高等代数试题.doc

第一章 多项式
§1.1一元多项式的定义和运算
1．设和是实数域上的多项式．证明：若是
(6) ，
那么
2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式和
3．证明：

§1.2 多项式的整除性
1．求被除所得的商式和余式：
( i )
(ii)
2．证明：必要且只要
3．令都是数域F上的多项式，其中且证明：
4．实数满足什么条件时多项式能够整除多项式
5．设F是一个数域，证明：整除
6．考虑有理数域上多项式

这里和都是非负整数．证明：

7．证明：整除必要且只要整除
§1.3 多项式的最大公因式
1. 计算以下各组多项式的最大公因式：
( i )
(ii)
2. 设证明：若且和不全为零，则反之，若则是与的一个最大公因式．
3. 令与是的多项式，而是中的数，并且

证明：

4． 证明：
（i）是和的最大公因式；
（ii）
此处等都是的多项式。
5． 设都是有理数域Q上的多项式。求使得

6． 设,令是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有.
7． 设证明：
.
8． 证明：对于任意正整数都有.
9． 证明：若是与互素，并且与的次数都大于0，那么定理里的与可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。
10． 决定，使与的最大公因式是一次的。
11． 证明：如果那么对于任意正整数，

12． 设,是数域上的多项式,与的最小公倍式指的是中满足以下条件的一个多项式：
且；
如果且，那么.
证明：中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。
设,都是最高次项系数是1的多项式，令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式,证明

13． 设并且,证明：.
14． 设证明：

互素的充要条件是存在多项式 使得

15． 设,令

比照定理1.4.2，证明：有最大公因式．[提示：如果不全为零，取是I中次数最低的一个多项式，则就是的一个最大公因式．]
§1.4 多项式的分解
1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：

2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.
3. 证明： 当且仅当.
4. 求 在内的典型分解式；
求在内的典型分解式
5.证明：数域上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意,或者,或者存在一个正整数使得.
6．设是中一个次数大于零的多项式.如果对于任意只要就有或那么不可约.
§1.5 重因式
1. 证明下列关于多项式的导数的公式：

2. 设是的导数的重因式.证明：
未必是的重因式；
是的重因式的充分且必要条件是.
3. 证明有理系数多项式

没有重因式.
4.应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？

5. 证明：数域上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件是
，
这里的是中的数
§1.6 多项式函数 多项式的根
1．设,求.
2．数环的一个数说是的一个重根,如果可以被整除,但不能被整除.判断5是不是多项式

的根.如果是的话,是几重根?
3．设
求 [提示:应用综合除法．]
4．将下列多项式表成的多项式.
;
.
5．求一个次数小于4的多项式,使

6．求一个2次多项式,使它在处与函数有相同的值.
7．令是两个多项式,并且可以被整除.
证明

8．令是一个复数,并且是中一个非零多项式的根,令

证明:在中存在唯一的最高次项系数是1的多项式,使得中每一多项式都可以写成的形式,这里.
在中不可约.
如果,求上述的
[提示:取是中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]
9．设中多项式且,是一个大于1的整数.
证明:的根只能是零或单位根.
[提示:如果是的根,那么都是的根.]
§1.7 　复数和实数域上多项式
1．设次多项式的根是.求
以为根的多项式,这里是一个数;
以(假定都不等于零)为根的多项式.
2．设是一个多项式,用表示把的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:
若是g,那么;
若是是和的一个最大公因式,并且的最高次项系数是1,那么是一个实系数多项式).
3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.
4．在复数和实数域上,分解为不可约因式的乘积.
5．证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.
§1.8 有理数域上多项式
1．证明以下多项式在有理数域上不可约:
;

;
.
2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是是个不相同的素数而是一个大于1的整数,那么是一个无理数.
3．设是一个整系数多项式.证明:若是和都是奇数,那么不能有整数根.
4．求以下多项式的有理根:
;
;
.

