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方阵最小多项式的性质探究
摘要：讨论方阵最小多项式的几个性质及相关的几个简单应用
关键词：方阵，最小多项式，零化多项式，特征多项式
定义1：设方阵A，若f(x) F(x)，使f(A)=0，则称f(x)为A的零化多项式。
命题1：方阵的零化多项式是存在的。
证明：设为方阵，表示域F上的所有方阵的集合，构一线性空间，它的维数为，属于，由 这个向量必定线性相关。则存在一组不全为零的数：, 使得，
作多项式,且，有,即中的任意向量来说，零化多项式是存在的。
定义2：次数最低首项为1的零化多项式称为最小多项式。
由命题1的证明过程，我们知道最小多项式是存在的。只要由，随增大往上找。但是这也只能说方阵的最小多项式的次数最多不超过,这个估计是比较粗糙的，我们可以估计得更精确些。
命题2：（cayley-Hamilton定理）设是数域P上一个矩阵，是的特征多项式，则

证明：详见北大数教材《高等代数》P303。
也就是说可以把方方阵的最小多项式的次数缩小到不超过。
下面介绍几个最小多项式的性质：
命题3：矩阵A的最小多项式是唯一的。
命题4：设g(x)为方阵A 的最小多项式，那么f(x)以A为根当且仅当g(x)整除f(x).
命题5:相似矩阵具有相同的最小多项式。
证明：设方阵的最小多项式是,矩阵最小多项式是n(x),由与相似知，有，其中为可逆阵。
则
由命题4得整除，同理可证整除，且，都是首一的。所以。得证
命题6：设是一个分块矩阵，，的最小多项多等于的最小多项式的最小公倍式，。
证明：设的最小多项式为，的最小多项式为,的最小公倍式是,由整除知， 。
故
因此 整除（可由命题4得）。

又因为 因此对于每一个有 ，即 整除 。而是的最小公倍式。故整除 ，综上所得。
因为每一个复数域上的方阵，都可以相似于一个分块矩阵，即Jordan标准型，所以利用Jordan标准型求最小多项式也是证明中常用的方法。
命题7：方阵的最小多项式是的最后一个不变因子。
证明此定理前先给出一个引理：级若当块 的最小多项式为。
证明：的特征多项式为,而， ,所以的最小多项式为。
下面证明命题7：
证明：存在可逆矩阵，使
其中 。
由命题6知，的最小多项式为的最小多项式的公倍式，且由引理知的最小多项式为，。从而的最小多项式
为的最小多项式。
由于一个初等因子决定一块Jordan块，且由初等因子的定义知它是不变因子分解在互不相同的一次因式的方幂。我们知道
，。因此有， 又由最小公倍式定义得，且与都是首一的。所以可推得。
命题8：数域P上的n级矩阵A与对角阵相似的充分必要条件为A的最小多项式是P上的互素的一次因式的乘积。
证明参见北大教材P323。
推论：复数域上的矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A的最小多项式无重根。
命题9 :设n阶矩阵A的全体实系数我项式所成的线性空间W，则W的维数等于A的最小多项式m(x)的次数k。
证明：假设,则这k个矩阵必相关，存在不全为零的数，使
与为最小多项式矛盾。则 .
下证,只要证明，可由线性表出即可。
若 ，显然成立。
若 ，由代余除法知：存在R[x]上的多项式，,使得，次数或者。则
，即可由线性表出。所以。
综上所得。
命题10：设A是n阶方阵，则A的特征多项式f(x)与A的最小多项式m(x)的根相同，当A的特征值互异时，则f(x)=m(x).
证明：一方面，因为故A的最小多项式的根是 的根。
另一方面，
由，。设是的根，则 整除。于是必有，使
整除。又是整除，故为的根。
综上所得 与有相同的根。
若,其中
互不相同，由前面知与有相同的根。知 。
命题11 :设A是n级矩阵，是次数大于零的多项式，
是A的最小多项式：
（1）如果整除，那么退化的。
（2）如果是和的最大公因式，那么与的秩相等。
（3）为非退化的充分必要条件是和互素。
证明：（1）假设退化。由已知存在（）,
则
与为最小多项式矛盾。
（2）由已知存在，使 ，
，则
又 整除，则存在 ，使
即 ，则
综上可得。
（3）必要性：设 ，由（2）知，
，若，由整除，
存在 ，使，则由
，而 与为最小多项式矛
盾。所以。
充分性：，则存在 使得
，则
则 ，则非退化。
命题12：非奇异（退化）矩阵的最小多项式与的最小多项式之间的关系。
证明：设非奇异矩阵的最小多项式为 ，设的最小多项式为。
　　由为的最小多项式得，即，由Ａ非奇异知，则上式可化为，得
。
令，由 ，则，
知 ，即 。
由，即 ，两边同时乘
，得，由 得
，则 整除
，知 ，即
综上所述 。又与都是首一多项式且整除
，所以。
所以的最小多项式为由观察知
的系数倒过来排再同除以常数项即为。
同理可推知，的最小多项式为：
。
二、几个简单应用
例１：设矩阵，
设，求维(V)=?
证：
三个互异特征值，由命题10知 （为A的最小多项式）再由命题9知维（Ｖ）＝次（）＝３。
例２：判断以下三种矩阵是否可对角化？
　；；，（为整数），但。

（１），为Ａ的零化多项式且无重根，由命题4知，Ａ的最小多项式整除，则　　　无重根，由命题８知，Ａ可对角化。
（２），同理证。
（３）由于，则的最小多项式为，，即Ａ的最后一个不变因子为，则Ａ有一个初因子为，（有重根）则Ａ不可对角化。

参考文献：
　１、《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室编　高教出版社。
２、《最小多项式的性质及应用》王莲花等编 河南教育学报。
３、《高等代数解题方法与技巧》李师正编 高教出版社
4、《高等代数学》张贤科，许甫华编著 清华大学出版社
5、《高等代数》 姚慕生编著 复旦大学出版社