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第一章 随机事件与概率
一 排列与组合的计算
(1) 排列(考虑顺序)：。如。
。 如
(2) 组合(不考虑顺序)：，。详见P26.
二 六类事件及其运算律
(1) 事件的包含与相等()： A发生必然导致B发生，若，且，则称A=B.
(2) 和事件（）: 至少有一个发生。：中至少有一个发生。
(3) 积事件()：同时发生。
(4) 差事件()：A发生而B不发生。
(5) 互不相容事件()：不能同时发生。
(6) 对立事件()：A不发生。
运算律：交换律，结合律，分配律（略）P5
对偶律：,
注：(1)== (2) 对立互不相容，反过来不成立。
三 概率的性质
(1) ，，。
(2) ，
若互不相容，。
.
若互不相容，。
(3) 。
(4) 。
四 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
(1) 条件概率：.
(2) 乘法公式： ；

(3) 全概率公式：
设是一个划分，则对任一事件B，。
(4) 设是一个划分,则对任一事件B，。
相关例题：P16，例1-25，例1-28，例1-29。P18, 课后练习12, 14。、
五 事件的独立性
(1) 相互独立的定义：。
(2) 性质：若相互独立，则与, 与,与也相互独立。
(3) 若相互独立， 则.
若相互独立，则。
(4) 重贝努利试验：设的概率为,则事件恰好发生k次的概率是 。
第二章 随机变量及其概率分布
一 离散型随机变量的分布律及其分布函数
离散型随机变量的分布律： 列表为
X

………………
P

…….………..
分布律的性质：(1) ；(2) .
求分布律的步骤：(1) 列出X的取值 (2) 求出X取各个值的概率 (3) 列表
相关例题：P30 例2-3, 2-4, 2-5.
分布函数
(1) 定义(重点)：，。相关例题：P36，例2-11.
(2) 分布函数的性质：

分布函数性质的考试题型：P37 例2-12， P38 课后4.
(3) 分布函数的重要公式：
(i)； (ii) ； (iii) .
二 连续性随机变量及其概率分布
(1) 连续性随机变量概率密度的定义：若，则称
X为连续性随机变量，称为X的概率密度。
(2) 概率密度的性质：

概率密度性质的考试题型：P40 例2-14，例2-15，例2-17，P48课后2,，8
三 (1) 离散型随机变量的三大分布及其分布律(重点)：
(i) 0-1 分布：，， 。
(ii) 二项分布()： ；
(iii) 泊松分布()： 。
(2) 连续型随机变量的三大分布(重点)：
(iv) 均匀分布()：，
均匀分布的重要公式：设，若，则。
(v)指数分布()：，()，
(vi)正态分布()：，()，
注： 当时，称X服从标准正态分布，记为。其概率密度和分布函数分别记为和。
四 标准正态分布与一般正态分布的关系
(i) 标准正态分布的性质：，，。
(ii) 设，则, 即；
(iii)
(iv) .
五 随机变量的概率分布
(1) 离散型随机变量的概率分布：即已知X的分布律，求Y=g(X)的分布律
步骤：(i) 由X的值写出Y的取值； (ii) 求出Y取值时的概率；(iii) 列表.
相应例题：P50 例2-24.
(2) 连续型随机变量的概率分布(当g(X)是单调函数时)：P52定理
步骤：(i) 判断Y=g(X)的单调性； (ii) 求出g(X)的值域，记为；
(iii) 求Y=g(X)的反函数，记为X=h(y)；
(iv) 写出Y的概率密度，
参考例题 P54 例2-31 ， P55课后习题4 (1),(2).
第三章 多维随机变量及其概率分布
一 二维随机变量的分布函数及边缘分布函数
(1) ；
；

(2) 的性质：

二 二维离散型随机变量的分布律及边缘分布律(课本P62 例3-2, 3-3, 3-5)
性质：(1) ； （2）。
三 二维连续性随机变量
(1) 分布函数与概率密度的关系
；。
(2) ；。
(3) 在区域上的均匀分布，记为，概率密度为
(4) 二维正态分布：。相互独立。
(5) 边缘概率密度： P71 例 3-12
求(1),(2),(5) 题型的步骤： (i) 画区域； (ii) 找范围； (iii) 求积分。
四 随机变量的独立性
定义(P73 定义3-9)：，称相互独立。
对离散型随机变量：相互独立； 考点：P75 例3-16
对连续性随机变量：相互独立。 考点： P77例3-21
若相互独立，则也相互独立。
五 已知的分布律，求的分布律
(1) 离散型的情况： 方法：(1) 列出所有可能的取值； (2) 求出在各个取值点处的概率；(3) 列表。 参考例题：P80 例3-24， 3-26.
六 重要结论
若相互独立，且，则
，参考例题P83 例3-29.
第四章 随机变量的数字特征
一 随机变量的期望
(一) 一维离散型随机变量的期望：(1) ；
X