§1.9多元多项式
1．写出一个数域F上三元三次多项式的一般形式.
2．设是一个次齐次多项式.是任意数.证明
.
3．设是数域F上一个元齐次多项式,证明:如果,则也是元齐次多项式.
4．把多项式写成两个多项式的乘积.
5．设F是一个数域.是F上元多项式.如果存在使得,那么就说是的一个因式.或者说整除.
证明,每一多项式都可以被零次多项式和整除,.
说是不可约的,如果除了中那两种类型的因式外,没有其它的因式.证明,在里,多项式都不可约.
举一反例证明,当时,类拟于一元多项式的带余除法不成立.
说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零的公共因式.证明是互素的多项式.能否找到使得?
§1.10 对称多项式
1．写出某一数环R上三元三次对称多项式的一般形式.
2．令是数环上元多项式环,是由一切元对称多项式所组成的的子集.证明:存在到的一个双射.[提示：利用对称多项式的基本定理，建立到S的一个双射]
3．把下列元对称多项式表成初等对称多项式的多项式：
；；．
4．证明：如果一个三次多项式的一个根的平方等于其余两个根的平方和，那么这个多项式的系数满足以下关系：

5．设是某一数域Ｆ上多项式

在复数域内的全部根．证明：的每一个对称多项式都可以表成Ｆ上关于的多项式．［提示：只需证明的初等对称多项式可以表成Ｆ上关于的多项式即可．］

第二章 行列式
§2.1行列式定义
1．计算下列排列的反序数：
523146879；

2．假设n个数码的排列的反序数是k,那么排列的反序数是多少？
3．写出4个数码的一切排列．
§2.2 阶行列式
1．确定六阶行列式
D=
中以下各乘积的符合：

2．写出下列四阶行列式中一切带有负号且含元素的项。
3．证明：阶行列式
4．考察下列行列式：
， ，
其中是这个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？
5．计算阶行列式
6．计算行列式
7．证明：行列式

8．设在阶行列式

中，
§2.3 子式和代数余式 行列式的依行依列展开
1．把行列式
依第三行展开，然后加以计算．

2．计算以下行列式:

提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。
3．令

计算行列式。
§2.4 克拉默规则
1．解以下线性方程组：

2．设是个不同的数, 是任意个数,而多项式

有以下性质: ,.用线性方程组的理论证明, 的系数是唯一确定的,并且对的情形导出拉格朗日插值公式.
3．设.用线性方程组的理论证明,若是有个不同的根,那么是零多项式.

第三章 线性方程组
§3.1 消元法
1．解以下线性方程组：

2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。
3．设阶行列式0.
证明：用行初等变换能把行列矩阵化为。
4．证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把
化为．
§3.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法
1．对第一和第二种行初等变换证明定理4.2.1．
2．利用初等变换求下列矩阵的秩：

3．证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1．
4．证明：含有个未知量个方程的线性方程组

有解的必要条件是行列式

这个条件不是充分的，试举一反例．
5．

有解？
6．取怎样的数值时，线性方程组

有唯一解，没有解，有无穷多解？
§3.3 线性方程组的公式解
1．考虑线性方程组：

这里．
2．

3．设线性方程组：
（9） 　　　　　
有解，并且添加一个方程：

于方程组（9）所得的方程组与（9）同解．证明：添加的方程是（9）中个方程的结果．
4．设齐次线性方程组

的系数行列式，而中某一元素的代数余子式．证明：这个方程组的解都可以写成

的形式,此处k是任意数.
5．设行列式

令是元素的代数余子式.证明:矩阵

的秩．
第四章 矩 阵
§4.1 矩阵的运算
1．计算
；
；
；　　；
．
2．证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A．
3．可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：
(i) 设B=()是一个np矩阵．令=是B的第j列，j=1,2,…,p．又设是任意一个p1矩阵．证明：B=．
(ii)设A是一个mn矩阵．利用(i)及习题2的结果，证明：
A(B)=(AB)．
(iii)设C是一个pxq矩阵．利用(ii)，证明：
A(BC)=(AB)C．
4．设
A=
证明：当且仅当
B=
时，AB=BA。
5．令是第i 行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵．求．
6．求满足以下条件的所有n阶矩阵A
(i)i,j=1,2,…,n,
(ii)AB=BA
这里B是任意n阶矩阵。
7．举例证明，当AB=AC时，未必B=C．
8．证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BA≠I．[提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和]
9．令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：
()()=
10.对任意n阶矩阵A，必有n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且
§4.2 可逆矩阵　矩阵乘积的行列式
1．设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？
2．证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵．
3．求下列矩阵的逆矩阵：

