参数方程总结.doc

知识回顾：
曲线的参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　　
并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
一、 直线的参数方程
（1）直线参数方程的标准式：
考点一：直线参数方程求法

其中： 为直线恒过的点， 为直线的倾斜角， 为直线的参数。

例一：设直线 过点 ，倾斜角为 ：求直线 的参数方程.
解：
例二：设直线 过点 ，且与向量 共线，求直线 的参数方程.
其中： 为直线恒过的点，向量 为直线的方向向量， 为直线的参数。
（2）直线参数方程的一般式：
即
解：

考点二：标准的直线参数方程 的几何意义。

所以，直线的参数方程为

我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。
其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角，
(1)
根据三角函数的定义得
(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为 (a,b),半径为r的圆。
1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？
二、圆的参数方程

所以：圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ
y =b+rsinθ (θ为参数)
例1、如图,已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点 ,点A是x 轴上的定点 ,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？
解：

所以，点M的轨迹的参数方程是

注意：本题说明了参数方程在求点的运动轨迹方面的应用
轨迹是指点运动所成的图形；轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。

例二、 已知点P(x,y)是圆 上的一个动点,求:x+y的最小值。

说明：本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用；
练习：
1.写出下列圆的参数方程:
(1)圆心在原点,半径为 :____ __________;
(2)圆心为(-2,-3),半径为1: ____ __________;
2.若圆的参数方程为 x =5cosθ+1
y =5sinθ-1 ,则其标准方程为: ____ __________

三、椭圆的参数方程
复习：
焦点在轴上的椭圆的标准方程：
焦点在轴上的椭圆的标准方程：
1. 焦点在轴上的椭圆的参数方程
因为，又
设，即 ，这是中心在原点O,焦点在轴上的椭圆的参数方程。
2.焦点在轴上的椭圆的参数方程

例1.把下列普通方程化为参数方程.

解：

例2. 已知椭圆,求椭圆内接矩形面积的最大值.
解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为

所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab
练习

四、抛物线的参数方程

【解析】如图，，根据三角函数的定义得，，即，联立，得
（为参数）.

练习：
1. 若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（ C ）
A． B． C． D．
2. 抛物线（为参数）的焦点坐标是 （ B ）
A． B． C． D．
3. 已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么 （ C ）
A． B． C． D．
4. 若曲线（为参数）上异于原点的不同的两点、所对应的参数分别是、，求所在直线的斜率.
五、双曲线的参数方程

　（或　）
例1：
参数方程(α为参数)化为普通方程，则这个方程是()．
解析:分析：根据1+tan2α=sec2α，消去参数方程（α为参数）中的参数α，化为普通方程．
解答：解：由参数方程（α为参数），可得 tanα=y，secα=x-1，
代入 1+tan2α=sec2α，消去参数α，可得 1+y2=（x-1）2，
即 （x-1）2-y2=1，
练习：

1.

2.

3. 直线和曲线相交于A、B两点．求线段AB的长．

4.

练习：
1、已知一条直线上两点、，以分点M（x，y）分所成的比为参数，写出参数方程。
2、直线(t为参数)的倾斜角是（ ）
A．
B．
C．
D．
3、方程（t为非零常数，为参数）表示的曲线是 ( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
4、已知椭圆的参数方程是（为参数），则椭圆上一点 P (，)的离心角可以是 A． B． C． D．
5、把曲线的参数方程
化成普通方程．
6.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的参数方程为_______________.
7、直线3x－2y＋6=0，令y = tx ＋6（t为参数）．求直线的参数方程．

8、在圆x2＋2x＋y2=0上求一点，使它到直线2x＋3y－5=0的距离最大．

9、 在椭圆4x2＋9y2=36上求一点P，使它到直线x＋2y＋18=0的距离最短（或最长）．

10. 已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点 ,点B是平面上的定点 ,坐标为(12,2).当点P在圆上运动时,求线段PB中点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？
11、已知直线；l：与双曲线（y-2）2-x2=1相交于A、B两点，P点坐标P(-1，2)。求：
（1）|PA|.|PB|的值； （2）弦长|AB|; 弦AB中点M与点P的距离。
12、已知A（2,0）,点B,C在圆x2+y2=4上移动，且有 求重心G的轨迹方程。
13、已知椭圆和圆x2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P1,在圆上求一点 P2,使|P1P2|达到最大值，并求出此最大值。
15、椭圆上是否存在点P，使得由P点向圆x2+y2=b2所引的两条切线互相垂直？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

16、在同一极坐标系中与极坐标M（－2, 40°）表示同一点的极坐标是（ ）
（A）（－2, 220°） （B）(－2, 140°) （C）(2,－140°) （D）(2,－40°)
17.在极坐标系中和圆ρ=4sinθ相切的一条直线方程是（ ）
（A）ρsinθ=2 （B）ρcosθ=2 （C）ρsinθ=4 （D）ρcosθ=4
18、在直角坐标系中，已知点M(－2，1)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，当极角在(－π，π] 内时，M点的极坐标为（ ）
（A） （，π－argtg(－)） （B）（－，argtg(－)
（C）（－，π－argtg） （D）（，－π＋argtg）
19、把点的极坐标化为直角坐标。
20、把点的直角坐标化为极坐标。
21、已知正三角形ABC中，顶点A、B的极坐标分别为，试求顶点C的极坐标。
22、讨论下列问题：
（1）在极坐标系里，过点M（4，30°）而平行于极轴的直线的方程是（ ）
（A）＝2 （B）＝－2 （C） （D）
（2）在极坐标系中，已知两点M1(4，arcsin)，M2(－6，－π－arccos(－))，则线段M1M2的中点极坐标为（ ） （A）(－1，arccos) （B）(1, arcsin)
（C）(－1，arccos(－)) （D）(1,－arcsin)
（3）已知P点的极坐标是(1,π)，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（ ）。
（A）ρ=1 （B）ρ＝cosθ （C）ρcosθ=－1 （D）ρcosθ=1
23、讨论下列问题；
（1）圆的半径是1，圆心的极坐标是(1, 0)，则这个圆的极坐标方程是（ ）。
（A）ρ＝cosθ （B）ρ＝sinθ （C）ρ＝2cosθ （D）ρ＝2sinθ
（2）极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是（ ）。
（A）2 （B） （C）1 （D）