电磁学习题答案1-3章.doc

第一章 习题一
1、电量Q相同的四个点电荷置于正方形的四个顶点上，0点为正方形中心，欲使每个顶点的电荷所受电场力为零，则应在0点放置一个电量q＝－(1+2Ö2)Q/4 的点电荷。
2、在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生场强的矢量和，这称为电场强度叠加原理。
3、一点电荷电场中某点受到的电场力很大，则该点的电场强度E：( C )
(A)一定很大 (B)一定很小 (C)可能大也可能小

P
R
•
+q
2a
O
●
●
+q

r
r
θ
θ
4、两个电量均为+q的点电荷相距为2a，O为其连线的中点，求在其中垂线上场强具有极大值的点与O点的距离R。
解法一：
，

E有极值的条件是：
即 ，解得极值点的位置为：
∵ ，而
∴ 中垂线上场强具有极大值的点与O点的距离为
且
解法二：，

E有极值的条件是：
E有极值时的θ满足：

可见 θ = θ2时，E有极大值。由 得
∴ E有极大值时
而
5、内半径为R1，外半径为R2的环形薄板均匀带电，电荷面密度为σ，求：中垂线上任一P点的场强及环心处O点的场强。
X
O
R1
·
解：利用圆环在其轴线上任一点产生场强的结果
P
●
R2
r

任取半径为r，宽为dr的圆环，其电量为
dq = sds = 2prsdr
圆环在P点产生的场强为：
环形薄板在P点产生的总场强为：
若σ > 0，则背离环面；若σ < 0，则指向环面。
在环心处x = 0，该处的场强为 E0=0
6、一无限大平面，开有一个半径为R的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为σ，求这洞的轴线上离洞心为r处的场强。
解：在上题中，令R1=R，R2→∞，x = r则得结果

第一章 习题二
1、均匀电场的场强与半径为R的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量Φ= pR2E，若在半球面的球心处再放置点电荷q，q不改变分布，则通过半球面的电场强度通量Φ= pR2E±q/2e0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为；
其物理意义是 静电场是有源场 。
3、一点电荷q位于一位立方体中心，立方体边长为a，则通过立方体每个表面的的通量是q/6e0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的的通量是q/8e0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )
(A) (B)
(C) (D)
5、应用高斯定理求场强时，要求的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )
(A)正确 (B)错误 (C)无法判断
6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )
(A) 均匀带电圆板
(B)有限长均匀带电棒
(C)电偶极子
(D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r的函数)
7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )
(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；
(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；
(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；
(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、一球体半径为R，均匀带正电量为Q，求球体内外的场强分布。
S1
S2
·
R
O
Q
r
r
解：，电场分布具有球对称性。
在球体内外作以O为心的高斯球面S，其半径
为r，则有：

∴
(1) r < R， ， ∴
(2) r > R， ， ∴

∴

R
r
9.无限长均匀带电圆柱面,电荷面密度为σ，半径为R，求圆柱面内外的场强分布。
解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面,根据
对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方
向沿矢径方向

(1) r < R时,
由高斯定理
得
(2) r > R时, ，由高斯定理
得

第一章 习题三
1、三个相同的点电荷q，分别放在边长为L的等边三角形的三个顶点处，则三角形中心的电势，电场强度大小，将单位正电荷从中心移到无限远时，电场力作功。
2、半径为R的均匀带电细圆环，电荷线密度为λ，则环心处的电势，场强大小。
3、静电场中某点的电势，其数值等于单位正电荷在该处的电势能，或把单位正电荷从该点移到电势零点过程中电场力所作的功。
4、下列各种说法中正确的是( B )
(A)电场强度相等的地方电势一定相等；(B)电势梯度较大的地方场强较大；
(C)带正电的导体电势一定为正； (D)电势为零的导体一定不带电。
5、在静电场中下面叙述正确的是( B )
(A)电场强度沿电场线方向逐点减弱； (B)电势沿电场线方向逐点降低。
(C)电荷在电场力作用下定沿电场线运动；(D)电势能定沿电场线方向逐点降低。
6、真空中产生电场的电荷分布确定以后，则( B )
(A)电场中各点的电势具有确定值; (B)电场中任意两点的电势差具有确定值；
(C)电荷在电场中各点的电势能具有确定值。
8、球壳的内半径为R1，外半径为R2，壳体内均匀带电，电荷体密度为ρ，A、B两点分别与球心0相距r1和r2，(r1＞R2，r2＜R1 ，求A、B两点的电势。
解：利用均匀带电球壳产生电势的结果和电势叠加原理计算作一半径为r，
A
R1
R2
r1
·
O
r2
·
B
厚度为dr的球壳，其电量为