4．设 A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得
(i) 证明可逆，并且

(ii)求矩阵

的逆矩阵。
5．设

证明，总可以表成和型初等矩阵的乘积．
6．令是n阶矩阵的伴随矩阵，证明

(区别detA≠0和detA=0两种情形)
7．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB可逆,则A和B都可逆．
8．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB=I,则A和B互为逆矩阵．
9．证明，一个n阶矩阵A的秩≤1必要且只要A可以表为一个n1矩阵和一个1n矩阵的乘积．
10.证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和．
11．设A是一个nn矩阵，都是n1矩阵．用记号表示以代替A的第i列后所得到的矩阵．
(i)线形方程组可以改写成I是n阶单位矩阵．
(ii)当detA≠0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则．
§4.3 矩阵的分块
1．求矩阵

的逆矩阵．
2．设A，B都是n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，证明

3．设

都是n=r+s阶矩阵，而

是一个n阶矩阵，并且与S,T有相同的分法．求SA,AS,TA和AT.有此能得出什么规律？
4．证明，2n阶矩阵

总可以写成几个形如

的矩阵的乘积．
5．设

是一个对角线分块矩阵．证明:

6．证明，n阶矩阵

的行列式等于(detA)(detB)
7．设A,B,C,D都是n阶矩阵，其中detA≠0并且AC=CA，证明

第五章 二次型
§5.1 习题
1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．
2．对下列每一矩阵A，分别求一可逆矩阵P，使是对角形式：
(i)
(ii)
(iii)
3．写出二次型的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项．
4．令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵，即满足条件．
(i)A必与如下形式的一个矩阵合同：

(ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数．
(iii) F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．

§5.2 复数域和实数域上的二次型
1．设S是复数域上一个n阶对称矩阵．证明，存在复数域上一个矩阵A，使得
．
2．证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：

3．证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：
4．证明，一个实二次型可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q的秩等于1，或者q的秩等于2并且符号差等于0．
5．令

证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得．
6．确定实二次型的秩和符号差．
7．确定实二次型的秩和符号差．
8．证明，实二次型的秩和符号差与无关．
§5.3 正定二次型
1．判断下列实二次型是不是正定的:
;

2．取什么值时,实二次型

是正定的.
3．设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数,使得是正定的.
4．证明,阶实对称矩阵是正定的,必要且只要对于任意,阶子式

5．设是一个阶正定实对称矩阵.证明

当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立.
[提示:对作数学归纳法,利用定理9.3.2的证明及习题4.]
6．设是任意阶实矩阵.证明
(阿达马不等式).
[提示:当时,先证明是正定对称矩阵,再利用习题5.]
§5.4　主轴问题
1．对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得具有对角形式:
;
;

2．设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S使得
．
3．设A是一个阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得．
[提示: 是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得=.再看一下U应该怎样取．]
4．设是一组两两可交换的阶实对称矩阵.证明,存在一个阶正交矩阵U,使得都是对角形矩阵.
第六章 向量空间
§6.1 定义和例子
1．令F是一个数域，在F3里计算
（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；
（ii）5（0，1，-1）-3（1，，2）+（1，-3，1）．
2．证明：如果
a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），
那么a = b = c = 0．
3．找出不全为零的三个有理数a，b，c（即a，b，c中至少有一个不是0），使得
a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0）．
4．令1 = （1，0，0），2 = （0，1，0），3 =（0，0，1）．证明，R3中每一个向量可以唯一地表示为
= a11 + a22 + a33
形式，这里a1，a2，a3 R．
5．证明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立：
（i）a () = a- a；
(ii) (a- b) = a- b, 这里a，bF ，,V．
6．证明：数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量．
7．证明，对于任意正整数n 和任意向量，都有
n=+…+．
8．证明，向量空间定义中条件3º，8）不能由其余条件推出．
9．验证本节最后的等式：
（1，…，n）(AB) =（（1，…，n）A）B．

