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第三章 函数的连续性
第一章讨论了数学分析的研究对象——函数，第二章又给出了研究函数的方法——极限.这就为我们用分析的方法研究函数奠定了基础，而数学分析应用极限的方法常用来研究一类非常重要的函数——连续函数.这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数大多是连续函数.如气温的连续上升，液体的连续流动等等;另一方面，我们常会直接或间接地借助于连续函数去讨论一些不连续函数.鉴于此，学习函数的连续性极其有必要.
第一节 连续性的概念
一、函数在一点处的连续性
函数连续与否的概念源于对函数图象的直观分析.例如函数的图象是一条抛物线，给我们的直观视觉是图象上各点相互“连结”而不出现间断，即它是连续的.具体来说，函数在某点处是否具有“连续”性，即指当在点附近作微小变化时，是否也在附近作微小的变化，用极限的观点来分析，就是看当变量时，因变量是否也会趋于.
定义3-1 设函数在点的某个邻域中有定义，且
（1）
则称函数在点连续，或称是函数的连续点.
显然，“函数在点连续”不仅要求在函数的定义域内，还要有（1）式极限.因此，函数在点连续比函数在点存在极限有更高的要求.
为引入函数连续性的另一种表述，记，称为自变量在的改变量.相应的函数在的改变量记为
.
注 改变量可以是正数，也可以是零或负数.
于是，函数在连续等价于下列极限
.
由于函数的连续性是用极限来定义的，因而也可直接用极限的“”来描述：
函数在点连续，，，有.
此外，（1）式还可写作
.
由此可见，在连续意义下，极限运算与对应法则的可交换性.
例1 函数在点连续.因为
.
例2 函数在点连续.因为
.
二、区间上的连续函数
由上述定义可以看出，“连续”反映的是函数在点邻域内的变化，因而只是一个局部性的概念.但它也提示我们，可以通过逐点考察的方法，了解函数在某个区间上是否连续.
开区间的情形比较简单，下面先给出在上连续的定义:
定义3-2 若函数在区间的每一点都连续，则称函数在开区间上连续.
例3 证明在上连续.
证明 设.已知，有不等式与成立，所以
.
对任意给定的，取，当时,成立
即
.
也就是说在连续，从而在上连续.
为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要单侧连续的概念.
定义3-3 设函数在的左（右）邻域内有定义，若

则称函数在点右（左）连续.
根据第二章定理2-9，有
在连续在既右连续又左连续.
或 .
定义3-4 若函数在连续，且在左端点右连续，在右端点左连续，则称函数在闭区间上连续.
同样有在区间及连续的概念.
例4 证明在上连续.
证明 设，令，则当时，有

所以，，取，则当时，恒有.
即在上连续.
现考虑区间的端点.对于任意给定的，取，则当时，
.
而当时,
.
这说明在右连续，在左连续.
由此得出在上连续.
三、间断点及其分类
若函数在点不满足连续性的定义，则称函数在间断（或不连续），是函数的间断点（或不连续点）.
对间断点进行划分是研究不连续函数的基本内容.而当是函数的间断点,不满足连续性定义的条件，不外乎以下三种情况：
（1）函数在无定义；
（2）极限存在，即，但
；
（3）极限不存在:
①与都存在，但≠.
②与至少有一个不存在.
因此是函数的间断点按上述情形可作如下分类：
1.可去间断点
若，而在无定义，或有定义但，则称为的可去间断点.
如对，点是它的可去间断点.因为，但在点无定义.
2.跳跃间断点
若在点左右极限存在，但

则称点为函数的跳跃间断点.
如对函数，有
与.
显然，也就是说是它的跳跃间断点.
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.
3.若函数在点处的左右极限至少有一个不存在，则称这样的点为函数的第二类间断点.
如函数
已知与
即不存在，从而1是的第二类间断点.
又如函数 在处左右极限都不存在，从而0是函数的第二类间断点.
习题3.1
1.设有意义，试用“”语言叙述在点不连续.
2.按定义证明下列函数在定义域内连续:
（1）； （2）.
3.讨论函数 在的连续性.
4.指出下列函数的间断点，并说明其类型：
（1） ； （2）；
（3） ； （4）；
（5）； （6）.
5.证明：设为区间上的单调函数，且为的间断点，则它必是的第一类间断点.
6.证明：若函数是奇函数或偶函数，且在点连续，则函数在也连续.
答案: 3.不连续
4.（1）为第二类间断点 ； （2）为第二类间断点； （3）0是可去间断点，为第二类间断点；
（4）0是可去间断点，是第二类间断点；
（5）为可去间断点；
（6）除以外其他各点都是第二类间断点.
第二节 连续函数的性质
一、连续函数的四则运算及其性质
根据极限四则运算定理及函数连续的定义，立即可得连续函数的四则运算定理.
定理3-1 若函数与都在连续，则函数
， ，（）
在也连续.
这些结论的证明，都可由函数极限的有关定理直接推出.
关于复合函数的连续性有如下定理：
定理3-2 若函数在连续，且，而函数在连续，则复合函数在连续.
证明 已知在连续，即
有.
又已知在连续，且，即对上述，有

