 或在直线 x＝3 右侧，
∴1+ t≥3 得 t≥，
故答案为：a＞0 时 t≤﹣，a＜0 时 t≥．
【点评】本题考查二次函数解析式、图象及其平移，抓住顶点、对称轴的位置及变化是解题关键，难度较大．