复变函数翻译.doc

翻译内容：
一个实变量的函数，一个函数γ：I→C从简单到复杂的函数C实际上是一个是一个熟悉的概念初等微分函数。它仅仅是一个函数从一个雷亚尔的子集到飞机,我们有时称之为矢量值函数。假设函数γ是很好的,它提供了一个向量,或参数,描述一个曲线。这样，这一系列式子是以原点为圆心的圆的半径。
我们已经知道函数的导数。如果，那么它的导数就是，表示一个平面向量，它是一条切线。
对于函数任何人都很容易看出它描述的是函数在直线X=-1与直线X=1之间的部分。

另一个例子，假设存在一个质量为M的物体被固定在初始的恒星上，并且存在另一个质量为m的物体不受行星约束。让我们把位置和时间定义成一个二次复变函数z（t）。我们假设质量是会产生万有引力的。公式如下：

这里G为引力常数，艾萨克牛顿告诉我们存在如下关系：

因此，

接下来，我们用极坐标表示，

我们已经知道GM=k。现在，让我们看看我们得到了什么：

这时，

这样，

这时，

这时，等式变成了

从它可以推得两个等式：

两边同乘r后得到：

它告诉我们

是个常量。这个结果能帮我们摆脱的一阶两个微分等式的束缚，得到：

或者，

尽管它仍然包含唯一一个未知变量r，并且它显然很难求解。让我们改变变量并且把r用表示，于是我们用函数。这样，

因此，

另外有

同时我们的微分等式变为

或者，

这个式子比较简单。在高等学校微分方程课程，我们记得

在上式中A和是常量，取决于初始值。最后，

上式中，我们得到集合，这个曲线是，当然，是一个圆锥的部分曲线离心率是。

练习
1. a）什么曲线能描述函数
b）假设z和w是复数。什么曲线能描述函数？

2. 找到一个函数γ：能够描述函数在直线x=0和直线x=10的部分。
3. 找到一个函数γ：能够描述以z=3-2i为圆心，2为半径的圆。
4. 讨论在一个引力场作用下中，假设角向量α不为零。解释如果α=0时会发生什么。

2.2 复变函数 真正有趣的事情发生了，我们开始考虑函数，当D是复数集合。再在某些情况下，他们与基本的微分类似，它们是平面到平面的集合：

这样就像。换句话说，和。用复数观点，正如我们所看到的，我们可以从更加广阔和有利的视角观察函数。
将函数在点处我们就可以用微分学进行处理：

意味着当时就一定存在一个使得且 正如你所猜到的，如果成立，我们就称函数在点是连续的。
如果函数在它的每一点都连续，我们就称函数是连续的。
假设函数和都成立，那么下面的内容就很容易得到：

以及，

条件很显然是，
现在我们得到了这些东西：和，差，积，还有两个连续函数在点的商。（通常，我们必须排除使分母为零的点。）
相信现在不难使你相信，如果并且，那么
这样函数就在点处连续，准确地说如果u和v连续的话。
我们下一个目标就是要引入复变函数的连续概念。这是显而易见的。假设是一个复变函数并且是函数一个内部点。是的导函数：

例子
假设。那么，使，我们得到

不出所料现在我们发现函数的导函数对于每一个z值，它都等于2z。
另一个例子
令。那么，

假设这个极限存在,选择
，
那么

现在选择

因此,我们可以得到

换句话说,没有存在这一限制，除了可能在所以,这个函数没有导数最多的地方。现在,看一看在这些第一两个例子。特纳夫人微积分类为普通的旧实函数。考虑这一点的话,你会相信所有的“惯常”结果实函数也持有这些新的复杂的功能:一个常数的导数为零,衍生品的两个函数的总和是衍生品的总和,“产品”和“商”规则对衍生品都是有效的,链规则构成功能持有,等等。你只需要证明,回到你的初等微积分书和改变x to z。
一些定义为。如果f在z 0有导数,我们说f在z 0是的。如果f每一点上是可微的,我们说f在z 0集合可微。识别系统分析在每一点上的一些设置，我们说如果解析S函数，分析所有复杂的数字被认为是整个函数。

练习，
5. 假设，求 若不存在，说明理由。
6. 证明f在z点可导，则f在z点连续。
7. 求出所有可导的点。
8. 求出所有可导点。
9. 定义f(x)为

在Z=X处是否可微？试说明。
2.3
定义有则说明存在使
。
令
再使，
则
我们对有以两种表达式

或者

这些方程称为柯西黎曼方程。我们已经表明,如果存在Z0,它的实部和虚部满足上述方程，，并且它的实部和虚部一阶连续偏导，则f函数在z0可导。
假设和在附近偏导且导数在z0点连续，

我们可以知道f在z0不可微。

观察得，

因此，

且，

因此

同理得，

当，，由柯西黎曼方程得，

此处

易知，

且

特别是，正如所假设的，可以表明,f在是可微的。
例如，定义，求所有可微的点时，有和
柯西黎曼方程可化为

U和V在任意处连续，所以f在任意处可微，满足可洗黎曼方程，所以F在处可微。

这是简单的集合点在十字架上形成的两条直线

10. 定义
，求满足f(z)的点
11. 例10中f的实部和虚部在z0点是否满足柯西黎曼方程？
12. 求出所有的可微点。
13. 假设f在定义域为D，且，证明fl连续。
14. 求所有可微点并求其可微的区间，试说明。
15. 假设f定义域为D，其实数部分在D上连续，f是否在D上连续？
16. 假设f定义域为D，在D上连续，f是否在D上连续？

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