高一圆的标准方程与一般方程.doc

年级
高一
学科
数学
内容标题
圆的标准方程与一般方程
编稿老师
蔡秀梅

一、学习目标
1. 了解圆的定义，理解并掌握圆的标准方程和一般方程.
2. 掌握用待定系数法求圆的方程.
3. 掌握圆的标准方程与一般方程的互化.
4. 体会求轨迹方程的方法与思想.

二、重点、难点
重点：圆的标准方程，通过圆的一般方程求圆的标准方程，根据已知条件求圆的方程.
难点：根据已知条件求圆的方程.

三、考点分析
本节内容是圆的方程，有关圆的题目，多以选择题、填空题的形式重点考查其标准方程和一般方程，难度不大；有时，也将圆的方程作为解答题考查.

1. 圆的定义：平面到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径.
2. 圆的标准方程：以为圆心，（）为半径的圆的标准方程：
3. 圆的一般方程：（），圆心坐标为（），半径为.特别地，当时，表示点；当时，不表示任何图形.
4. 点与圆的位置关系
已知点
则
；；.

知识点一：圆的方程
例1. （1）求经过点P（1，3），Q（－2，2），且圆心在直线上的圆的方程.（2）求圆心在直线l：上，且与坐标轴相切的圆的方程.
【思路分析】
题意分析：求圆的方程关键是求出圆心坐标和半径.
解题思路：（1）设出圆心坐标，由已知条件构造方程组求解；或求出线段PQ的垂直平分线方程，与直线的方程联立，解出交点坐标即为圆心坐标.
（2）圆与坐标轴相切，说明圆心到坐标轴的距离相等，即都等于圆的半径，由此可列出圆心坐标所满足的方程，解方程可得圆心坐标和半径.
【解答过程】（1）解法一：设圆心坐标为，
则有，
解得：，
所以，
所以所求圆的方程为.
解法二：根据条件可知圆心一定在线段PQ的垂直平分线上，
由直线的点斜式方程可求得线段PQ的垂直平分线方程为
，
由已知圆心也在直线：上，
所以由方程组解得圆心坐标为（1，－2），
以下解法同解法一.
（2）设圆心为，因为圆与坐标轴相切，
所以，圆心在已知直线上，
所以有，
所以，解得，
当时，＝4，所求圆的方程为；
当时，＝1，所求圆的方程为.
【题后思考】由已知条件构造出圆心坐标和半径的方程组，是求圆的方程的关键.

例2. 求过点A（－2，1），B（0，－1），C（－2，－3）的圆的方程.
【思路分析】
题意分析：利用圆的一般方程求解.
解题思路：设出圆的一般式方程，分别把三点的坐标代入方程，构成方程组，解此方程组即可得出所求结果.
【解答过程】设所求圆的方程为，因为A、B、C三点在圆上，
所以有，解此方程组得：，
所求圆的方程为.
【题后思考】本题也可以先求出圆心和半径进而列出圆的方程，但不如这种方法简捷.

例3. （1）求与圆关于直线对称的圆的方程.
（2）求方程表示圆的充要条件.
【思路分析】
题意分析：（1）所求圆与已知圆的半径相同，故只需求出圆心坐标即可求解.
（2）本题的关键是落实运用二元二次方程表示圆的充要条件.
解题思路：（1）先求出已知圆的圆心坐标和半径，再求出该圆圆心关于对称轴的对称点坐标.
（2）直接代入得关于的不等式，解不等式即可.
【解答过程】（1）圆的方程可化为，
所以圆心的坐标为，半径为，
设圆心关于直线的对称点为，
则有，解得，
所以所求圆的方程为.
（2）∵
或.
【题后思考】（1）由圆的一般方程要能够准确求出圆心坐标和半径，既可以用配方法将其转化为圆的标准式方程求解，也可以直接套用公式求解.
（2）并不是所有形如的方程都表示圆，用这样的方程表示圆的充要条件是.
【知识小结】当已知条件与圆心、半径有关时，求圆的方程时，把方程设为标准方程更简便；对于圆的一般方程要会求圆心坐标和半径；另外还要掌握用二元二次方程表示圆的充要条件为.

知识点二：与圆有关的综合问题
例4. 动点M到两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为1：2，求动点M的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.
【思路分析】
题意分析：动点M满足的条件在已知条件中已明确给出，只需把它用坐标表示出来，并化简整理即可.
解题思路：设出动点M的坐标，分别用两点间的距离公式表示MO、MA的长.
【解答过程】设动点M的坐标为（），由已知，，，

两边平方并整理得：，
所以动点M的轨迹为以（－1，0）为圆心，以2为半径的圆.
【题后思考】求动点的轨迹方程即求动点的坐标（）满足的方程，当已知条件中明确给出动点运动的条件时，只需把条件用坐标表示出来，并化简整理即可.

