第10章函数项级数和幂级数.doc

第十章 函数项级数
引言 本章将数项级数进一步推广，引入函数项级数。类比数项级数，要解决的主要问题是：对什么样的，有意义，在有意义的条件下，对应的和函数具有什么样的分析性质以及如何计算和函数。

§1 函数项级数及其一致收敛性
一、 定义
我们先给出函数项级数的定义。
给定实数集合X，设，是定义在上的函数，称无穷个函
数的和

为函数项级数，记为其中：称为通项，为部分和，也称为的部分和函数列。
类似于数项级数，必须讨论无限和是否有意义的问题，显然，这和x点的位置有关，为此，先引入函数项级数的点收敛性。
定义1.1 设，若数项级数收敛，称在点收敛。否则，称在点发散。
注、显然，在点收敛，等价于函数列在点收敛，即
数列收敛。
注、定义给出了函数项级数在一点的收敛性，也称点收敛性，进一步可以将点收敛性推广到区间或集合收敛性。
定义1.2 若， 收敛，则称在上收敛。此时，， 都有意义，记，称为的和函数。
注、在上收敛是局部概念，等价于在中每一点都收敛。
注、在上收敛，等价于函数列在上收敛。显然，在收敛的条件下，有
。
例1 讨论函数项级数在上的收敛性，并在收敛的条件下求
其和函数。
解、任取，考察数项级数。
由根式判别法可知：，可知 绝对收敛，因而收敛，由的任意性，则，在 收敛。
利用等比数列的求和公式，则
，
因而，
。
通过例1可知，借助于数项级数的收敛性，可以研究函数项级数的收敛性。
与函数项级数相类似的研究对象是函数列，函数项级数与函数列可以相互转化，事实上，给定函数项级数，得到对应的部分和函数列，而的敛散性也等价于的敛散性。反之，给定一个函数列，令，，得函数项级数，使得的部分和正是。二者的敛散性也等价。因此，可以将视为与等价的研究对象，因而，在后续的研究中，只以其中的一个为例引入相关的理论，相应的理论可以平行推广到另一个研究对象上。
下面，我们继续以函数项级数为例引入相关理论。
我们将函数项级数与数项级数进行简单的对比，可以发现：二者的形式上的区别在于通项结构上，数项级数的通项是仅与位置变量有关的常数，而函数项级数的通项是与位置变量有关的函数，正是这些简单的区别，却决定了函数项级数的研究内容要比数项级数的内容更加丰富，即除了研究“点”收敛之外，还要研究对函数的运算（如极限、微分、积分等）能否由有限过渡到无限，函数的性质（如连续性、可微性等）能否由有限过渡到无限，如：已知成立有限和的函数极限的运算性质

这个性质能否过渡到对无限和的函数运算也成立，即成立
，
这实际是两种运算――求和和求极限的换序运算问题。
再如对有限和成立的微分和积分运算性质
，
，
能否过渡到对无限和的运算也成立。再如，在收敛的情况下，和函数是否一定继承每个相应的性质，如每个，是否成立？
有例子表明，不加任何条件，上述提到的问题的答案都是否定的，如：令，，则在收敛，且，故
，
显然，或，但或。
当然，否定的结论不是我们希望的结论，因此，为使得保持更好的性质，必须引入更好的收敛性。事实上，从的点收敛的定义也可以看出其局限性，设在集合X上收敛，则对任意的，和在点收敛，由Cauchy收敛准则：
对，使得当时，
，对成立，
或
，对成立，
显然，对不同的，也不同。正是由于在收敛的条件下，强烈依赖于x，显示了强烈的局部性质，使得每个的性质很难延伸到和函数上，也使得一些运算很难推广，要解决这些问题，关键是能否找到一个公共的，使得上式对所有都成立？这就是将要引入的一致收敛性。

