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和绝对值有关的问题
一、 知识结构框图：

数

二、 绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
也可以写成：
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、 典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）
A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：，，且， 那么
的值（ C ）
A．是正数　　　　B．是负数　　　C．是零　　　D．不能确定符号
解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：
所以

分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解：设甲数为x，乙数为y
由题意得：，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6
若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6
（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12
若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12

例4．（整体的思想）方程 的解的个数是（ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2015看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。

例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．

分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2
于是

在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，有兴趣的同学可以在课下继续探究。
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等 .
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
可以表示为 ．
分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？
结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。

当x<-1时，距离为-x-1, 当-1<x<0时，距离为x+1， 当x>0，距离为x+1
综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为
（3）结合数轴求得的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值范围为 -3≤x_≤2______.
分析：即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。
即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。
如图，x在数轴上的位置有三种可能：

图1 图2 图3
图2符合题意
（4） 满足的的取值范围为 x<-4或x>-1
分析： 同理表示数轴上x与-1之间的距离，表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1。
说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。
四、 小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性
2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用

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