大工15春《复变函数与积分变换》开卷考试期末复习题.doc

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大工15春《复变函数与积分变换》开卷考试期末复习题

一、单项选择题（本大题共60小题，每小题2分，共120分）
1、的共轭复数是（ ）
第21页 共21页
A、1
B、0

C、
D、

答案：D
2、下列选项中为解析函数的是（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：D
3、设C为正向圆周，则（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：A
4、设，则（ ）

A、1
B、-1

C、
D、

答案：C
5、设C为正向圆周，则（ ）

A、
B、
C、
D、0

答案：C
6、函数，当时的极限为（ ）

A、0
B、1
C、不存在
D、-1

答案：C
7、（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：B
8、设C为正向圆周，则（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：B
9、设在单连通区域D内解析，C为D内一条正向闭曲线，则必有（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：D
10、Ln(-1)=（ ）

A、1
B、2
C、πi
D、1+πi

答案：C
11、将函数在处展成泰勒级数，其收敛区域为（ ）

A、
B、
C、
D、不确定

答案：A
12、幂级数的收敛半径是（ ）

A、0
B、1
C、2
D、3

答案：A
13、幂级数的收敛半径是（ ）

A、0
B、1

C、
D、

答案：D
14、点是的（ ）

A、可去奇点
B、二阶极点
C、五阶零点
D、本性奇点

答案：D
15、设C为正向圆周，则（ ）

A、0
B、1
C、
D、

答案：A
16、函数为实数，在处的留数为（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：D
17、映射在点处的伸缩率为（ ）

A、1
B、
C、
D、

答案：B
18、函数在处的留数为（ ）

A、-1
B、2
C、3
D、1

答案：A
19、是的（ ）

A、可去奇点
B、本性奇点
C、二阶极点
D、都不正确

答案：A
20、函数的奇点是（ ）

A、1
B、-1
C、0
D、2

答案：C
21、函数的傅氏变换为（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：A
22、下列变换中不正确的是（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：D
23、若，则（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：B
24、下列选项中不正确的是（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：D
25、的拉氏变换为（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：A
26、设，则其傅氏像函数（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：C
27、函数的傅氏变换（ ）

A、-2
B、-1
C、1
D、2

答案：C
28、在下列函数中不存在拉氏变换的是（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：A
29、若为实常数，则（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：A
30、函数的拉氏变换为（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：A
31、已知，则（ ）

A、0
B、
C、
D、无法确定

答案：C
32、下列函数中，为解析函数的是（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：C
33、设，则（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：A
34、的模为（ ）

A、0
B、1
C、2
D、

答案：D
35、（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：D
36、若是复平面上的解析函数，则（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：B
37、设，则（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：B
38、若等式成立，则的值是（ ）

A、(1,11)
B、(0,11)
C、(1,10)
D、(0,10)

答案：A
39、数列的极限为（ ）

A、0
B、1
C、-1
D、2

答案：B
40、当，则（ ）

A、
B、
C、1
D、-1

答案：B
41、设C为正向圆周，则（ ）

A、
B、
C、0
D、1

答案：B
42、（ ）

A、
B、
C、-1
D、1

答案：D
43、设在内解析，为正整数，那么（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：C
44、映射在处的旋转角为（ ）

A、0
B、
C、
D、

答案：D
45、若幂级数在处收敛，那么该级数在处（ ）

A、绝对收敛
B、收敛
C、发散
D、不能确定

答案：A
46、C为正向圆周：，则（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：B
47、将点分别映射为点的分式线性变换为（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：C
48、是的极点，其阶数为（ ）

A、1
B、2
C、3
D、4

答案：B
49、以为本性奇点的函数是（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：C
50、设的罗朗展开式为，则
（ ）

A、-2
B、-1
C、1
D、2

答案：B
51、已知，则（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：A
52、已知，则（ ）
A、
B、
C、
D、
答案：B
53、已知，则（ ）
A、
B、
C、
D、
答案：C
54、已知，则函数的卷积（ ）
A、
B、
C、
D、
答案：D
55、已知函数，则的拉普拉斯变换（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：A
56、已知函数，则的拉普拉斯变换（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：B
57、已知函数，则的拉普拉斯逆变换（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：C
58、已知函数，则的拉普拉斯逆变换（ ）

A、
B、
C、
D、

答案：D
59、像函数的拉氏逆变换为（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：A
60、在区间上的卷积（ ）

