N等分线段的尺规作图法及证明.doc

N等分线段的尺规作图法及证明
崔谧
（安定区风翔学区小西岔小学 甘肃定西 743000）

几何学从诞生到发展，再到逐步完善，除一条线段能被(n≥1且n为一正整数)等分外，至今还没有一种严格的几何方法能将一条线段进行任意N(N>3且N为一正整数)等分。经过长期的探究，本人发现有一种严格的几何方法——定点定比交轨思想及方法可以将一条线段进行任意N(N>2且N为一正整数)等分。该方法将以一条线段二等分的方法和思想作为主要思想和理论依据进行论述。
为了简单明了起见，先详细介绍用该思想及方法将一条线段三等分和五等分的作法及证明过程，然后以此作为主要思想和理论依据进行论述任意N等分的作法及证明过程.
将一条线段二等分的方法和思想是以已知线段的两个端点为定点,以相等的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条直线,然后再确定该轨迹(直线)与已知线段的交点，即已知线段的二分之一点。因为该二分线段的方法和思想在现行数学教材中已经成为公认的既定公理，无须再述。我们可以称其为一一交轨思想（两条半径的长度比为1:1）。
依据以上二分线段的一一交轨（两条半径的长度比为1:1）的思想和方法，可以用已知线段的两个端点为定点，用长度比为2:1的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆，然后再确定该轨迹(弧所在的圆)与已知线段的交点，即已知线段的三分之二点。我们可以称其为二一交轨思想（两条半径的长度比为2:1）。具体作法和证明如下：
作法：
1. 画线段AB并求其中点C。
2. 用目测法在点C和B之间取一点D,使得线段AD的长度大于线
段AB的三分之二而小于线段AB的长度，再求线段AD的中点E。
3. 以A为圆心，以AD为半径画弧，以B为圆心，以AE的长为半
径画弧，使两条弧相交与点F；以点A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以BC为半径画弧，使两条弧相交于G点。（确保点F和G在线段AB的同侧）
4. 连接FG并求其中垂线HI，延长HI交AB的延长线于点J。
5. 以J为圆心，以JF为半径画弧交AB于点K。
6. 以A为起点, 以KB为半径在AB上截取点L。
则点L和K将线段AB三等分。如下图所示：

证明:
为了证明该作法正确，运用方程求根验证法推导证明如下：
令线段AB的长度为单位“1”，以点A为坐标原点，以线段AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系。
已知：点A(0,0),B(1,0),C为AB的中点，D为C和B之间任一点，这里取D(0)进行验证，E为AD的中点。
求证：按上述作法确定的一条弧所在的圆☉J过点K(0)。
证：∵已知AB的长度为单位“1”，点A(0,0),B(1,0),C为AB的中点，D为C和B之间任一点，这里取D(0)进行验证，E为AD的中点。
∴AE=,BC=,以A为圆心，以AD为半径画弧，以B为圆心，以AE的长为半径画弧，使两条弧相交与点F；则点F的坐标即为两条弧的交点，即：
解得：x=,y=±
∵F点在 x轴的下方
∴F点的y值取其负值根，即：F( -)
以点A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以BC为半径画弧，使两条弧相交于G点;则点G的坐标即为两条弧的交点，即：
解得：x=,y=±
∵G点在 x轴的下方
∴G点的y值取其负值根，即：G(,-)
∴连接FG，求其中点坐标为（，-）
又∵FG的斜率k=
∴FG的中垂线HI的斜率=-=
∴HI的直线方程为：y-=(x-)代入得：
Y=x-
又∵HI和x轴相交于点J,即有公共解：
解得：解得：x=,y=0
∴点J的坐标为J（，0）
∴以J为圆心，以JF为半径确定的圆☉J的方程为：

∴将点K(0)代入圆☉J的方程：中验证得：点K(0)就在圆☉J上，即按上述作法确定的一条弧所在的圆☉J过点K(0)。
∴该三分线段的二一交轨思想（两条半径的长度比为2:1）及作法正确。如下图所示：

依据以上二分线段的一一交轨（两条半径的长度比为1:1）和三分线段的二一交轨（两条半径的长度比为2:1）的思想和方法，可以用已知线段的两个端点为定点，用长度比为4:1的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆，然后再确定该轨迹(弧所在的圆)与已知线段的交点，即已知线段的五分之四点。我们可以称其为四一交轨思想（两条半径的长度比为4:1）。具体作法和证明如下：
作法：
1.画线段AB并求其四等分点C、D和E。
2.用目测法在点E和B之间取一点F,使得线段AF的长度大于线
段AB的五分之四而小于线段AB的长度，再求线段AF的四等分点G、H和I。
3.以A为圆心，以AF为半径画弧，以B为圆心，以AG的长为半
径画弧，使两条弧相交与点J；以点A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以BE为半径画弧，使两条弧相交于K点。（确保点J和K在线段AB的同侧）
4.连接JK并求其中垂线LM，延长LM交AB的延长线于点N。
5.以N为圆心，以NJ为半径画弧交AB于点O。
6.以A为起点, 以OB为半径在AB上分别截取点P、Q和R。
则点P、Q、R和O将线段AB五等分。如下图所示：

