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泊松方程
泊松方程（英语：Poisson's equation）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
泊松方程为

在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和φ可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成

在三维直角坐标系，可以写成

如果没有，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。
静电学
在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。在国际单位制（SI）中：

此代表电势（单位为伏特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而是真空电容率（单位为法拉/米）。
如果空间中有某区域没有带电粒子，则

此方程就变成拉普拉斯方程：

[编辑] 高斯电荷分布的电场
如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度 ：

此处，Q代表总电荷
此泊松方程： 的解Φ(r)则为

erf(x)代表的是误差函数.
注意：如果r远大于σ，erf(x)趋近于1，而电场Φ(r)趋近点电荷电场 ；正如我们所预期的。
[编辑] 参阅
· 离散泊松方程
[编辑] 参考资料
· Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
· L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
· A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9