§6.2　子空间
1．判断R n中下列子集哪些是子空间：
(i) {（a1，0，…，0，an）| a1，an R}；
(ii) {（a1 ，a2 ，…，an ）| ai =0}；
(iii) {（a1 ，a2 ，…，an ）| ai =1}；
(iv) {（a1 ，a2 ，…，an ）| ai Z ，i = 1，…，n}.
2．Mn (F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间（参看6.1，例2）令
S={ AMn (F) |A′= A}，
T={ AMn (F) |A′= –A}．
证明，S和T都是 Mn (F)的子空间，并且
Mn(F) = S + T，S T={0}．
3．设W1，W2是向量空间V的子空间，证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2 ，那么它一定包W1 +W2 ．在这个意义下，W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空间．
4．设V是一个向量空间，且V{0}．证明：V不可能表成它的两个真子空间的并集．
5．设W，W1，W2都是向量空间V的子空间，其中W1W2且WW1=WW2，
W + W1=W + W2 .证明：W1=W2．
6．设W1，W 2是数域F上向量空间V的两个子空间，,是V的两个向量，其中W2，但W1，又W2，证明：
（i） 对于任意kF, +kW2 ；
（ii） 至多有一个kF，使得+kW1 ．
7．设W1，W2 ，…，Wr 是向量空间V的子空间，且Wi V，i=1，…，r.
证明：存在一个向量V，使得Wi， i=1，…，r．
[提示：对r作数学归纳法并且利用第6题的结果．]
§6.3 向量的线性相关性
1.下列向量组是否线性相关:
(i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；
(ii) （2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）；
(iii) （2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）．
2．证明，在一个向量组{}里，如果有两个向量与成比例，即=k，，那么{}线性相关．
3．令。证明线性相关必要且只要行列式
= 0．
4．设，线性无关．对每一个任意添上p个数，得到的m个向量．
证明{1 ，2 ，…，m}也线性无关
5．设线性无关，证明也线性无关．
6．设向量组{} (线性无关，任取．证明，向量组线性无关．
7．下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例：
(i) 如果当，那么线性无关．
(ii) 如果线性无关，而不能由线性表示，那么，也线性无关．
(iii) 如果线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合．
(iv) 如果线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合．
8．设向量可以由表示，但不能由线性表示．证明，向量组{}与向量组{，}等价．
9．设向量组中并且每一都不能表成它的前个向量的线性组合．证明线性无关．
10．设向量线性无关，而，，线性相关，证明，或者与中至少有一个可以由线性表示，或者向量组{，}与{，}等价．
§6.4 基和维数
1．令Fn [x]表示数域F上一切次数n的多项式连同零多项式所组成的向量空间．这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是F3 [x]的基：
(i){x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2}；
(ii){x-1，1-x2，x2+2x-2，x3}.
2．求下列子空间的维数：
（i）L ( (2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）)R3
(ii) L(x-1，1-x2，x2-x) F[x]；
(iii) L(ex，e2x，e3x) C [a，b].
3．把向量组{（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）}扩充为R4的一个基．
4．令S是数域F上一切满足条件A’=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数．
5．证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2．如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？
6．证明定理6.4.2的逆定理：如果向量空间V的每一个向量都可以唯一地表成V中向量
的线性组合，那么dimV = n.
7．设W是R n 的一个非零子空间，而对于W的每一个向量（a1，a2，…，an）来说，要么a1 = a2= … = an = 0，要么每一个ai 都不等于零，证明dimW = 1．
8．设W是n维向量空间V的一个子空间，且0< dimW < n．证明：W在V中有不只一个余子空间．
9．证明本书最后的论断．
§6.5　坐标
1．设{1 ，2 ，…，n}是V的一个基．求由这个基到{2 ，…，n ，1}的过渡矩阵．
2．证明，{x3，x3+x，x2+1，x+1}是F3 [x]（数域F上一切次数3的多项式及零）的一个基．求下列多项式关于这个基的坐标：
（i）x2+2x+3；（ii）x3； （iii）4；（iv）x2-x．
3．设1 =(2，1，-1，1)，2=（0，3，1，0），3=（5，3，2，1）4=（6，6，1，3）．证明{1 ，2 ，3，4 } 作成R4的一个基．在R4中求一个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同．
4．设
1 =(1，2，-1)，2=（0，-1，3），3=（1，-1，0）；
1=（2，1，5），2=（-2，3，1），3=（1，3，2）．
证明{1 ，2 ，3 }和{1 ，2 ，3}都是R3的基．求前者到后者的过渡矩阵．
5．设{1 ，2 ，…，n}是F上n维向量空间V的一个基．A是F上一个ns矩阵．令
(1 ，2 ，…，s)=(1 ，2 ，…，n)A ．
证明
dimL(1 ，2 ，…，s)=秩A．