A、
B、

C、
D、

答案：B

二、判断题（本大题共60小题，每小题2分，共120分）
1、 ，则。

A、 正确
B、 错误

答案：A
2、设，则。

A、正确
B、错误

答案：A
3、积分

A、正确
B、错误

答案：A
4、

A、正确
B、错误

答案：B
5、当时，的极限是不存在。

A、正确
B、错误

答案：A
6、设，则。

A、正确
B、错误

答案：B
7、设C为从点至点的直线段，积分。

A、正确
B、错误

答案：A
8、设满足，则。

A、正确
B、错误

答案：A
9、方程所表示的曲线为中心为，半径为2的圆。

A、正确
B、错误

答案：A
10、

A、正确
B、错误

答案：A
11、区域在映射下的像为

A、正确
B、错误

答案：A
12、函数在奇点处的留数只有

A、正确
B、错误

答案：B
13、函数在圆环域内的罗朗展开式为

A、正确
B、错误

答案：A
14、幂级数的收敛半径为

A、正确
B、错误

答案：A
15、幂级数的收敛半径是1

A、正确
B、错误

答案：A
16、幂级数的收敛半径

A、正确
B、错误

答案：A
17、设，则幂级数的收敛半径为。

A、正确
B、错误

答案：A
18、 函数在其奇点处的留数

A、正确
B、错误

答案：A
19、映射将带形域映射为角形域

A、正确
B、错误

答案：A
20、函数在点处的泰勒级数的收敛半径为

A、正确
B、错误

答案：A
21、函数的傅氏变换

A、正确
B、错误

答案：A
22、函数的拉氏变换

A、正确
B、错误

答案：A
23、已知微分方程，则用拉氏变换解得。

A、正确
B、错误

答案：A
24、函数的拉普拉斯变换

A、正确
B、错误

答案：A
25、函数的拉氏变换为s

A、正确
B、错误

答案：B
26、函数的傅氏变换

A、正确
B、错误

答案：A
27、的拉氏变换

A、正确
B、错误

答案：A
28、设，其中函数可导，而且，则。

A、正确
B、错误

答案：B
29、已知常微分方程的初值问题，则利用拉氏变换解得。

A、正确
B、错误

答案：A
30、函数的拉氏变换为

A、正确
B、错误

答案：A
31、为整数）

A、正确
B、错误

答案：A
32、设C为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分。

A、正确
B、错误

答案：B
33、积分

A、正确
B、错误

答案：A
34、复数方程的解为

A、正确
B、错误

答案：A
35、

A、正确
B、错误

答案：A
36、已知是解析函数，其中，则。

A、正确
B、错误

答案：A
37、在复数域内，方程的全部解为。

A、正确
B、错误

答案：A
38、若，则。

A、正确
B、错误

答案：B
39、设，则。

A、正确
B、错误

答案：A
40、|z-2i|=|z+2|所表示的曲线的直角坐标方程是x=-y。

A、正确
B、错误

答案：A
41、设C为正向圆周，则。

A、正确
B、错误

答案：A
42、在处的泰勒展开式为。

A、正确
B、错误

答案：A
43、 函数tanz在处的留数为-1

A、正确
B、错误

答案：A
44、 z=0是的可去奇点

A、正确
B、错误

答案：A
45、 函数的奇点是0

A、正确
B、错误

答案：A
46、 函数在点z=4处的泰勒级数的收敛半径为R=2。

A、正确
B、错误

答案：A
47、 函数的极点是一阶极点。

A、正确
B、错误

答案：A
48、 分式线性映射ω=z+b是一个旋转与伸缩映射。

A、正确
B、错误

答案：B
49、 分式线性映射ω=az,a≠0是一个平移映射。

A、正确
B、错误

答案：B
50、分式线性映射通常称为反演映射。

A、正确
B、错误

答案：A
51、

A、正确
B、错误

答案：B
52、

A、正确
B、错误

答案：A
53、

A、正确
B、错误

答案：A
54、

A、正确
B、错误

答案：A
55、

A、正确
B、错误

答案：B
56、积分

A、正确
B、错误

答案：A
57、函数的拉氏变换为

A、正确
B、错误

答案：A
58、函数在区间上的卷积为

A、正确
B、错误

答案：A
59、设，则。

A、正确
B、错误

答案：A
60、设，则。

A、正确
B、错误

答案：A

三、 填空题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）
1、 将幂函数表示成三角形式为_______________________
答案：
考点：复数各种表示方法及其运算
课件出处：第1章复数与复变函数，第二节复数几何表示
2、将幂函数表示成指数形式为________________
答案：为整数)
