第61课直线的方程.doc

高考数学第一轮复习85课（通用篇）
第61课 直线的方程
一、考纲要求：
1、了解确定直线位置的几何要素（两个点、一点和方向）；
2、掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；
3、熟悉直线方程各形式的特征，理解各形式之间的关系，会由已知直线方程求相关的特征量。
二、知识梳理
回顾
1、直线经过点，斜率为，则它的点斜式方程是　　　　　　　　　；若直线在轴上的截距为，斜率为，则它的方程是　　　　　　　　。
2、直线经过点，则它的两点式方程是　　　　　　　　　　；若直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则它的截距式方程是　　　　　　　　　。
3、直线方程的一般式是，则满足的条件为　　　　　　　　　　。
解析：
1、确定一条直线需要两个独立的条件，一是方向（斜率或倾斜角），二是位置（一个定点）；
2、直线的点斜式方程是其他各种形式的基础，除了一般式，其余各种形式都有其局限性。点斜式（斜截式）不能表示垂直于轴的直线；两点式（截距式）不能表示垂直于的直线，截距式还不能表示过原点的直线；
3、求直线的方程主要有两种方法：①直接法，根据已知条件，选择适当的形式，直接写出直线的方程；②待定系数法，先设出直线方程，根据已知条件求出待定的系数，再代入，求出直线方程。
4、分类讨论、数形结合是常用的数学思想，分类讨论主要是针对斜率存在与不存在。
三、诊断练习：
1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
2、诊断练习点评：
1、已知点，则直线的方程为　　　　　　　。
【分析与点评】本题根据两点式方程的形式，直接写出直线方程，然后化简得。另外，教学中，提醒学生：
（1）本题还可用待定系数法或用斜率公式求出直线的斜率，转化为根据斜截式方程写出直线方程；
（2）求直线的方程，如果没有特殊的要求，最后的结果一般要写成直线的一般式或直线的斜截式方程。
2、已知直线经过点，且斜率与直线的斜率相等，则直线的方程是　　　　　　。
【分析与点评】求出直线的斜率后，由直线的点斜式写出的方程。
3、过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是　　　　　　　　　　　　　　　。
【分析与点评】（1）一般地，学生会通过设出直线的截距式方程来求，要提醒学生，这种解法的前提是直线在轴上的截距不能等于，所以，需要将截距为的情况补充上去，从而得到所求的直线方程为或；
（2）除了本题这类问题要考虑是否过原点外，另外，还有一些其它的问题同样也要考虑，如直线在两坐标轴上截距成相反数；直线在标轴上的截距是在轴上的截距的多少倍等，处理此类问题，要注意分类讨论思想的应用，注意思维的严谨性。
题4、若直线在轴上的截距是，则　　　。
【分析与点评】（1）根据直线的方程求出它在轴上的截距，令它等于，则可得到答案，求出答案后要验证斜率是否存在；
（2）根据直线的方程来求直线在轴上的截距有两种方法：①在方程中令，则可得到它在轴上的截距；令，则可得到它在轴上的截距；②将直线方程化为斜截式方程就可得到它在轴上的截距。
3、要点归纳：
（1）求直线的方程，要掌握常用的两种方法，一是直接法，二是待定系数法；
（2）在求直线的方程时，一定要注意各种不同形式的方程的适用范围，要树立分类讨论的意识及数形结合的意识。
四、范例导析：
例1、已知直线过点．
（1）直线的斜率为2，求直线的方程；
（2）直线经过点，求直线的方程；
（3）直线在两个坐标轴上截距互为相反数，求直线的方程。
【教学处理】由学生进行板演，根据学生出现的问题进行点评、提示。
【引导分析与精讲建议】提出以下问题，请学生思考：
问题1：已知直线的斜率及其过一定点，我们应该用直线的什么形式来求它的方程？
由直线的点斜式方程得所求直线方程为，即。
问题2：已知直线经过两点，此时你有多少种方法求直线的方程？
方法一：应用两点式方程得，即；
方法二：转化为点斜式来求。由题意得直线的斜率为，故由直线的点斜式方程得所求直线方程为，即。