(1) A点处，r1>R2时，
ρ

(2) B点处，r2<R1时，

9、一半径为R的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为ρ=Ar(r＜R)，式中A为常数，试求：
(1)圆柱体内，外各点场强大小分布；
R
(2)选距离轴线的距离为R0(R0＞R)处为电势零点，计算圆柱体内，外各点的电势分布。
解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面
r
S

dr'
r'
dV

由高斯定理：
(1) r < R，

， ∴
r > R，
， ∴
(2) r < R，

r > R，

第一章 习题四
1、真空中半径为R的球体均匀带电，总电量为q，则球面上一点的电势U=；球心处的电势U0=。
·Q
·q
S
2、点电荷Q被闭合曲面S所包围，从无穷远处引入另一点电荷q至曲面外一点，如图所示。则引入q前后：( B )
(A)曲面S的电通量不变，曲面上各点场强不变；
(B)曲面S的电通量不变，曲面上各点场强变化；
(C)曲面S的电通量变化，曲面上各点场强不变；
(D)曲面S的电通量变化，曲面上各点场强变化。
3、选择正确答案：( B )
(A)高斯定理只在电荷对称分布时才成立。
(B)高斯定理是普遍适用的,但用来计算场强时,要求电荷分布有一定的对称性。
(C)用高斯定理计算高斯面上各点场强时，该场强是高斯面内电荷激发的。
(D)高斯面内电荷为零，则高斯面上的场强必为零。
4、一“无限长”均匀带电直线沿Z轴放置，线外某区域的电势表达式为U＝Aln(x2+y2) ，式中A为常数，该区域电场强度的两个分量为：， 。
5、如图，在真空中A点与B点间距离为2R，OCD是以B点为中心，以R为半径的半圆路径。AB两处各放有一点电荷，带电量分别为+q和-q，求把另一带电量为Q(Q< 0)的点电荷从D点沿路径DCO移到O点的过程中，电场力所做的功为 。
·
A
B
C

+q O －q D
解：D点的电势
O点的电势
Q在D点和O点的电势能分别为 ，
∴
L
·P
a
q
x
dx
6、真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，(1)试求在直杆延长线上距杆的一端距离为a的p点的电场强度和电势。(2)从电势的表示式，由电势梯度算出p点的场强。
解：（1），任取一小段x~x+dx
，

，
(2) 设轴线上任一点到棒的右端的距离为x，则
而，在P点x=a，
y
+
+
+
+
+
+
+
q
R
7、如图所示，一均匀带电细棒弯成半径为R的半圆，已知棒上的总电量为q，试求(1)半圆圆心O点的电势；(2)O点的电场强度。

解：电荷线密度，任取一小段圆弧dl，其电量为
dEx
x
O
dθ
dl
θ
+

dE
dEy
(1)dq在O点产生的电势
半圆在O点产生的电势
(2) dq在O点产生的电场的大小，的方向如图
，
,
，
第二章 习题一
B
1、在带电量为Q的金属球壳内部，放入一个带电量为q的带电体，则金属球壳内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q+Q 。
·
Q
R
2、带电量Q的导体A置于外半径为R的导体
A
O
·
r
球壳B内，则球壳外离球心r处的电场强度大小
，球壳的电势。
3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。
4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。
(A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多
5、半径分别R和r的两个球导体(R＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U0，则两球表面的电荷面密度之比σR/σr为 ( B )
(A) R/r (B) r/R (C) R2/r2 (D) 1
6、有一电荷q及金属导体A，且A处在静电平衡状态，则( C )
(A)导体内E=0，q不在导体内产生场强；
(B)导体内E≠0，q在导体内产生场强；
(C)导体内E=0，q在导体内产生场强；
(D)导体内E≠0，q不在导体内产生场强。
7、如图所示，一内半径为a，外半径为b的金属球壳，带有电量Q，
Q
·
b
·
O
a
r
q
在球壳空腔内距离球心为r处有一点电荷q，设无限远
处为电势零点。试求：
(1)球壳外表面上的电荷；
(2)球心O点处由球壳内表面上电荷产生的电势；
(3)球心O点处的总电势。