二、 一致收敛性
定义1.3 设 在上有定义，如果，，当时，
，对，成立，
则称在上一致收敛。
也可用部分和函数列引入等价的定义。
定义1.4 给定函数列，若，，当时，
，对，成立，
则称在上一致收敛。
如果知道和函数，还可利用和函数定义一致收敛性。
定义1.5 设 （）在上收敛于，若，，当时，
，（）对成立，
则称（）在上一致收敛于，记为
（），在上。
注、一致收敛是整体概念。
注、一致收敛的几何意义：等价于当n>N时，函数曲线都落在曲线和之间。
例2 证明：在一致收敛。
证明：1）、计算和函数。任取，则
，
故，。
2）、判断及验证。由于
，
故，，，当时，
，对成立，
因而，。
注、类似于数列极限证明的放大法，证明也是利用放大法得到
的一个与x无关且单调递减收敛于0的界G（n）,即如下估计：
。
将上述证明思想抽取出来，得到如下判别法：
推论1.1设存在数列：，使得，，则在上。
再引入一个较弱的概念。
定义1.6 设为一区间，若，，称在上内闭一致收敛于。
显然，一致收敛性远强于点收敛性。正是如此，才保证一致收敛条件下和函数能继承很好的性质，也能保证函数性质由有限到无限的过渡。在研究这些性质之前，先给出一致收敛性的一个充要条件。以为例：
定理1.1 设在X上点收敛于，记
，
则，当且仅当。
证明：充分性
设,则，，当时，
.
又，
，
故时，，都有
，
故，，。
必要性
设，则，，当时，
，，
故,,因而,
.
注、对任意的n，是一个与x无关的量。
注、定理1.1的思想是将一致收敛的判断转化为最值（确界）的计算和数列的极限的计算，而最值的计算可利用导数法来完成，因而，对一个具体的函数列，可以借助于微分学理论完成一致收敛性的判断。
例3 判断在的一致收敛及内闭一致收敛性。
解、显然。
用定理1.1判断。由于，下面用导数法求其最大值。
对固定的，因而
，
故，在处达到最大值，因而，

故，不一致收敛于S（x）。
考察内闭一致收敛性。任取，由于
，
因而，当时，，，因此，此时
，
故，，因而，在内闭一致收敛于0。

三、一致收敛的判别法则
我们以函数项级数为例，给出一致收敛性的判别法。
给定上的函数项级数。
定理1.2 （Weiersfrass判别法）
若存在，当时，，，而正项级数收敛，则在上一致收敛。
证明：由于收敛，用Cauchy收敛准则，则对任意的，存在N，当n>N时，对任意的正整数p，成立
，
因而，当n>N时，
， 对
故，在上一致收敛。
注：W-判法也是比较判别法。
类似数项级数，还可以引入如下的判别法。
定理1.3（Abel判别法）
设在上一致收敛，满足：1）、对，关于单调，2）、在上一致有界，则在X上一致收敛。
分析 证明思想类似数项级数的Abel判别法，即利用Abel变换和Abel引理，考察其Cauchy片段。
证明：设，，.
由于一致收敛，故，，当时，
， ，
又，关于单调，故，由Abel引理

故，在X上一致收敛。
定理1.4（Dirichlet判别法）
设的的部分和一致有界，满足：1）、对，关于单调，2）、函数列一致收敛于0，则在X上一致收敛。
与Abel定理的证明类似，略去其证明。
例4 若收敛，证明在上一致收敛。
证明：因为在上一致收敛，由Abel判别法即得。
注、不能用Weiersfrass-定理，因为不一定收敛。
例5 设单调趋于0，证明：在内闭一致收敛。
证明：，考虑，由于单调一致收敛于0，且成立如下的部分和有界性：
，
因此，由Dirichlet判别法，结论成立。

我们引入一个利用函数分析性质判断一致收敛性的Dini-定理。
定理1.5（Dini-定理）
设，且，又设，关于单调，则。
分析 定理中的条件有两个，从条件出发，可以得到的结论是：对，，存在，使得时
，
而连续性的条件，可以将上式推广到x的某个邻域成立，而一致收敛性的结论要求将上式推广到对某个N，对所有的都成立，这就必须克服两个局部性条件的限制：和，一般从局部到整体性质的推广可以利用有限覆盖定理，但是，由于有两个局部性条件的限制，使得利用有限覆盖定理进行推广很难进行，我们知道，对这类问题还有一个有效的处理方法，就是反证法，使得假设要证明的结论整体不成立，利用条件得到在某个点或其附近也不成立，由此得到矛盾，下面，我们利用反证法证明结论。
证明：反证法
设不一致收敛于，则，，及使得
(*)
利用上面的分析，我们希望确定一个点，使得在此点附近产生矛盾，为此，我们利用Weiersfrass-定理，则有收敛子列，不妨设.
下面，分析在点附近的性质，由于，则对，，使得
，
利用连续性，将此点的性质推广，由于且，故，当时
， ，
故,