………………
P

…….………..
(2) 若.参考例题 P88 例 4-5, 4-6.
(二) 一维连续型随机变量的期望：(1) ；
(2) 若.
(三) 二维离散型随机变量的期望：
(1) ，。
(2) 若 .参考例题 P93 例 4-12.
(四) 二维连续型随机变量的期望：
，
，
。
二 随机变量的方差，协方差，相关系数的计算公式
方差：
协方差：
相关系数：
三 期望、方差、协方差的性质
期望 方差

协方差：

重要公式：
四 常用知识点
(1) 若X,Y相互独立，则 从而。
(2) 若，则称X,Y不相关。
(3)若，则。
且X,Y不相关
第五章 大数定律及中心极限定理
一 切比雪夫不等式
,
常见题型 P125 填空题3. ,4.
二 贝努利大数定律： 。
独立同分布的切比雪夫大数定律： 。
常见题型 P125 填空题1.
三 中心极限定理
独立同分布的中心极限定理： 设独立同分布， .
则, 从而 。
注：充分大时， 近似于正态分布。
常见题型：P124 选择题1，2, 3.

棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（重点）：一般应用于二项分布中
设是次独立重复试验中事件A发生的次数，是事件A发生的概率。则
，从而 .
注：充分大时，近似于正态分布。
常见题型：P122 例5-5，P125 填空题5.
第六章 统计量及样本分布
一 常用知识点
(1) 样本的两大特点： ①随机性 ② 独立性
(2) 联合分布函数：
(3) 联合概率密度： 离散型：
连续型：
二 样本均值、样本方差的定义及性质
(1) 定义： 样本均值：；样本方差：。
注：① 在知道頻数的条件下，还可写为：，参考例题P144 3.
② 称为样本标准差，称为样本的二阶中心矩。
(2) 性质： 对总体X来说，若,则
① ， 即.
② ， .
三 三大分布的定义及性质
定义 (1) 分布：独立同分布于, 则，。 考点：P144 填空 1，5
(2) 分布： 独立，且 则，
其中。
(3) 分布： 独立，且则。
性质：(1) 与相互独立；
(2) , .
(3) ,
(4) 设

则
(5) P141 推论6-3 结论。
常考题型参见历年真题及自测题六
第七章 参数估计
一 矩估计
(1) 原理：
(2) 求矩估计的方法
法一： ① 求；② 令； ③ 解。
法二： ① 求；② 令,； ③ 解。
二 极大似然估计（定义见P148 定义7-1）
步骤： ① 写联合概率密度，记为； ② 求；
③ 令； 相关例题：P148 例7-6， 7-9.
④ 解。
三 置信区间的求法(P162 表7-1)
(一) 对进行估计

(二) 对进行估计(未知)
统计量 区间为
四 无偏估计：已知是估计值，若,则称是的无偏估计。
有效性： 已知是两无偏估计，若,则称有效。
第八章 假设检验
一 两类错误
第一类错误：在成立的情况下，拒绝，即；
第二类错误：在成立的情况下，拒绝，即。
二 单个正态总体的检验
(一) 对均值的检验
(i) 单个正态分布的检验(已知)
检验量 统计量 拒绝域

(ii) 单个正态分布的检验(未知)
检验量 统计量 拒绝域

(二) 对方差的检验
(i) 单个正态分布的检验(未知)
检验量 统计量 拒绝域

第九章 线性回归方程
回归直线方程：
其估计值
检验是否具有线性关系，应归纳为检验假设 .
附：积分、导数的有关计算
一 常见函数的导数及原函数
导数 不定积分(原函数的集合)

二 定积分的计算及性质(用的原函数)
①
② 若， 则
③ ，
④ 若为奇函数，即，则
⑤
例

三 二重积分的求法(常见题型)
(1) 例：

(2) 例：

(3) 例：

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