§6.6 向量空间的同构
1．证明,复数域C作为实数域R上向量空间,与V2同构．
2．设是向量空间V到W的一个同构映射,V1是V的一个子空间.证明是W的一个子空间．
3．证明:向量空间可以与它的一个真子空间同构．
§6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
1．证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关．
2．证明，秩（A+B）秩A+秩B．
3．设A是一个m行的矩阵，秩A=r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B．证明，秩Br+s – m．
4．设A是一个mn矩阵，秩A=r．从A中任意划去m–s行与n–t列，其余元素按原来位置排成一个st矩阵C，证明，秩Cr+s+t–m–n．
5．求齐次线性方程组
x1 + x2 + x3 + x4 + x5=0，
3x1 +2x2 + x3 +x4 –3x5 =0，
5x1 + 4 x2 + 3x3 +3x4–x5 =0，
x2 + 2x3 + 2x4 + x5 =0
的一个基础解系．
6．证明定理6.7.3的逆命题：Fn的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线生方程组的解空间．
7．证明，Fn的任意一个≠Fn的子空间都是若干n–1维子空间的交．

第七章 线性变换
§7.1 线性映射
1．令=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射哪些是R3到自身的线性映射？
（1）() =+ ，是R3的一个固定向量．
（2）() = (2x1–x2 + x3 ，x2 + x3 ，–x3)
（3）() =（x12 ，x22 ，x32）．
（4）() =（cosx1，sinx2，0）．
2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射是线性映射的充要条件是：对于任意V，都有() = a，这里a是F中一个定数．
3．令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定AMn (F).对任意XMn (F)，定义
(X) = AX–XA．
(i) 证明：是Mn (F)是自身的线性映射。
(ii) 证明：对于任意X，YMn (F)，
(XY) = (X)Y+X(Y) ．
4．令F4表示数域F上四元列空间，取
A=
对于F4，令() = A．求线性映射的核和像的维数．
5．设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n．令是V到W的一个线性映射．我们如此选取V的一个基：1，…，s，s+1，…，n，使得1，…，s，是Ker()的一个基．证明：
（i）(s+1)，…，(n)组成Im()的一个基；
（ii）dim Ker() + dim Im() = n.。
6．设是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射．W1，W2是V的子空间，并且V = W1W2．证明：有逆映射的充要条件是V = (W1)(W1) ．
§7.2 线性变换的运算
1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律．
2．在F[x]中，定义
：f (x) f’(x) ，
：f (x) xf (x) ，
这里f’(x)表示f(x)的导数．证明, ,都是F[x]的线性变换，并且对于任意正整数n都有
n– n = nn-1
3．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换来说，下列三个条件是等价的：
（i）是满射； (ii)Ker() = {0}; (iii) 非奇异．
当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？
4．设L (V)，V，并且，()，…，k-1()都不等于零，但k() = 0．证明：
，()，…，k-1()
线性无关．
5．L (V) ．证明
(1) Im()Ker()当且仅当 2 = ；
(2) Ker()Ker(2)Ker(3)…；
(3) Im()Im(2)Im(3)…．
6．设Fn = { (x1，x2 ，…，xn ) | xiF }是数域F上n 维行空间．定义
(x1，x2 ，…，xn ) = (0，x1 ，…，xn-1 ) ．
(i) 证明：是Fn的一个线性变换，且 n = ；
(ii) 求Ker()和Im() 的维数．
§7.3 线性变换和矩阵
1．令Fn[x]表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，：f (x) f’(x) ，求关于以下两个基的矩阵：
(1) 1，x ，x2 ，…，xn，
(2) 1，x–c，，…，，cF．
2．设F上三维向量空间的线性变换关于基 {1 ，2，3}的矩阵是