方法三：待定系数法：设直线的方程为，则根据题意得，解得，所以，所求的直线方程为。
问题3：直线方程的截距式方程适用范围是什么？
问题4：直线在坐标轴上截距互为相反数，直线的方程能设为吗？类似地，直线在坐标轴上的截距相等，直线的方程能设为吗？
问题5：直线在坐标轴上的截距互为相反数，直线的斜率为对吗？类似地，直线在坐标轴上的截距相等，直线的斜率为吗？
由直线过原点时得，直线方程为；直线不过原点时，设直线为，代入点得，此时直线为。
例2、过点作直线，使它被两直线所截得的线段恰好被平分，求直线的方程。
【教学处理】请学生根据条件画出图形，进行独立思考，然后请学生回答，教师点评并板书过程。
【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：
问题1：确定直线位置的几何要素有哪些？（两个点、一点和方向）
问题2：本题已经有一个要素（点），那么另一要素你选择什么？
问题3：若另一要素选择另一点，比如点，则它在上，从而，那么你能找到点满足的另一个条件吗？
解法一：因为的中点为，故，它在上，故，与上式联立解得，故，直线方程为。
问题4：若另一要素选择“方向”――斜率，首先要注意什么？（分类讨论）此时，你如何处理本题？（方法一：显然直线垂直于轴时，不成立，故设直线的方程为分别与的方程联立成方程组，解得，从而，故；方法二：将方程构成方程，将直线与之相联立，得：，从而，故。方法二应用了整体思想）
【变式】在中，已知，且边的中点在轴上，边的中点在轴上，求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程。
答案：（1）；（2）。
例3、直线过点，分别与轴的正半轴交于点为坐标原点。
（1）当的面积最小时，求直线的方程；
（2）当取最小值时，求直线的方程。
【教学处理】要求学生根据条件画出图形，分析求直线的方程所需要的条件，确定还需要哪些条件？（一般地，若已知一点求直线的方程，可以采用点斜式方程；若题目与截距相关，亦可采用截距式，其它的均可转化为这两种中的一种）。
【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：
问题1：求最值，在于建立函数关系，而函数的建立在于自变量的选择，你有几种选择方案？
问题2：若选择作为自变量，它的取值范围是什么？的解析式是什么？（解法一：由基本不等式得到等号成立时，从而直线的方程为）
问题3：若直线方程应用截距式，此时又该解决本题？（解法二：由点在直线上得，故，等号成立时，，从而，此时直线的方程为）
问题4：你还有其它选择自变量的方法吗？直线的方向除了用斜率表示外，还可怎样表示？能用它作为自变量吗？（解法三：设，则）
问题5：你能应用上述方法来解决问题的第（2）问吗？请你比较这三种方法在处理这两个问题中的繁简性，你有什么样的认识？（由解法一：，等号成立时，，直线方程为。
解法二：，消去得：，
当且仅当时，等号成立，直线方程为。
解法三：）
【回顾】一题多解时，要注意择优选取，体现通性通法，提高思维的灵活性。
五、当堂反馈：
1、若直线经过二、三、四象限，则其斜率 ，且在轴上的截距 。
【分析与点评】，。
2、光线经过点射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 。
【分析与点评】根据光线反射定律，反射光线经过点关于直线的对称点，从而，所以反射光线所在直线的方程为，即。
3、过点且倾斜角的正弦值为的直线方程是 。
【分析与点评】设倾斜角为，则，从而，故，所以，所求的直线方程为或。
4、已知直线过点，分别交轴于点为坐标原点，则当最小时，直线的方程为 。
【分析与点评】设直线为，从而，故
，当且仅当，故，此时的方程为。
六、解题反思：
1、充分理解确定直线位置的两类几何要素----两个点、一点和方向（斜率或倾斜角），在求直线方程时，要合理地选择直线的方程，根据具体问题，进行具体地分析。如例2、例3；
2、在解题中，要注意数形结合思想以及分类讨论思想的应用，要善于应用图形来帮助思考，启迪思维；在遇到直线的斜率时，要时时提醒自己斜率是否存在，进行必要的讨论，以防漏解。

（执笔：江苏省高邮中学 邹广银）
第61课 直线的方程