(**)
这就得到了在点附近成立的一个性质，比较（*）和（**），为得到矛盾性的结论，只需将仅对N成立的（**）推广到对所有充分大的n都成立即可，为此，必须利用剩下的条件――单调性条件。
又,对固定的，关于单调，因而，当时
, (***)
事实上，若关于单调增加，则,且时，，因而,

而当关于单调减，此时，且时，则

故,时总成立
,
因而，当充分大，使得时，由(***)和(**)得
，
这与(*)矛盾。故,.
注、定理1. 5中闭区间的闭性条件不可去。
将定理1.5推广至函数项级数，可得相应的Dini-定理。
定理1.6 设，，如果1）、，，，2）、对每个固定，是同号级数，则在一致收敛于。
例6 设，证明：在[0,1]上一致收敛。
证明：容易计算，
，
由于对任意的n，且；而对于任意给定的，关于n单调非增，由Dini定理，在[0,1]上一致收敛。

四、一致收敛的必要条件及非一致收敛性
由于并不是所有的函数列和函数项级数都一致收敛性，因此，研究函数列的非一致收敛性很有必要，下面给出一些判断非一致收敛性的结论。
定理1.7 设，则的充要条件是，都有。
证明：必要性
设，则，，当时，
，，
因而，
，
故，。
充分性
反证法。设不一致收敛于S（x），则，， ，，使得
。
取，则，，使得；
取，则，，使得。
如此下去，构造，使得
。
因此，对任意满足的点列，都有不收敛于0，与条件矛盾。
定理1.7的作用体现在下面推论中。
推论1.2 若，使得不收敛于0，则不一致收敛于S（x）。
相应的结论可以推广到函数项级数，如类似成立： 若在上收敛，则在上一致收敛的充要条件是，有，其中。
下面的结论在判断函数项级数的一致收敛性时也非常有用：
定理1.8 若在上一致收敛，则对，收敛。
这个结论可以用类似定理1.2的方法证明，但是，条件的充分性不成立。这个结论在判断非一致收敛性时很有用。
例7 证明：在[0 , 1]上非一致收敛。
证明：取，发散，由定理1.8，结论成立。
例8 判断在上的一致收敛性。
解、显然，取，则
，
故不一致收敛。

类似数项级数，成立函数项级数一致收敛的必要条件。
定理1.9 若在上一致收敛，则。
只需用Cauchy收敛准则即可。事实上：由于一致收敛，则，，当时，
，
取，在上，故。
注、定理1.9与数项级数收敛的必要条件类似，常用于判别非一致收敛性。

还可以借助端点的发散性判断非一致收敛性。
定理1.10 设对每个，在处左连续，又发散，则，在上必不一致收敛。
证明：反证法
设，使得在上一致收敛，则由Cauchy收敛准则:
，，使得
， ，
令，则
，
再次用Cauchy收敛准则，收敛，矛盾。
与此定理相似的结论：
定理1.11 设在处右连续， 发散，则，在上必不一致收敛。

例10 判断在的一致收敛性。
分析 显然，收敛，利用根式法可知，只有当时，才有，才能得证一致收敛。因而：附近有可能破坏一致收敛性。
解：显然，时，发散。因而由定理1.11可得非一致收敛。
例11 说明在上非一致收敛。
解：当时，发散,故,在上非一致收敛（为坏点）。

