多项式运算(附答案).doc

教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center

姓名

学生姓名

填写时间
2014-3-28
学科
数学
年级

教材版本
人教版
阶段
第（ 13 ）周 观察期：□ 维护期：□
课题名称
多项式运算及应用
课时计划
第（ ）课时
共（ ）课时
上课时间
2014-3-30
教学目标
大纲教学目标
1、掌握多项式的长除法与综合法
2、掌握余式定理与因式定理
个性化教学目标
学生综合能力的训练
教学重点
1、 掌握综合法的计算过程
2、 余式定理与因式定理的灵活应用
教学难点
学生综合应用能力的提升
教学过程
第一部分：多项式的长除法与综合法

一、多项式的长除法

例1、 计算：
（1） （2）

（3）

跟踪练习：
1、 计算：

2、因式分解，已知它有一个因式是2x+1.

二、多项式的综合法
1.多項式的除法定理：
設、是兩個多項式，且，則恰有兩多項式及使得
成立，其中或。
(1).稱為被除式，稱為除式，稱為商式，稱為餘式。
(2).被除式＝除式×商式＋餘式。
(3).簡式：A＝BQ＋R

2.綜合除法：
除以得到商式為，餘式為
依照除法定理可表示成＝()()＋7
綜合除法的作法：
注意
＋1 ＂變號＂（ｘ-1）

餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式

１×１=1 3×1＝3
2＋1＝3
＝ (整除)
依照比較係數法：

長除法表示：(已代換)
注意
比較

＋e
綜合除法表示：

注意
比較

餘式
思考1：
為何本來長除法中除式為(x－ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。

思考2：
設多項式，則
(1)請利用綜合除法，以除f(x)，商式為何？餘式為何？
(2)設，則a、b、c、d為何？
Hinet：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。

题型1：除式为
[例1] 试求以x – 1 除x6 – 1 所得的商式及余式.
答案：

所得的商式为x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
余式为0
跟踪练习：1、试求以x – 2 除x6 – 1 所得的商式及余式.

2、试求以x – 2 除x6 – 1 所得的商式及余式.

3、试求以x + 1 除x6 – 1 所得的商式及余式.

4、试求以x + 2 除x6 – 1 所得的商式及余式.

5、试求以x +3 除x6 – 1 所得的商式及余式.

6、试利用综合除法求的商式与余式。
答案：

商式为，余式为11。

题型2：除式为
[例2] 利用综合除法求除以下列各式所得的商式与余式：。
答案：(1)除以 x – 2

故商式为，余式为30。
(2)除以 长除法验算

++
故商式为，余式为。

跟踪练习：1、设，，试求利用综合除法求
(1)之商=＿＿＿＿
(2)余式为____

2、 设，，试求利用综合除法求之商=_____，余式为_____，

第二部分：余式定理与因式定理

一、知识点讲解
餘式定理：多項式除以之餘式為，
推論：多項式除以之餘式。
f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a的函數值。
(2) 多項式f (x)除以x-a的餘式。
因式、倍式：設為兩多項式，且，若存在使得，則稱為的倍式，為的因式。
因式定理：設，，為一多項式，則為的因式。

例1. (1)求除以之餘式。
(2)設，求。

類1. 以，除之，餘式分別為45，-15求以除之，餘式為　　　。
類2. 求 。
類3. 以除的餘式為 。
類4. 設均為多項式，除以之餘式為，除以之餘式為，則除以的餘式為 。
類5. 已之，且，，求除以的餘式。
Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多項式除以，之餘式分別為5,7，求除以之餘式。
(2)多項式除以，之餘式分別為5，，求除以之餘式。

類1. 設多項式以除之餘3，以除之餘-9，則以除之餘式為 。
類2. 設為一多項式，，若，，分別除之，餘式為3，7，13，則以除之餘式為　　　　。
類3. 多項式除以，之餘式分別為10，，求除以之餘式。
Ans: 1. ，2. ，3.。
例3. 多項式以及除之餘式分別為，（）：
(1)今以除之餘式為　　　　。
(2)今以除之餘式為　　　　。