解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q1 , q2,以O为球心作一半径为R(a<R<b)的高斯球面S,由高斯定理，根据导体静电平衡条件,
当a<R<b时，。则，即,得
根据电荷守恒定律,金属球壳上的电量为

(2)在内表面上任取一面元,其电量为dq,在O点产生的电势
q1在O点产生的电势
(3) 同理，外球面上的电荷q2在O点产生的电势
点电荷q在O点产生的电势
∴ O点的总点势()
a
Q
O
b
·
8、点电荷Q放在导体球壳的中心，球的内、外半径分别为a和b，求场强和电势分布。
解：根据静电平衡条件，球壳内、外球面分别带
电量-Q、Q。其场强分布为:

电场中的电势分布：

第二章 习题二
1、分子的正负电荷中心重合的电介质叫 无极分子 电介质，在外电场的作用下，分子正负电荷中心发生相对位移，形成 电偶极子 。
2、一平板电容器始终与端电压一定的电源相联，当电容器两极板间为真空时，电场强度为，电位移为，而当极板间充满相对电容率为的各向同性均匀电介质时，电场强度为，电位移为，则( B )
(A) (B)
(C) (D)
3、两个完全相同的电容器，把一个电容器充电，然后与另一个未充电的电容器并联，那么总电场能量将( C )
(A)增加 (B)不变 (C)减少 (D)无法确定
4、一空气平行板电容器，接电源充电后电容器中储存的能量为W0，在保持电源接通的条件下，在两极板间充满相对电容率为的各向同性均匀电介质，则该电容器中储存的能量W为( A )
(A) (B)
(C) (D)
d1
d2
d
B
+
+
+
+
－
－
－
－
A
εr1
εr2111111
S1
S2
ΔS1
ΔS2
D
5、一平行板电容器，其极板面积为S，间距为d，中间有两层厚度各为d1和d2，相对电容率分别为εr1和εr2的电介质层（且d1＋d2 = d）。两极板上自由电荷面密度分别为±σ，求：
(1)两介质层中的电位移和电场强度；
(2)极板间的电势差；
(3)电容
解：(1) 电荷分布有平面对称性，可知极板间D
是均匀的，方向由A指向B。
∴
∴
由 得
且有
(2)

(3)
·
a
b
o
6、如图，在半径为a的金属球外有一层外半径为b的均匀电介质球壳，电介质的相对电容率为εr，金属球带电Q，求：
(1)介质层内外的场强大小；
(2)介质层内外的电势；
(3)金属球的电势；
(4)电场的总能量；
(5)金属球的电容。
解：(1)电量Q均匀分布在半径为a的球面上，作一半径为r的球面为高斯面，利用高斯定理可求得场强分布
r < a: E1 = 0; a < r < b: ; r > b:
(2) r < a:
a < r < b:
r > b:
(3)金属球的电势等于
(4)
或
(5)
7、一球形电容器，内球壳半径为R1外球壳半径为R2，两球壳间充满了相对电容率为的各向同性均匀电介质，设两球壳间电势差为U12，求：(1)电容器的电容；(2)电容器储存的能量。
解：(1) 设内外极板带电量为±Q，作与球壳同心的任意半径r的高斯球面
Q， ( R1< r < R2 )
0， ( r > R2 )
0， ( r < R1 )

由
， ( R1< r < R2 )
0， ( r > R2 )
0， ( r < R1 )

， ( R1< r < R2 )
0， ( r > R2 )
0， ( r < R1 )

得 ∴

R1
R2
o
+Q
-Q
·
εr
∵
∴
(2)

第二章 习题三
1、一个平行板电容器的电容值C＝100Pf，面积S＝100cm2，两板间充以相对电容率为εr＝6的云母片，当把它接到50V的电源上时，云母中电场强度大小E＝9.42×103v/m，金属板上的自由电荷量q＝5.00×10-9C。
2、一空气平行板电容器，电容为C，两极板间距离为d，充电后，两极板间相互作用力为F，则两极板间的电势差为，极板上的电荷量大小为。
3、一平行板电容器，两极板间电压为U12，其间充满相对电容率为εr的各向同性均匀电介质，电介质厚度为d，则电介质中的电场能量密度为。
4、如图在与电源连接的平行板电容器中，填入两种不同的均匀的电介质，则两种电介质中的场强相等,电位移不相等。(填相等或不相等)
5、平行板电容器在接入电源后,把两板间距拉大,则电容器( D )
(A)电容增大； (B)电场强度增大；
(C)所带电量增大 (D)电容、电量及两板内场强都减小。
6、一真空平行板电容器的两板间距为d，(1)若平行地插入一块厚度为d/2的金属大平板，则电容变为原来的几倍？(2)如果插入的是厚度为d/2的相对电容率为
d2
d
d/2
d1
S1
S2
S3
ΔS3
ΔS2
ΔS1
εr =4的大介质平板，则电容变为原来的几倍？
解:原电容器的电容
(1)电容器由两个电容器串联而成
，，(d1+d2=d/2)