考点：复数各种表示方法及其运算
课件出处：第1章复数与复变函数，第二节复数几何表示
3、设C为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分_________。
答案：1+i
考点：复变函数积分的计算
课件出处：第3章复数函数的积分，第一节复变函数积分的概念
4、 的主值为________________
答案：
考点：复变函数积分的计算
课件出处：第3章复数函数的积分，第一节复变函数积分的概念
5、 函数在极点处的留数为________________
答案：和
考点：留数定理
课件出处：第5章留数，第二节留数
6、 ________
答案：0
考点：柯西—古萨基本定理
课件出处：第3章复变函数的积分，第二节柯西—古萨基本定理
7、 函数在区间上的卷积为_________
答案：
考点：卷积定理
课件出处：第7章傅里叶变换，第四节卷积定理与相关函数
8、 当时，的极限是 。
答案：不存在
考点：复变函数的极限
课件出处：第1章复数与复变函数，第六节复变函数的极限与连续性
9、 区域在映射下的像为
答案：
考点：分式线性映射
课件出处：第6章共形映射，第二节分式线性映射
10、假设C是圆周的下半圆周，z从-2到0，则积分____________
答案：sin2
考点：复变函数积分的计算
课件出处：第3章复数函数的积分，第一节复变函数积分的概念
11、 的值为________。
答案：
考点：复数的乘幂
课件出处：第1章复数与复变函数，第三节复数的乘幂与方根
12、 的三角形式为 。
答案：
考点：复数各种表示方法及其运算
课件出处：第1章复数与复变函数，第二节复数几何表示
13、 已知是解析函数，其中，则__________________。
答案：
考点：复变函数求导
课件出处：第2章解析函数，第二节函数解析的充要条件
14、设，则____________。
答案：
考点：复变函数求导
课件出处：第2章解析函数，第一节解析函数的概念
15、判断级数的敛散性为（若收敛，请回答是绝对收敛还是条件收敛） 。
答案：条件收敛
考点：复变函数求导
课件出处：第2章解析函数，第一节解析函数的概念
16、是函数的 级极点。
答案：2
考点：极点
课件出处：第5章留数，第一节孤立奇点
17、分式线性映射通常称为 映射。
答案：反演
考点：分式线性映射
课件出处：第6章共型映射，第二节分式线性映射
18、映射在下的旋转角为，伸缩率为________。
答案：2
考点：伸缩率
课件出处：第6章共型映射，第三节唯一决定分式线性映射的条件
19、已知函数，则的拉普拉斯变换 。
答案：
考点：伸缩率
课件出处：第6章共型映射，第三节唯一决定分式线性映射的条件
20、已知函数，则的拉普拉斯逆变换 。
答案：
考点：拉普拉斯变换与其逆变换的方法
课件出处：第8章拉普拉斯变换，第三节拉氏逆变换

四、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）
1、 解方程组
解：令，所给方程组可写为
即（2分）
利用复数相等的概念可知（2分）
解得，（1分），（1分），（1分），（1分）
故，（1分）。（1分）
考点：复数运算
课件出处：第1章复数与复变函数，第一节复数及其代数运算
2、 计算，其中是（1）；（2）。
解：（1）被积函数在内处处解析，故。（5分）
（2）被积函数在内有两个奇点，由复合闭路原理，知
（3分）
（2分）
考点：复合闭路定理
课件出处：第3章复变函数的积分，第三节基本定理的推广—复合闭路定理
3、 求函数分别在圆环及内的洛朗级数展式
解：因为
（1）由，有（2分）
所以（3分）
（2）由，有（2分）
所以（3分）
考点：用间接方法将简单的函数在圆环域内展开为洛朗级数
课件出处：第4章解析函数的级数，第四节洛朗级数
4、计算函数的拉普拉斯逆变换
解：由拉普拉斯变换性质
（5分）（5分）
考点：拉普拉斯变换与其逆变换的方法
课件出处：第8章拉普拉斯变换，第三节拉氏逆变换

五、证明题（本大题共4小题，每小题15分，共60分）
1、利用卷积定理证明等式
证明：，（4分）
由（4分）
有
(4分）（3分)
考点：卷积定理
课件出处：第7章傅里叶变换，第四节卷积定理与相关函数
2、 利用卷积定理证明等式
证明：（3分）（3分）
（3分）=（3分）=（3分）
考点：卷积定理
课件出处：第7章傅里叶变换，第四节卷积定理与相关函数
3、 若，其中为一实函数，则。
证明：（3分）
（3分）
（3分）
（3分）（3分）
考点：简单函数的傅里叶变换的求法
课件出处：第7章傅里叶变换，第二节傅里叶变换
4、试证函数在复平面解析
证明：令（2分）
得(2分)
(2分)
因为（5分）
所以（2分）
利用解析函数的充要条件，可证得在复平面解析。（2分）
考点：复变函数解析的充要条件
课件出处：第2章解析函数，第二节函数解析的充要条件