点集拓扑学练习题(第二章).doc

点集拓扑学练习题—第二章

一. 判断题(每小题2分)
1. 集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( )
2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( )
3. 实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( )
4. T 1、T 2是X的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( )
5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ ）
6. 从（X，T 1）到（X，T 2）的恒同映射必是连续的。（ ）
7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )
8．设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑( )
9.从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射（ ）
10.设为离散拓扑空间的任意子集，则 （ ）
11.设为平庸空间（多于一点）的一个单点集，则 （ ）
12.设为平庸空间的任何一个多于两点的子集，则 （ ）

二．填空题：(每空格3分)
1. X=Z+, T ={Z1,Z2,…Zn…},其中
Zn={n,n+1,n+2,…},
则包含3的所有开集为_____________
包含3的所有闭集为________________
包含3的所有邻域为_________________
设A={1,2,3,4,5}
则A的导集为_____________________
A的闭包为______________________
2. 设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=______________
3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________.
4、当且仅当对于的每一邻域有 ;
5、设是有限补空间中的一个无限子集，则= ; = ;
6、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ; = ;
7、设,的拓扑,则的子集 的内部为 ;

三、单项选择题（每题2分）
1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑.
①
②
③
④
2、已知，拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④
3、已知，拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④
4、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
5、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3
6、在实数空间中，有理数集的内部是（ ）
① ② Q ③ R -Q ④ R
7、在实数空间中，有理数集的边界是（ ）
① ② Q ③ R -Q ④ R
8、在实数空间中，整数集的内部是（ ）
① ② ③ R-Z ④ R
9、在实数空间中，整数集的边界是（ ）
① ② ③ R-Z ④ R
10、在实数空间中，区间的边界是（ ）
① ② ③ ④
11、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① ②
③ ④
12、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① ②
③ ④
13、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中不正确的是（ ）
① 若,则 ② 若,则
③ 若A={},则 ④ 若, 则
14、设，令,则由产生的上的拓扑是（ ）
① { ,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}
② {,,{c},{d},{c,d}}
③ { ,,{c},{a,b,c}}
④ { ,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}
15、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭
16、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭
17、实数空间中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭
18、实数空间R的子集A ={1,, ,,……},则＝（ ）
①φ ② R ③ A∪{0} ④ A
19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② ③ 有理数集 ④ 无理数集
20、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集
21、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是（　　）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
22、已知,则上的所有可能的拓扑有（　　）
① 1个　　　② 2个 ③ 3个 ④ 4个
23、在实数下限拓扑空间中，区间是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭
24、设是一个拓扑空间，,且满足,则是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭
四.证明题(52分):
1. 设X有拓扑T1,T2,…Tn,则∩Ti也是拓扑.
2. 度量空间中收敛序列的极限是唯一的.
3. 设X是一个拓扑空间,B是一个基,x∈X,则Bx={B∈B |x∈B}是点x处的一个邻域基.
4. 在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法)
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