(2) 由电荷分布的平面对称性可知电位移垂直极板从A到B
在两极板间的三个区域分别作三个高斯柱面S1、S2、S3。由D的高斯定理：
，
得
，，

7、两同心导体薄球面组成一球形电容器，内外半径分别为R1和R2，在两球面之间充满两种相对电容率分别为εr1和εr2的均匀电介质，它们的交界面半径为R（R1<R<R2），设内、外导体球面分别带自由电荷+q和-q，求：
R1
R2
-q
εr2
εr1
R
O
+q
(1)两介质层中的电位移和电场强度；
(2)两导体极板间的电势差；
(3)该球形电容器的电容。
解：(1)由介质中的高斯定理得
两介质层中的电位移
由得两介质层中的电场强度
，
(2) 两导体极板间的电势差

(3) 该球形电容器的电容

。
。
C2=1μF
C1=4μF
C3=5μF
C4=3μF
＋ －

100V
8、求图中所示组合的等值电容，并求各电容器上的电荷。
解:
，

，
，

第三章 习题
1、把横截面积相同的铜丝和钨丝串联后与一电源联接成闭合电路，设铜丝和钨丝中的电场强度的大小分别为E1和E2；电流密度的大小分别为j1和j2；则有：
E1 ¹ E2；j1 = j2(填= 或¹)。
2、把一根金属导线拉长为均匀细丝，其长度为原来的n倍，则拉长的金属丝的电阻与原来金属导线的电阻之比是 n2 。
3、在通电流的铜导线中，某点的电流密度矢量的方向是：（ B ）
(A)该点自由电子的运动方向；
(B)该点电场强度的方向；
(C)该点电势梯度的方向
4、一横截面为S的均匀铜线，表面镀有环形截面积亦为S的均匀银层，在两端加上电压后，设铜线中的场强、电流密度和电流强度分别为E1、j1和I1，而银层中相应的量为E2、j2和I2，则( A )
(A)E1=E2，j1¹j2，I1¹I2 (B)E1=E2，j1¹j2，I1=I2
(C)E1¹E2，j1=j2，I1¹I2 (D) E1¹E2，j1¹j2，I1¹I2
R/2
ε2
ε1
R
R
r
r
I/2
I
A
B
C
I/2
5、电动势为ε，内电阻为r的电源,与一可变电阻R连接成闭合电路,则电源的端电压与外电阻的关系是V = Rε/(R+r) ,当R= r 时,电源的输出功率为最大。
6、如图为复杂电路中的一段电路的情况，
则电路中BC之间的电势差
UBC =
7、一电路如图，已知ε1=1V，ε2=2V，ε3=3V，R01=R02=R03=1Ω，R1=1Ω，R2=3Ω，
求：(1)通过各个电源的电流；(2)每个电源的输出功率。
R2
ε2,R02
ε1,R01
ε3,R03
R1
I1
I2
I3
I3
A
解；根据基尔霍夫第一、二定律列方程

代入数据得：
(1) 解方程得
(2) ，，
(3)
(2) ， ，
B
ε2
ε1
R2
R1
C
R3
•
A

D
8、如图所示，已知ε1=12V，ε2=ε3=6V，电源内阻不计，R1=R2=R3=3Ω，电容C=5μF，求：
(1)通过电阻R2的电流；
I
(2)B、D两点的电势差；
I
(3)电容器极板上的电量。

解：(1)AR3R2BCA回路中有电容C，稳恒
电流不能通过。所以由闭合电路欧姆定律，通过R2的电流为：
，方向如图所示
(2)选DR1ε1B为电路顺序，由一段含源电路的欧姆定律：

(3)选Aε3R3R2B为电路顺序，由一段含源电路的欧姆定律
，C的下极板带正电，上为负。