习题
1、研究下列函数项级数的点收敛性：
1） ； 2）；
3）； 4）.
2、研究下列函数列的点收敛性：
1）； 2）、。
3、讨论函数项级数在给定区间上的一致收敛性：
1）、
2）、，
3）
4）、
5）、
6）、
7）、
8）、
9）、
10）、
4、讨论下列函数列在给定区间上的一致收敛性：
1）、
2）、
3）、
4）、.
5、设在(a,b)内一致收敛，在端点x＝a，b收敛，证明：在区间[a,b]上一致收敛。
6、设在(a,b)内一致收敛，对任意n，，证明：在区间[a,b]上一致收敛。
7、设在x＝a、b点收敛，对任意的n，在[a,b]上单调，证明：在[a,b]上一致收敛。
8、证明：在[a,b]上一致收敛但非绝对收敛。举例说明绝对收敛的函数项级数不一定一致收敛。
9、设在[a,b]上等度连续，即对任意的，存在，使得当x、y且时，成立
， ，
又设在[a,b]上逐点收敛，证明在[a,b]上一致收敛。
10、利用Cauchy收敛准则证明：在(0,1)内非一致收敛。

§2 和函数的性质

本小节，我们研究和函数的分析性质，如和函数的连续、可微等性质，并由此讨论关于和函数的一些运算。需要指明的是，下面定理中的闭区间
[a,b]都可以用任意的区间代替。

定理2.1 若1），2），，则。
分析 根据定义，要证，只需证明、，
存在，使得
，
因此，证明的关键是对上式左端的估计。而我们知道的条件一是一致收敛性，由此知道了，，二是连续性，由此知道了对某个n的估计式，，因此，相互比较可以发现应该通过插项方法，利用已知的项实现对未知项的控制，但是，必须要解决估计过程中，利用连续性所产生与n的依赖关系，因此，必须将任意的n固定，这是证明中的技巧。
证明：任取，利用一致收敛性，则，存在，当时，
，，
特别，取，则
，。
又，存在，使得
，，
因而，当时，
，
故，。
注、可以用上述定理证明非一致收敛性，即下述的推论。
推论2.1 设，，若，则非
一致收敛于。
如，用推论2.1可以证明：在[0,1]上非一致收敛，因为其和函数
在[0,1]上不连续。

注、定理2.1表明，如下运算成立：

即两种极限运算可换序，
，
因此，一致收敛性保证了上述两种运算可换序。
定理2.2 设且，则
，
即极限与积分可换序。
分析 这是一个关于的极限问题，直接比较即可证明之。
证明：由于， ，，当时，
，，
故，当时，
，
因而，
。
注、从证明过程中可知：连续性的条件只是为了保证的连续可积性，因而，可减弱为，。
定理2.3 假设满足1）、；2）、，； 3）、，，则且，因而，微分与极限运算可换序，即

分析 我们知道积分和微分存在着量的关系，而且我们已经知道了积分运算的相应结论，因此，证明的思路就是将微分关系转化为积分关系，借用定理2.2完成证明，即
等价于
可以充分利用已知的积分换序定理证明结论。
证明：由于，由定理2.2，则
，
由定理2.1得，故，因而，也有，对上式两端微分，则。
再次利用微积分关系式，则
，，
故，

，
故，。
注、上述关于分析性质的定理，可类似推广到函数项级数。
下面通过例子说明上述定理的应用。
例1 证明：1）、；
2）、
分析 这是和函数的连续性问题，由定理2.1，只需验证相应的一致收敛性。简单分析可以发现，在是点收敛而不是一致收敛，但是，注意到连续性、可微性都是局部性的概念，验证这些性质在某个区间上成立，只需验证其在任一个闭子区间上成立，这是局部概念特有的性质，也是处理局部性性质的常用思想。
证明：1)、任取，则，使得，类似前例，在一致收敛。由定理2.1，，故在点连续，因而,。
2）、考察其导数级数，对任意的，则在一致收敛，因此，由定理2.3，且，由的任意性，则。
例2 证明：当时，

证明：考察级数。 则

因而，

即
。
对，收敛，由Weiersfrass判别法得，在一致收敛，因而，由定理2.2，则
，
即，
，
由的任意性，则
，。
注、这类题目从形式看是计算函数项级数的和函数，处理这类题目的方法是利用已知的函数项级数及其和函数，通过求积或求导计算新的函数项级数的和函数，而已知的函数项级数通常是

和
。
例3 证明： ，。
证明：易证在点收敛于且内闭一致收敛，而在内闭一致收敛于，则由定理2.3：,
故, , .
注、从例2和例3的结论形式看，也可以视为函数的级数展开，将其与函数的Taylor展开相比，可以发现：Taylor展开是有限展开，且在定义域内都成立，级数展开是无限展开，且只在函数项级数收敛的范围内成立。

习题
1、证明：在非一致收敛，但是可以逐项求积和逐项求导，即成立对任意的实数a、b，
，
及对任意的x，成立
.