证明:
为了证明该作法正确，运用方程求根验证法推导证明如下：
令线段AB的长度为单位“1”，以点A为坐标原点，以线段AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系。
已知：点A(0,0),B(1,0),E为AB的四分之三点，F为E和B之间任一点，这里取F(0)进行验证，G为AF的四分之一点。
求证：按上述作法确定的一条弧所在的圆☉N过点O(0)。
证：∵已知AB的长度为单位“1”，点A(0,0),B(1,0),E为AB的四分之三点，F为E和B之间任一点，这里取F(0)进行验证，G为AF的四分之一点。
∴AG=,BE=,以A为圆心，以AF为半径画弧，以B为圆心，以AG的长为半径画弧，使两条弧相交与点J；则点J的坐标即为两条弧的交点，即：
解得：x=,y=±
∵J点在 x轴的下方
∴J点的y值取其负值根，即：J( ,-)
以A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以BE为半径画弧，使两条弧相交与点K；则点K的坐标即为两条弧的交点，即：
解得：x=,y=±
∵K点在 x轴的下方
∴K点的y值取其负值根，即：K( ,-)
∴连接JK，求其中点坐标为（，-）
又∵JK的斜率k=
∴JK的中垂线LM的斜率=-=
∴LM的直线方程为：y-=(x-)代入得：
Y=x-
又∵LM和x轴相交于点N,即有公共解：
解得：x=,y=0
∴点N的坐标为N（，0）
∴以N为圆心，以NJ为半径确定的圆☉N的方程为：

∴将点O(0)代入圆☉N的方程：中验证得：点O(0)就在圆☉N上，即按上述作法确定的一条弧所在的圆☉N过点O(0)
∴该五分线段的四一交轨思想（两条半径的长度比为4:1）及作法正确。如下图所示：

依据以上二分线段的一一交轨（两条半径的长度比为1:1）、三分线段的二一交轨（两条半径的长度比为2:1）和五分线段的四一交轨（两条半径的长度比为4:1）的思想和方法，可以用已知线段的两个端点为定点，用长度比为(N-1):1的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆，然后再确定该轨迹(弧所在的圆)与已知线段的交点，即已知线段的N分之(N-1)点。我们可以称其为(N-1):1交轨思想（两条半径的长度比为(N-1):1）。具体作法和证明如下：
作法：
1.画线段AB并求其(N-1)等分点...。
2.用目测法在点和B之间取一点,使得线段A的长度
大于线段AB的N分之(N-1)而小于线段AB的长度，再求线段A的(N-1)等分点...。
3.以A为圆心，以A为半径画弧，以B为圆心，以A的长为
半径画弧，使两条弧相交与点J；以点A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以B为半径画弧，使两条弧相交于K点。（确保点J和K在线段AB的同侧）
4.连接JK并求其中垂线LM，延长LM交AB的延长线于点N。
5.以N为圆心，以NJ为半径画弧交AB于点。
6.以A为起点, 以B为半径在AB上分别截取点...和。
则点...和将线段ABN等分。如下图所示：

证明:
为了证明该作法正确，运用方程求根验证法推导证明如下：
令线段AB的长度为单位“1”，以点A为坐标原点，以线段AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系。
已知：点A(0,0),B(1,0),为AB的(N-1)分之(N-2)点，为和B之间任一点，这里取(0)进行验证，为A的(N-1)分之一点。
求证：按上述作法确定的一条弧所在的圆☉N过点(0)。
证：∵已知AB的长度为单位“1”，点A(0,0),B(1,0),为AB的(N-1)分之(N-2)点，为和B之间任一点，这里取(0)进行验证，为A的(N-1)分之一点。
∴A=,B=,以A为圆心，以A为半径画弧，以B为圆心，以A的长为半径画弧，使两条弧相交与点J；则点J的坐标即为两条弧的交点，即：
解得：
x=,y=±
∵J点在 x轴的下方
∴J点的y值取其负值根，即：J( ,
-)
以A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以B为半径画弧，使两条弧相交与点K；则点K的坐标即为两条弧的交点，即：
解得:x=,y=±
∵K点在 x轴的下方
∴K点的y值取其负值根，即：K[ ,-]
∴连接JK，求其中点坐标为[，-]
又∵JK的斜率
k=
∴JK的中垂线LM的斜率
=-=
∴LM的直线方程为：y-=(x-)代入并化简得：
y=N(N-2)x-
又∵LM和x轴相交于点N,即有公共解：
解得：x=,y=0
∴点N的坐标为N[，0]
∴以N为圆心，以NJ为半径确定的圆☉N的方程为：

∴将点(0)
代入圆☉N的方程：中验证得：点(0)就在圆☉N上，即按上述作法确定的一条弧所在的圆☉N过点(0)
∴该N分线段的(N-1):1交轨思想（两条半径的长度比为(N-1):1）及作法正确。如下图所示：

综上全篇所述不难得出这样一个结论：用(N-1):1交轨思想（两条半径的长度比为(N-1):1）及方法可将任一条长度为单位“1”的线段N等分，并且N等分已知线段的一条弧所在的圆心为[，0]，半径为。
运用定点定比交轨思想及方法进行N（N≥3的质数）等分线段的方法还有:等交轨思想及方法，当然用这种思想和方法确定的是已知线段的2N分之（N+1)点而不是N分之（N-1)点。具体作法和证明与上述(N-1):1交轨思想的作法和证明过程相似，敬请读者自己用几何画板或其他软件工具试一试。如下图就是用三二交轨思想及方法确定的已知线段的五分之三点K，而后再截取其他的五等分点C、D和E。

14