例5. 已知点，E为线段BD的中点，求点E的轨迹方程.
【思路分析】
题意分析：（1）由已知条件可知点D的轨迹方程，把点D的坐标用点E的坐标表示出来，然后代入点D的轨迹方程.
（2）利用图形的几何性质可推出，故可知点E的轨迹是以原点为圆心的圆.
解题思路：（1）设出点E的坐标，用中点坐标公式求出点D的坐标.
（2）由图形可得OE为△ADB的中位线.
【解答过程】解法一：设点，点，因为E为线段BD的中点，所以有
，
，，
即，整理得：.
解法二：连接OE，则OE为△ADB的中位线，
所以，
由圆的定义可知，点E的轨迹是以原点为圆心的圆，
方程为.
【题后思考】本题的两种解法分别用到了求轨迹方程的相关方法和定义法.

例6. 如果实数满足方程，求：（1）的最大值和最小值；（2）的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值.
【思路分析】
题意分析：利用的几何意义，用数形结合的方法来解决.
解题思路：的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率；的几何意义为设，则表示直线在轴上的截距；的几何意义表示圆上的点到原点的距离的平方.
【解答过程】（1）表示圆上的点与原点连线的斜率，过原点作圆的两条切线，
则切线的斜率分别为0和，所以的最大值为，最小值为0.
（2）设，则表示直线在轴上的截距，
作圆的两条斜率为的切线，这两条切线的截距分别为2和6，
所以的最大值为6，最小值为2.
（3）表示圆上的点到原点的距离的平方，
因为圆心到原点的距离为2，
所以圆上的点到原点距离的最大值为3，最小值为1，
所以的最大值为9，最小值为1.
【题后思考】本题使用代数式的几何意义求解比较直观.易错点是误认为是圆上的点到原点的距离.

例7. 已知圆C：上两点满足：①关于直线 对称；②，求直线的方程.
【思路分析】
题意分析：由圆上两点关于直线对称可知圆心在这条直线上，故斜率的值可求，进而由.
解题思路：设出所求直线方程，代入圆方程，用根与系数的关系构造关于所求的方程.
【解答过程】由圆上两点关于直线对称可知圆心在这条直线上，
所以有，解得，
则直线的斜率为，设P点坐标为，Q点坐标为，
直线的方程为，
代入圆的方程整理得：，
所以
，
，所以
解得或，经检验，成立.
所以所求直线PQ的方程为或.
【题后思考】本题中由是解此类型题常用的结论；求出的值后，应验证是否成立.
【知识小结】在本讲中，我们学习了圆的标准方程和一般方程.在求圆的方程时，可根据已知条件选择适当的方程求解.解决有关圆的最值问题时，利用代数式的几何意义求解比较简便.

在解答有关圆的综合问题时，结合圆的性质求解是关键；求圆的方程时，如果已知条件与圆心、半径有关，一般采用圆的标准方程求解，如果与圆心、半径无直接关系，则使用圆的一般方程求解.

（答题时间：50分钟）
一、选择题
1. 圆关于原点对称的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
2. 点（1，1）在圆的内部，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 或 D.
3. 已知直线的方程为，则圆上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 一个动点在圆上移动，它与点A（3，0）连线的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知圆，则的最大值为（ ）
A. 9 B. 14 C. D.

二、填空题
7. 已知点A（－4，－5），B（6，－1），则以线段AB为直径的圆的方程是 .
8. 已知圆过原点且与轴相切，则应满足的条件是 .
9. 圆心在直线上的圆与轴交于点A（0，－4），B（0，－2），则圆的方程是 .
10. 直线与圆相交于点A、B，弦AB的中点为（0，1），则直线的方程为 .

三、解答题
11. 求与轴相切于点（5，0），并在轴上截得的弦长为10的圆的方程.
12. 方程表示圆，求实数的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.
13. 已知圆和直线相交于两点，若，求的值.

一、选择题
1. A 解析：圆心的坐标为（－2，0），则关于原点对称的点的坐标为（2，0）.
2. A 解析：由已知，解得.
3. B 解析：圆心到直线的距离，最小值为5－1＝4.
4. C 解析：设为圆上的动点，的中点为，则
.
5. A 解析：圆的圆心为（－1，0），直线的斜率为1，故所求直线的方程为即.
6. D 解析：圆心为（－2，1），半径为3，圆心到原点的距离为，所以的最大值为.

二、填空题
7. 解析：由中点坐标公式得圆心坐标为（1，－3），由两点间的距离公式得半径为.
8. 且 解析：由已知：.
9. 解析：线段AB的中点坐标为（0，－3），所以圆心坐标为（2，－3），则半径为.
10. 解析：圆心为（－1，2），圆心与弦AB的中点（0，1）的连线的斜率为－1，所以所求直线l的斜率为1，且过点（0，1），故所求直线l的方程为即

三、解答题
11. 解：因为与轴相切于点（5，0），
所以圆心的横坐标为5，设圆的半径为，
则有，所以圆心的纵坐标为.
故所求圆的方程为 .
12. 解：圆方程可化为，
方程表示圆且，时方程表示圆.
，当且仅当时取等号.
时，圆的半径最小，此时圆的方程为.
13. 解：设，由得，
，
即
，解得：.

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