2、证明：由在任何有限的区间都能确定一个连续函数。
3、证明：在内具有连续的导数。
4、设，计算。
5、设，1）、计算；2）计算
6、设对任意的n，且在区间[a,b]上一致收敛于，证明：在区间[a,b]上一致收敛于

§3 幂级数

本节研究最为简单的函数项级数——幂级数，由于幂级数结构简单，具有良好的性质，在工程技术领域应用非常广泛，因而，从理论上对幂级数进行研究很有意义，本节，我们利用函数项级数理论，研究幂级数的收敛性及其性质。

一、定义
我们引入最简单的函数项级数――幂级数。
定义3.1 设为给定的数列，称函数项级数为幂级数。
注、从结构形式看，幂级数是多项式函数的推广，多项式函数是函数中结
构最简单的一类函数，具有特殊的性质，更便于研究。
注、若取，我们得到更简单的幂级数，由于对一般的幂级数作变换，就可以将其转化为幂级数。
因此，本节我们以幂级数为例引入相关内容。

二、收敛性质
幂级数是特殊的函数项级数，其结构简单特殊，因而具有特殊的收敛特性。下面研究这些性质。
定理3.1 （Abel定理）
1、设在点收敛，则对，必绝对收敛。
2、设在点发散，则，必发散。
分析 证明的关键是建立已知级数与要讨论级数之关系，可以采用形式统一法。
证明：1）、对，记，则， 显然，
，
因为收敛，故，， 因而充分大时，，此时
，
由比较判别法得，绝对收敛。
2）、注意到结论1），此结论用反证法证明。
设存在，使得收敛，则利用结论1），绝对收敛，与条件矛盾，故，结论2）成立。
注、结论1）中，在点不一定绝对收敛。
对定理3.1分析可知：定理3.1反映了幂级数的收敛结构性质――收敛点的分布特性，收敛点关于原点对称分布。因而，可以设想：应该存在，使得时，收敛（绝对），而时，发散。
事实上，这样的是存在的。为方便，我们称为的收敛半径，相应的称为收敛区间。但是要注意，点处的收敛性具不确定性。因此，称{收敛的端点}为收敛域。
通过上述定义可知，确定幂级数的收敛性，只须确定收敛半径及端点的收敛性，因此，关键是确定。那么，如何确定？我们从分析使得收敛的点的结构入手。由于幂级数通项的幂次的结构形式，我们用根式判别法判断级数的敛散性，对，由于

因此，若存在极限，则当，即时，绝对收敛。当，即时，发散。因此，必有
。
由此，若记，，我们得到如下结论：
定理3.2 对，则当时，绝对收敛，当时，发散。因而，正是收敛半径。
注、当时，只在点收敛；当时，在整个实数轴上收敛。
注、当不存在，由于一定存在，此时，可用代替，由此确定了收敛半径。
注、同样可以利用比值法导出收敛半径。
定理3.3 若存在极限，则为收敛半径。
注、同样可以用上极限代替定理3.3中的极限，即当不存在时，可取。
定理3.2和定理3.3给出了幂级数收敛半径和收敛点分布的主要特征，即当 时，幂级数绝对收敛，但是，幂级数在端点处的收敛性没有结论，须独立判断其收敛性，可能收敛，也可能发散，即使在端点处收敛，也不一定绝对收敛。
我们称幂级数所有收敛点集合为幂级数的收敛域，因此，收敛域就是收敛的区间加上收敛的端点。
例1 考察1），2），3）的收敛半径和收敛域。
解：1）由于，故。
当时，发散；当时，收敛，
故其收敛域为。
2）令，考虑，由于，故。
由于，都收敛，故，的收敛域为，即时，收敛，因而，即时，收敛，因而，的收敛半径为，收敛域为。
3）、令，考虑，其收敛半径，收敛域为，因而原级数的收敛半径为，收敛域为，即。
注、从例1可以看出，幂级数在端点处有不同的敛散性。
例2 考察1），2）的收敛半径和收敛域。
解：1）由于，故，因而收敛域为，即只有才是收敛点。
2）采用比值法，由于，故，故收敛域为。
对于隔项幂级数，须用前述的收敛半径的确定思想来进行。
例3 考察的收敛半径与收敛域。
解：记，则
，
故，当时，，此时级数绝对收敛；当时，，此时发散。故，显然时，也收敛，故，其收敛域为。
例4 考察的收敛半径与收敛域。
解：记，则