類1. 多項式，，以除之，餘式為，以除之餘式為，試求
(1)以除之餘式為 ，
(2)以除之餘式為 。
Ans: 1. (1),(2)。

例4. 次數不小於3之多項式以，，除之餘式分別為，，　(1)求。(2)若以除之餘式為何？

例5. 是一四次多項式，以除之得餘式3，以除之得餘式6，以除之得餘式138，求（須展開為降次排列）

類1. 已知，以除之餘式為，以除之餘式為，求。
Ans: 1. 。

例6. 多項式　
(1)以除的餘式為　　 　　　。　
(2)以除的餘式為　　 　　。　
(3)以除的餘式為　　 　　。

類1. 設，則除以(1)的餘式為 ，(2)的餘式為 。
Ans: 1. (2),(2)。

例7. ，求除之式　　　　。

類1. 設，(1)求除以的餘式，(2)求除以的餘式。

類2. 設，求除以的餘式。

類3. 求除以之餘數=　　　　　。
Ans: 1. (1),(2)，2. ，3. 171。

例8. 以除所得之餘式為　　　　　。

類1. 以除的餘式為 。
類2. 除以的餘式為 。
類3. 除以的餘式為 。
Ans: 1. 1，2. ，3. 1。

例9. 設有因式，求數對之值為：
(A) (-7,9,7) (B) (7,9,-7) (C) (7,9,7) (D) (-7,9,-7) (E) (7,-9,-7)。

類1. 設為的因式，則
類2. 若為的因式，則
類3. 設為正奇數，為正整數，則多項式恆有下列那一個因式? (A) (B) (C) (D) (E)。
類4. 設可被整除，求之值。

類5. 若為的因式，則
類6. 設且，多項式有的因式，則
Ans: 1. ，2. ，3. (D)，4. ，5. ，6. 。
例10. 試求的整係數一次因式。並求的根。

類1. 設，已知在區間及內有有理根，(1)此有理根為 ，(2)另二根為 。
類2. 方程式的所有有理根是　　　。
Ans: 1. (1),(2)，2. 。

例11. 設為三次多項式，若，，試求？

類1. 設為三次式，且，求。

類2. 設為三次多項式，且，則？

Ans: 1. ，2. 60。
例12. 設，為整係數多項式，若已知有整係數之一次因式，求。

類1. 設，有整係數一次因式，則 。
Ans: 1. –1。

例13. 設，且之四根相異之有理數，求。

類1. 設，多項式可表為四個相異整係數一次因式的乘積，求之值。

類2. 設，方程式有四個相異有理根，求最大根。

Ans: 1. –5，2. 2。

课后作业

课
后
记
本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□
学生的接受程度：完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□
学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□
学生上次的作业完成情况：数量 % 完成质量 分 存在问题
备注

班主任签字

家长或学生签字

教研主任审批

範例：多項式f(x)以x-3x-4，2x-3x+1除之餘式各為4x-1，2x+7，試求f(x)以
2x-9x+4除之餘式為何？
解： f(x) = (x-3x-4) × p(x) + 4x-1 = (x-4)(x+1) × p(x) + 4x-1
f(x) = (2x-3x+1) × q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) × q(x) + 2x+7
f(4) = 15 且f() =8
f(x) = (2x-9x+4) × S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) × S(x) + ax +b
利用f(4) = 15 = 4a +b 及 f() = 8 = a +b
我們可解得a = 2，b =7，故f(x)以 2x-9x+4除之餘式為 2x + 7
範例：多項式f(x)以x(x-1)除之，餘式為 -x+3，以x(x+1)除之餘式為-3x+3，則f(x)
除以x(x-1)之餘式為何？
解：f(x) = x(x-1) × p(x) + (-x+3)
f(x) = x(x+1) × q(x) + (-3x+3)
f(x) = x(x-1) × S(x) + ax+ bx + c
我們有 f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入 f(x) = x(x-1) × S(x) + ax+ bx + c。
可以解得 a = 4, b = -2, c = 3 ，故f(x)除以x(x-1)之餘式為4x-2x+3。
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