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第八章 多元函数微分法及其应用
一、多元函数的基本概念
1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点等，多元函数的定义等概念
2、多元函数的极限
² 如（或）的定义
² 掌握判定多元函数极限不存在的方法：
（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。
² 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商等）与一元类似：
例1．用定义证明
例2．设，讨论是否存在？
例3．设，讨论是否存在？
例4．求
3、多元函数的连续性
² 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
² 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”
例1．讨论函数在（0，0）处的连续性。
例2．求 例3．
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理
二、多元函数的偏导数
1、 二元函数关于的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）
如果极限存在，则有
（相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
如果极限存在，则有
对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。
例1．设，求。
例2．设，求。
2、 二元函数关于的高阶偏导数（二元以上类似定义）
,
定理：若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。
例1．设，其中为常数，求：。
例2．设，求。
3、在点偏导数存在在点连续
4、偏导数的几何意义：表示曲线在点处的切线与x轴正向的夹角。
三、全微分
1、在点可微分的判定方法
若，则可判定在点可微分。其中
例1．设，判断函数在（0，0）是否可微分？
2、全微分的计算方法
若在可微，则有
其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。
例1．设求。
例2．设，，，求函数：对变量的全微分。
3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系
² 一阶偏导数在连续在可微 在连续在有极限
² 在可微在的一阶偏导数存在
² 在可微在的方向导数存在
例1．设，
①求；②判断函数在（0，0）是否可微分？③判断在（0，0）的连续性
四、多元复合函数求导法则
1、链式求导法则：变量树状图 法则
(1)
3
9
(2)
(3)
（2）的特例：，
（3）的特例：
z
u
x
y
x
y
例1． 设，而，，求和。
例2． 设，而，，则。
例3． 设，又具有连续的二阶偏导数，求。
（记住一定要设中间变量）
2．一阶全微分形式不变性：
设，则不管是自变量还是中间变量，都有
² 通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。
² 当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。
例1．设其中都可微，求。
五、隐函数的求导法则
1、，求
方法1（直接代公式）：，其中：，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。
方法2：直接对方程两边同时关于x求偏导（记住）：
2．，求
方法1（直接代公式）：
方法2：直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住）：
，
3．
建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数的二元方程组，得到。同理可求得。
例1．设，其中是由确定的隐函数，求。
例2．设有隐函数，其中F的偏导数连续，求。
例3．设可微，方程，其中确定了z是x，y的二元可微隐函数，试证明：。
六、多元函数微分学的几何应用
1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线
切线向量
切线向量
切线向量
3、 曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数
法线向量
法线向量，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：
例1． 在曲线，，上求点，使该点处曲线的切线平行平面。
例2． 设具有一阶连续偏导数，且，对任意实数有，试证明曲面上任意一点处的法线与直线相垂直。
例3． 由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，）处指向外侧的单位法向量，
七、方向导数与梯度
1、方向导数的概念和计算公式
在沿方向的方向导数为：
① 设为上一点，则
② 设的方向余弦为：，则
可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系
2、梯度的概念和计算公式
在沿什么方向的方向导数最大？
沿梯度方向的方向导数最大，最大值为梯度的模
例1．求函数在点沿曲线在点 处的切线方向的方向导数。
例2．求函数在点（2，1）沿方向的方向导数
例3．设函数，（1）求出f在点P（2，0）处沿P到Q（1/2，2）方向的变化率；（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？
八、多元函数的极值及其求法
1、掌握极值的必要条件、充分条件
2、掌握求极值的一般步骤
3、掌握求条件极值的一般方法——拉格朗日乘数法
例1．求函数的极值。
例2．设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？
例3．求旋转抛物面与平面之间的最短距离。
解答
二、1. D ;2．，；3．
4．；；
5．；6．=
三、1．
四．1．，
2．
3．；
＝
4．解：
令 5.c
五、1．1；
六、1．解：所求点对应， 切线方向向量，
应垂直平面的法向量，即，
解得或，所求点和。
2．解：分析：，即，不同时为零，其中，而。
要证，即
证明：将对求导
对任何成立，∴取
有
以代入即得证。
3．解：记 ，
曲线在点处切线方向向量为
＝
；
＝
4.A
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