求关于基
1 = 21 +32 +3，
2 = 31 +42 +3，
3 = 1 +22 +23，
的矩阵．
设= 21 +2–3．求()关于基1，2，3的坐标．
3．设{1，2，…，n}是n维向量空间V的一个基．
j = ，= ， j = 1，2，…，n，
并且1 ，2，…，n线性无关．又设是V的一个线性变换，使得(j) = ，j = 1，2，…，n，求关于基，，…，的矩阵．
4．设A，B是n阶矩阵，且A可逆，证明，AB与BA相似．
5．设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 0．
6．证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要关于V的任意基的矩阵都相等．
7．令Mn (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵AMn (F) ．对任意XMn (F)，定义
(X) = AX–XA．
由7.1习题3知是Mn (F)的一个线性变换，设
A =
是一个对角形矩阵．证明，关于Mn (F)的标准基{Eij |1}(见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切ai–aj (1).[建议先具体计算一下n = 3的情形．]
8．设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，总可以如此选取V的两个基{1 ，2，…，n}和{1，2，…，n}，使得对于V的任意向量来说，如果=，则() =，这里0是一个定数[提示：利用7.1，习题5选取基1 ，2，…，n ．]
§7.4 不变子空间
1．设是有限维向量空间V的一个线性变换，而W是的一个不变子空间，证明，如果有逆变换，那么W也在-1之下不变．
2．设是向量空间V的线性变换，且．证明Im()和Ker()都在之下不变．
3．是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件2 =．证明：
(i) Ker() = {}；
(ii)V = Ker()Im()；
(iii)如果是V的一个线性变换，那么Ker()和Im()都在之下不变的充要条件是．
4．设是向量空间V的一个位似（即单位变换的一个标量倍）．证明，V的每一个子空间都在之下不变．
5．令S是数域F上向量空间V的一些线性变换所成的集合．V的一个子空间W如果在S中每一线性变换之下不变，那么就说W是S的一个不变子空间．S说是不可约的，如果S在V中没有非平凡的不变子空间，设S不可约，而是V的一个线性变换，它与S中每一线性变换可交换。证明或者是零变换，或者是可逆变换．[提示：令W = Ker.证明W是要的一个不变子空间．]
§7.5 本征值和本征向量
1．求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量：
(i) ； (ii) ；(iii) ．
2．证明：对角形矩阵
与
相似必要且只要b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列．
3．设
A =
是一个实矩阵且ad–bc = 1 ．证明：
(i) 如果| trA |>2，那么存在可逆实矩阵T，使得
T-1AT = ．
这里且，1，-1．
(ii) 如果| trA | = 2且A，那么存在可逆实矩阵T，使得
T-1AT = 或.．
(iii) 如果| trA | < 2则存在可逆实矩阵T及，使得
T-1AT = ．
[提示] 在(iii)，A有非实共轭复特征根=1.将写成三角形式．令是A的属于的一个特征向量，计算A和A．
4．设a，b，c．令
A=，B=，C=．
(i) 证明，A，B，C彼此相似；
(ii) 如果BC=CB，那么A，B，C的特征根至少有两个等于零．
5．设A是复数域C上一个n阶矩阵．
(i) 证明：存在C上n阶可逆矩阵T使得
T-1AT =．
(ii) 对n作数学归纳法证明，复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵

相似，这里主对角线以下的元素都是零．
6．设A是复数域C上一个n阶矩阵，是A的全部特征根（重根按重数计算）．
(i) 如果f (x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f (是f(A)的全部特征根．
(ii) 如果A可逆，那么，并且是A-1的全部特征根
7．令
A =
是一个n阶矩阵。
(i) 计算．
(ii) 求A的全部特征根．
8．是任意复数，行列式
D =
叫做一个循环行列式，证明：
D = ，
这里，而是全部n次单位根．[提示：利用6.7两题的结果．]
9．设A，B是复数域上n阶矩阵．证明，AB与BA有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同．[提示：参看5.3习题2．]
§7.6 可以对角化的矩阵
1．检验7.5习题1中的矩阵哪些可以对角化．如果可以对角化，求出过渡矩阵T．
2．设 ，
求A10．
3．设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．令是的两两不同的本征值，是属于本征值的本征子空间．证明，子空间的和是直和，并在之下不变．
4．数域F上n维向量空间V的一个线性变换叫做一个对合变换，如果2 =ι,ι,是单位变换，设是V的一个对合变换，证明:
(i) 的本征值只能是；
(ii) V = V1，这里V1是的属于本征值1的本征子空间，V是的属于本征值 –1 的本征子空间．[提示：设]
5．数域F上一个n 阶矩阵A叫做一个幂等矩阵，如果,设A是一个幂等矩阵.证明：
(i)I + A 可逆，并且求．
(ii)秩A + 秩 [提示：利用7.4，习题3 (ii)．]
6．数域F上n维向量空间V的一个线性变换叫做幂零的，如果存在一个自然数m使m = 0.证明：
(i) 是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零；
(ii) 如果一个幂零变换可以对角化，那么一定是零变换．
7．设V是复数域上一个n维向量空间，S是V的某些线性变换所成的集合，而是V的一个线性变换，并且与S中每一线性变换可交换，证明，如果S不可约 (参看7.4，习题5)，那么一定是一个位似． [提示：令是的一个本征值，考虑的属于的本征子空间，并且利用7.4，习题5的结果．]
8．设是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换，令是的全部本征值．证明，存在V的线性变换，使得
(i) ；
(ii)
(iii)
(iv)
(v) 的属于本征值的本征子空间，
9．令V是复数域C上一个n维向量空间，，是V的线性变换，且．
(i) 证明，的每一本征子空间都在之下不变；
(ii) 与在V中有一公共本征向量．
第九章 欧氏空间
§9.1向量的内积
1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量,以下等式成立:
(1)；
(2)
在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?
2．在区氏空间里,求向量与每一向量
,
的夹角.
3．在欧氏空间里找出两个单位向量,使它们同时与向量

中每一个正交.
4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．
5．设是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:
(勾股定理)
6．设都是一个欧氏空间的向量,且是的线性组合.证明,如果与正交,,那么.
7．设是欧氏空间的个向量.行列式

叫做的格拉姆(Gram)行列式.证明=0,必要且只要线性相关.
8．设是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:
和都是的整数.
证明:的夹角只可能是.
9.证明:对于任意实数,
).
§9.2 正交基
1．已知
,
,
是的一个基.对这个基施行正交化方法,求出的一个规范正交基．
2．在欧氏空间里,对于线性无关的向量级{1,,,}施行正交化方法,求出一个规范正交组．
3．令是欧氏空间V的一组线性无关的向量,是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即

4．令是维欧氏空间V的一个规范正交基,又令

K叫做一个-方体.如果每一都等于0或1,就叫做K的一个项点.K的顶点间一切可能的距离是多少?
5．设是欧氏空间V的一个规范正交组.证明,对于任意,以下等式成立:
.
6．设V是一个维欧氏空间.证明
如果W是V的一个子空间,那么.
如果都是V的子空间,且,那么
如果都是V的子空间,那么
7．证明,中向量到平面

的最短距离等于
．
8．证明,实系数线性方程组

有解的充分且必要条件是向量与齐次线性方程组

的解空间正交.
9．令是维欧氏空间V的一个非零向量．令
．
称为垂直于的超平面,它是V的一个维子空间.V中有两个向量,说是位于的同侧,如果同时为正或同时为负.证明,V中一组位于超平面同侧