非线性微分方程和稳定性.doc

第六章 非线性微分方程和稳定性
[教学目标]
1. 理解解的稳定性、零解稳定性及零解渐进稳定性的概念。
2. 掌握平面初等奇点的分类方法。
3. 了解拟线性近似决定微分方程组的稳定性及用李雅谱若夫第二方法判别稳定性的方法。
4. 了解周期解和极限环的概念。
[教学重难点] 奇点的分类与相应零解的稳定性。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学内容] 解的稳定性定义，相平面、相轨线与相图；平面自治系统的性质，奇点的分类及相应零解的稳定性；拟线性近似，李雅谱若夫第二方法判别稳定性，周期解和极限环的概念。
[考核目标]
1.奇点的分类及相应零解的稳定性。
2.李雅谱若夫第二方法判别稳定性。
3.会求周期解和极限环。
§1 相平面、相轨线与相图
把平面称为平面自治系统
（6.1）
的相平面.
把(6.1)式的解在平面上的轨迹称为(6.1)式的轨线或相轨线.
轨线族在相平面上的图象称为(6.1)式的相图.
注意：在上述概念中，总是假设(6.1)式中的函数在区域上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.
(6.1)式的解在相平面上的轨线，正是这个解在三维空间中的积分曲线在相平面上的投影.
下面讨论二阶线性系统 (6.2)
奇点(0,0)附近轨线的分布:上述系统写成向量形式为方程组它存在线性变换，可化成标准型由A的特征根的不同情况，方程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型.
1．结点型
如果在某奇点附近的轨线具有如图5-1的分布情形，我们就称这奇点为稳定结点.因此，当μ＜λ＜0时，原点O是
(6.3)
(5.4)式的稳定结点.

图 6-1 图 6-2
如果在某奇点附近的轨线具有如图5-2的分布情形，我们就称这奇点为不稳定结点.因此，当μ＞λ＞0时，原点O是(5.4)的不稳定结点.
如果在奇点附近的轨线具有如图5-3和图5-4的分布，就称这奇点为临界结点.

图 6-3 图 6-4
当λ＜0时，轨线在t→＋∞时趋近于原点. 这时，我们称奇点O为稳定的临界结点；当λ＞0时，轨线的正向远离原点， 我们称奇点O为不稳定的临界结点.
如果在奇点附近轨线具有如图5-5及图5-6的分布，就称它是退化结点.当λ＜0时，轨线在t→＋∞时趋于奇点，称这奇点为稳定的退化结点；当λ＞0时，轨线在t→＋∞时远离奇点，称这奇点为不稳定的退化结点.

图 6-5 图 6-6
2．鞍点型
如果在某奇附近的轨线具有如图5-7或图5-8的分布情形，我们称这奇点为鞍点.因此，当μ，λ异号时，原点O是(5.25)的鞍点.

图 6-7 图 6-8
3．焦点型
如果在某奇附近的轨线具有如图5-9的分布情形，我们称原点O是稳定焦点；而当＞0时，相点沿着轨线远离原点，这时，称原点是不稳定焦点 (见图5-10).

图 6-9

图 6-10
4．中心型
如＝0，则轨线方程成为：
或
它是以坐标原点为中心的圆族.在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为中心.

图 6-11 图 6-12
综上所述，方程组
(6.4)
经过线性变换，可化成标准型
(6.5)
由A的特征根的不同情况，方程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型.
当，根据A的特征根的不同情况可有如下的类型：
同号——结点
相异（非零）实根
实根 异号——鞍点
临界结点
重（非零）实根
退化结点
实部不为零——焦点
复根
实部为零——中心

因为A的特征根完全由A的系数确定，所以A的系数可以确定出奇点的类型.

§2李雅普诺夫稳定性
1、稳定性定义
李雅普诺夫稳定性概念
如果对于任意给定的和0都存在，使得只要满足

就有

对一切成立，则称微分方程
(6.6)
的解是稳定的.否则是不稳定的.
假设是稳定的，而且存在，使得只要满足

就有

则称(6.6)的解是渐近稳定的.
注意：微分方程(6.6)式中的函数对和连续，对满足局部李普希兹条件.
一般情况下，我们把解的稳定性化成零解的稳定性问题进行讨论. 这样就有下面的关于零解稳定性的定义:
定义1 若对任意和，存在，使当时有

对所有的成立，则称(6.6)的零解是稳定的.反之是不稳定的.
定义2 若(6.6)的零解是稳定的，且存在, 使当时有

则称(5.1)的零解是渐近稳定的.
2、李雅普诺夫第二方法
定义3（李雅普诺夫函数） 若函数

满足V(0)＝0, 和都连续，且若存在0<HK,使在
上，则称是常正(负)的；若在上除外总有，则称是正(负)定的；既不是常正又不是常负的函数称为变号的.
定理1（零解稳定判别定理） 对系统
(6.7)
若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足
(1) 正定；
(2)常负.
则(6.7)的零解是稳定的.
注意：(6.7)式中在上连续，满足局部李普希兹条件，且．
引理 若V(x)是正定(或负定)的李雅诺夫函数，且对连续有界函数有

则
定理2（零解渐近稳定判别定理） 对系统(5.2)，若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足
(1) 正定,
(2) 负定，
则(6.7)的零解渐近稳定.
定理3（零解不稳定判别定理） 对系统(5.11)若存在李雅普诺夫函数V(x)满足
（1） 正定，
（2）V(x)不是常负函数，
则系统(6.7)的零解是不稳定的.

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