故当时，，此时级数绝对收敛，当时，，此时发散。因而，其收敛半径为，当时，幂级数都发散，因而其收敛域为。
上述通过收敛半径讨论了幂级数的收敛与绝对收敛性，下面进一步讨论一致收敛性。
定理3.4（Abel第二定理）
设的收敛半径为，则在内闭一致收敛，又若收敛，则在内闭一致收敛，若收敛，则在内闭一致收敛，若，都收敛，则在一致收敛。
证明：任取，存在，使得，由于，则绝对收敛。
又时，，由Weiersfrass判别法，在一致收敛，因而，在内闭一致收敛。
若收敛，视为函数项级数是一致收敛的，由于，
因此，，由于，故关于单调且一致有界，
故，由Abel判别法：在一致收敛。
当时，由定理3.2, 绝对收敛，且
，
因而，在上一致收敛。
因此，对任意的，在上一致收敛。
后两种情形类似证明。
将上述结论可以总结为：设的收敛半径为，则1）在内每点都绝对收敛，2）在收敛的端点仅是收敛（不一定绝对收敛），3）在内闭一致收敛，且可延至收敛的端点。

三、幂级数的性质
很容易将函数项级数一致收敛的函数性质推广到幂级数。
设的收敛半径为，并记。
定理3.5 （连续性）成立结论，1）、；2）、又若收敛，则；3）、若收敛，则；4）、若和收敛，则，即和函数连续到收敛的端点。
定理3.6 （逐项求积定理）对，则
。
定理3.7 （逐项求导定理）对，则且
，
进一步还有。
注、上述定理表明：幂级数逐项求导和求积后仍是幂级数且收敛半径不变，但在处，收敛性可能会改变。
例5 证明：
证明：易知

利用逐项求积定理，则
，
考虑幂级数，易知收敛半径，收敛域为，取即得结论。
注、观察幂级数逐项求导和求积后的变化，系数分别增加因子，，因此在含有这些因子的幂级数时，可考虑对幂级数进行求导和求积运算。
例6 求。
解、法一、考虑级数
，
易知
，，
逐项求导得
，，
因此，两边同乘，得
，，
取，则。
解法二：由于。故考虑级数，，易知
，，
且由逐项求导定理得，
，，
取，则
，
故，。
注、这类数项级数求和的思想是将其转化为幂级数在某点处的函数值。

习题
1、确定下列幂级数的收敛域：
1）、， 2）、 ， 3）、，
4）， 5）、， 6）、，
7）、， 8）、。
2、设和的收敛半径分别为和，证明：
1）的收敛半径不小于；
2）的收敛半径不小于；
举例说明1）和2）中的“严格大于”的情况也可以发生。
3、设的收敛半径为R，且，证明：不论是否收敛，都有 。
4、设的收敛半径为R，收敛，证明：

5、设的收敛半径为1，且，又设，证明：。
6、求级数的和函数：
1）、； 2）、。
7、求数项级数的和：
1）、； 2）、。

§4 函数的幂级数

§3的研究表明：幂级数具有很好的性质，由此可以带来很多的应用优势，如数值模拟和计算。事实上，许多应用领域对函数的模拟和计算，都是将函数近似之后进行的。所谓近似，实际就是找一个替代物，这个替代物形式简单，易于研究（性质），便于计算。而幂级数正具有这方面的特征。那么，函数能否用幂级数来代替？或者说能否展开成幂级数？若能，要求的条件是什么，如何展开？这就是本节的研究内容。

