第四节无穷小与无穷大.doc

第四节 无穷小与无穷大
教
材习题1-4答案（上册P43）
1.解:两个无穷小的商不一定是无穷小.例如: ,
.
1. 解(1) 而为有界函数即,由P39定理3,
(2) 而为有界函数即,.
3.证: 要想使即
,,,当时,
,即函数为当时的无穷大. #
当时, 当时,能使.
4.解:

第五节 极限运算法则
教材习题1-5答案（上册P49）
1. 解(1)原式=.
(2) 原式=.
(3) 原式=.
(4) 原式=.
(5) 原式=.
(6) 原式=.
(7) 原式=.
(8) 原式=
(9) 原式=.
(10) 原式=
(11) 原式=
(12) 原式=
(13) 原式=
(14) 原式=
(15) 原式=
(16) 原式=
(17) 原式=
2.解(1) 由P42定理4即无穷大与无穷小的关系,
(2) 由无穷大与无穷小的关系,
3.解: (1)原式=
(2) 原式=(即分子有理化)
(3) 原式=(即分母有理化)
(4) 原式=
第六节 极限存在法则两个重要极限
教材习题1-6答案（上册P59）
1. 解:(1) 原式=
(2) 原式=
(3) 原式=
(4) 原式=
(5) 原式=
(6) 原式=
2.解：（1）令，则，当时，，所以，
原式=
（2）令，则，当时，，所以，原式=
（3）原式=
（4）原式=
（5）令则，当时，，
所以，原式=.
(6) 令,则，当时，，
所以,原式=
3.证:
而,由夹逼准则,
.#
第七节 无穷小的比较
教材习题1-7答案（上册P64）
1. 解: ,且
,记作.
2. 解:（1）当时,无穷小是同阶 但非等价无穷小.
（2）当时,无穷小是等价无穷小.
3. 证: 当时,无穷小 是等价无穷小,即.#
4. 解：(1) ,原式=
(2) 当,原式=.
(3) 原式=
(4) 原式=.
(5) 原式=
5.证：(1)
(2)
(3)
#
【常用的等价无穷小：
】
第八节 函数的连续性
教材习题1-8答案（上册P72）
1. 解：(1) 是该函数的分段点.
所以该函数在点处连续,从而在
上连续.(如图)
(2) 是该函数的分段点. 为连续点.又为函数的跳跃间断点,即
在点处不连续. 在上连续.(如图)
2.解：(1)
.为可去间断点,属第一类间断点; 为无穷间断点, 属第二类间断点.
可令则该函数在处连续.
(2)
当时, ,为无穷间断点,属第二类间断点. 和为可去间断点, 属第一类间断点.
可补充定义 ,则此时在和
出连续.
(3) 当时，函数值在0与1之间变换无限多次，所以点为函数
的震荡间断点，属第二类间断点.
（4）为函数的跳跃间断点，属第一类间断点.
3.解: 的间断点为2或-3.
其连续区间为因为该函数在连续,所以

4．解：(1) 原式
(2) 原式.
(3) 原式.
(4) 原式
5. 解：(1) 原式.
(2) 原式,
(3) 令则原式
(4) 原式
,
又
故原式=.
6.解:由题设知,函数上连续,在处, ,
,要使该函数在点连续,应满足,即.当时,使得在内连续.
第九节 闭区间上连续性函数的性质
教材习题1-9答案（上册P77）
1.证:令则又在上连续，
由零点定理知，至少一点使得即方程至少有一个根介于1和2之间. #
2.证:令
则
若则就是的一个正根,且不超过.
若即且在上连续.
由零点定理知，至少一点使得综合两点, 即为方程的一个正根且,不超过.#
3.解 ：设

则即又函数在或上连续.由介值定理, 至少一点或，使得
本题可作以下推广：设在上连续，，
则在内至少有一点，使#
4.解: 解：以山脚为原点，山顶方向的位移为正，设为上山时的位移函数，是一个连续的单调增函数，为下山时的位移函数，是一个连续的单调减函数，设早7：00时间点为，晚7：00时间点为，则，令，则是一个连续单调增函数，又

由的单调性及介值定理，存在唯一一点使
即这个运动员必在这两天的某一时刻经过登山路线的同一地点

第一章复习题
教材总习题一答案（上册P77）
一、概念复习
1.解：（1）答案（A）和（D）正确，（B）和（C）不符合函数的定义。
（2）（D）正确。
（3）
（4），间断点的类型分别是可去间断点，跳跃间断点和无穷间断点.
（5）由则
（6）时,
.
（7）.
2.解：(1) 错.如数列有界但极限不存在.
(2)正确.
存在且也存在, 存在.
(3) 错. 如存在,而不存在.
(4) 错. 如
(5) 错.答案同P60第3题.
(6) 错. 如
(7) 正确.闭区间上连续函数的性质.
二、综合练习
1.解:
如图.如图.
2.解:(1)令 则当时, .

(2) 令则当时, .
(3)分子有理化, 即
.
(4)此题是型,统分后再计
算:
3.解: 原式= ,

4.解:因为该函数在上连续,要想在处连续,必使,即所以当 时,函数在内连续.
5.解: 令
又在内连续, 在内至少有一个根,使.同理,存在其它两根分别在和内.
6. 解:(1)
.
(2)当时，即当时，
=.
7. 解:设金属线圆圈的中心位于原点,圈上任意点处的温度为,其中为与轴正向之间的夹角().则金属线圈上的温度.
在上连续，
.由介值定理，存在 或，使得.
金属圆圈直径两端处的温度相同.