于是，，有
.
这就证明了在连续.
注 若复合函数的内函数在时极限为,但不等于（即为的可去间断点），外函数在时连续，那么我们仍然可用上述定理来求复合函数的极限.
即 .
上式不仅对于成立，它对或这些类型的极限也成立.
例1 求（1） ； （2）.
解 （1）由于及函数在u=1处连续,
所以 ===1.
（2）由于,
所以 ==.
因为连续函数在连续点的极限等于它所对应的函数值，所以这一条件使得连续函数在连续点具有函数极限的所有性质，如局部有界性、局部保号性等.
定理3-3（局部有界性） 若函数在点连续，则函数在点的某邻域内有界.
定理3-4（局部保号性） 若函数在点连续，且，则,有.
证明 已知，即，有
或
于是，，有.
同法可证的情形.
二、闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数具有一些重要性质，这些性质是开区间上的连续函数不一定具有的.
定义3-5 设为定义在上的函数，若存在，对一切，有
,
则称在上有最大（小）值，并称为在上的最大（小）值.
一般来说，函数在上不一定有最大（小）值（即使是有界的）.如在时既无最大值也无最小值.下述定理将会给出函数在某区间上取得最大(小)值的充分条件.
定理3-5(最值性) 若函数在闭区间上连续，则在能取到最小值与最大值，即，使得=与=，如图3-1：

（刘玉莲p113）

并且，有

推论(有界性定理) 若函数在闭区间上连续，则在上有界.
引理(零点定理) 若函数在闭区间上连续，且(即与异号)，则在区间至少存在一点，使
=0
引理的几何意义是：在闭区间的连续曲线=，且连续曲线的始点与终点分别在轴的两侧，则此连续曲线至少与轴有一个交点.如图3-2:

（刘玉莲p114 3.3）

定理3-6(介值性) 设函数在闭区间上连续，与分别为在上的最小值与最大值.若为介于与之间的任何实数()，则在内至少存在一点，使得
.
证明 如果<，根据定理3-5，在闭区间上必存在两点与，使得，.不妨设，且.已知.如果=(或=)，则=或=，定理成立.只须证明<<的情况.
作辅助函数

由函数在连续，从而在闭区间也连续，且
与.
根据引理，在区间至少存在一点，使或，即

该定理的几何意义如图3-3：

（刘玉莲p114 3.4）

例2 证明超越方程在内至少存在一个实根.
证明 已知函数在连续，且
与
根据零点定理，函数在内至少存在一点，使
=0
即在内至少存在一个实根.
三、反函数的连续性
定理3-7 若函数在区间连续，且严格增加(严格减少)，则反函数在也连续.
证明 ，由定理3-6与在区间严格增加，存在唯一一个，使
或
不妨设在区间的内部(当是的端点时，可同法证明).
>0，使，设与或与=.
显然，如图3-4:

（刘玉莲p117）

取=，于是
：，有.由于反函数严格增加，有
或
或
即反函数在连续，从而反函数在连续.
习题3.2
1.若在上连续，且存在.证明：在上有界.试问在上必有最大（小）值吗？
2.证明：若函数在严格增加且连续，则反函数在点右连续，即

3.证明：若函数在连续，且与，则在有界.
4.求下列极限:
（1）； （2）；
(3)； (4).
5.设为上的递增函数，其值域为，证明在上连续.
答案：4.（1）； （2） ； （3） ； （4）.
第三节 初等函数的连续性
一、指数函数的连续性
在中学数学中，我们已经接触过指数函数=()，但在那时当取无理数时，其意义并不明确.现在来证明指数函数在其定义域上是连续的.
定理3-8 指数函数=()在其定义域上是连续函数.
证明 首先证明==1 (即=1)
：，使，，
从而
当时，有<
当时， 有<
由于=1及数列极限的夹逼性定理，可知
=1.
，设，有且，有
===1，
于是
=1.
其次证明，，有=(或=0)
事实上，=
设..由上述结果，有
=
==0
或
=
即指数函数在连续，从而指数函数在其定义域上连续.
二、初等函数的连续性
1. 对数函数的连续性
由于指数函数(且)在其定义域内严格单调而且连续，由反函数的连续性可知，它的反函数——对数函数在其定义域内也连续.
2. 三角函数与反三角函数的连续性
由前面的学习我们已经知道，三角函数=与=在各自定义域上都连续，而由于
==， ==
==， ==
所以根据连续函数的四则运算法则，=、=、=和=等三角函数在各自的定义域上也都连续.
因为=在闭区间连续，且严格增加，根据反函数的连续性，所以它的反函数——反正弦函数=在其定义域上也连续.同理，反三角函数
=， =， =
在各自的定义域上都连续.
3. 幂函数的连续性
先证，幂函数=在开区间()连续.
事实上，>0，==，即幂函数是两个连续函数=与=复合而成的函数.根据上节定理，幂函数=在开区间()连续.
只有当时(，幂函数即为常数函数=1)，幂函数=的定义域才含有0，此时有
=0=
即幂函数=在0右连续.
当幂函数=的定义域是或时，幂函数=必为奇函数或偶函数.由第一节练习6可知，幂函数在或也连续.
于是，幂函数=()在其定义域内连续.
显然，常数函数必在其定义域上连续.
综上所述，六类基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数在它们各自的定义域都连续.
又因为初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算及复合运算所得，于是我们有下述定理：
定理3-9 任何初等函数都是在它有定义的区间上的连续函数.
习题3.3
1. 证明：若函数在连续，且<0，则，：<，有<0.
2. 设=，=.证明=.
3. 求下列极限:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) .
4. 证明：若函数在闭区间除一个(或有限个)第一类不连续点外连续，则在上有界.
5. 证明：若函数在连续，且=，则函数在能取到最小值.
6. 证明：若函数在上连续，且对任何，存在相应的，使得，则至少有一点，使得=0.
7.设函数定义在上，且在两点连续.证明：若对任何有，则为常量函数.
答案3. (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) .