一、函数的幂级数展开

将函数展开，我们已经学过类似的内容：即Taylor展开，因此，先从Taylor展开说起。
我们知道，如果在的某领域内有阶连续导数，则
，
其中为余项。
观察上述展开式，我们得到如下信息：1）、满足，2）、展开式是有限展开的形式，3）、与幂级数相比：二者形式相近，只在有限与无限之分。
因此，要从Taylor展开式进一步展开成幂级数，只需将上述展开过程无限进行去，这就要求：1）、，2）、能无限展开。但仅考虑上述两个方面还不够，因为在有限Taylor展开过程中，不必考虑收敛性问题，因为有限和总是有意义的，一旦将有限过程转化为无限过程，必须考虑最重要的因素：收敛性问题；换句话，设满足条件，也能将Taylor展开无限进行下去，那么无限展开后得到的级数是否收敛？是否就是呢？先看一个例子，如：
，则且，因此，在点无限展开成为级数，显然这样的展开只能保证在点等于，即在点展开式与不相等。因此，不加任何条件时，结论并不成立。
那么，什么条件下，展开式为本身？通过Taylor展开，明显地可以获得下述结论。
定理4.1 设在具任意阶导数，则在展开成幂级数
，
当且仅当，。
证明：充分性
由于，故，可进行Taylor展开
，
由于，，因此
，
利用级数的收敛性，则
，。
必要性
设，记为其部分和，利用Taylor展开，则
。
注、定理4.1给出了将函数展开成幂级数的条件，由于幂级数由Taylor展开已经得到，也称Taylor级数。
注、从定理4.1中可知，要研究是否可展成幂级数形式，关键是条件是否成立。因此，为以后验证这一条件的方便，给出另一余项形式。
定理4.2 设在内有任意阶导数，则有Taylor展开：

其中余项。
分析 从结论形式，要求建立积分关系：，将其转化为微分关系来证明。
证明：由于
，
显然。逐次求导，则
，
且，如此下去，得
且和。
将上述微分关系逐次转化为积分关系，利用分部公式，则

，
由此得到结论。
注、上述证明的思想是实现从微分关系到积分关系之转化。
注、余项称为Lagrange积分型余项。
对此应用积分第一中值定理：
，
这就是Lagrange微分型余项。
将作为整体，应用积分第一中值定理：
，
其中在与x之间，因而存在，使得，故
，
称为Cauchy型余项。
注、通常取将展开成Maclaurin幂级数,即
，
此时须成立条件：，其中有对应的如下形式：
，
，
，
因此，在验证条件时，可根据具体题目选择合适的形式。
例1 将展开成Maclaurin幂级数。
解、 由于，，又
，
显然，因而，对任意的x，
，
故，
，。
例2 将展成Maclaurin幂级数。
解、由于，故
，
又,故对任意的成立，因而
， 。
注、同样有，。
例3 在一个合适的区域上将展开成Maclaurin级数。
解、对任意的正整数n，计算得
，，
取Cauchy余项
，
其中。
假若能展开成Maclaurin级数，其级数的收敛半径为1，因此，我们在区间
（－1，1）上研究展开问题。
先证明有界，事实上，当时，，则
；
当时， ，则
，
因而，在（－1，1）上，有界。
其次，证明当时，成立。事实上，当时，由于
，结论成立；当时，则
，
因而，结论成立。

因而，
，
故，，。
因而，
，。
注、显然，时，右端级数发散。
注、可以结合幂级数收敛半径的计算确定幂级数展开的范围，即在验证收敛条件时，可以先假设可以展成Maclaurm级数，则必有，右端是一个幂级数，在其收敛域内才有意义，故只须在内验证即可。因此，可根据展开式预先确定一个收敛的范围，然后验证。
也可以借助于函数项级数的一致收敛性的运算性质，利用已知函数的幂级数展开式，通过逐项求积或求导得到一些相关函数的幂级数展开式。
例4 将ln（1＋x）展开成幂级数。
解、我们已知有如下展开式
，，
右端幂级数的收敛半径为R＝1，收敛域为（－1，1）。
利用逐项求积定理，则对任意的，

故，
，，
注意到右端幂级数在x＝1处收敛，因此
，。
类似Taylor展开，各种运算技巧也可以用于函数的幂级数展开。
例5 将展开成幂级数。
解、由于
，
利用已知的展开式，则
，，
，，
因此，
，，
当时，右端级数发散，因而，幂级数的收敛域为。

习题
1、将下列函数展开成幂级数：
1）、 f（x）＝sinxcosx； 2）、；
3）、； 4）、 。

390