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瑞利衰落下空时分组编码信道的容量
　　　　　　　　　　　　　　　　　罗 涛②佟学俭②乐光新④
　　[摘要]本文在分析瑞利衰落下正交空时分组码接收信噪比的基础上，得到了正交空时分组编码信道容量的表达式，并给出了在接收天线数一定的情况下，增加发送天线数所能得到的信道容量的上界。研究表明，在发送天线数一定时，瑞利衰落下正交空时分组编码信道的容量随接收天线数的增加而增加。在接收天线数一定时，信道容量也随着发送天线数的增加而增加，但当发送天线数增加到一定数量时会出现地板效应。　　　　　　　　　
关键词：信道编码；空时分组码；分集技术；信道容量
中图分类号：TN911.22 文献标识码：A
一、引 言
　　1998年，Tarokh等人在Telatar对多发送多接收天线信道容量研究的基础上，提出了空时编码的概念。该编码把天线分集、信道编码和调制有机地结合在一起，有效地提高了系统在衰落信道下的传输性能。这一技术提出后，受到了许多研究者的关注，已经得到了一些有意义的结果。ALamouti提出了一种简单的分集方法，采用两副天线发送、一副天线接收，获得与一副天线发送、两副天线接收相同的分集增益。Tarokh等在ALamouti工作的基础上，将正交编码的方法结合这种简单的分集技术，提出了正交空时分组码并研究了其编码和译码方法。本文将在正交空时分组码接收信噪比研究的基础上，推导出瑞利衰落下空时分组编码信道容量的表达式。数值计算表明，在发送天线数一定的条件下，瑞利衰落下正交空时分组编码信道的容量随接收天线数的增加而增加。在接收天线数一定的条件下，信道容量也随发送天线数的增加而增加，但当发送天线数增加到一定数量后信道容量的增加就不明显了。
二、系统模型及接收信噪比的计算
　　考虑副发送天线、副接收天线的无线传输系统。设 为第副发送天线到第副接收天线的衰落系数。假设需要传送的信息符号序列为，采用列正交编码矩阵 　

并按行发送，在个时刻内完成一个编码码字的发送。中元素表示时刻第副发送天线所发送的信号， 的线性组合。
　　记(上标“”表示对矩阵求转置)为第副接收天线的接收矢量，表示关于第副接收天线的信道矢量，为第副接收天线接收的复白高斯噪声矢量。设复噪声每维噪声方差为/2。为信号矢量。假定在传送一个分组码的时间内(＝1，2，…，)信道参数恒定。这样，系统的第副接收天线的接收矢量可以表示为
　　　　　　　　　　　　 　　　　　　(1)
式中称为第副接收天线的信道矩阵，表示为
　　　　　　　　　　　　　　　(2)
假设信道已经准确地估计出来。可以利用判决准则
　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)
分离出条独立的输出支路 ，每条输出支路可独立进行译码。
　　　　　(4)
假设各发送符号等能量发送，则在发送信号序列()的总能量

限定的情况下，各输出支路的接收信噪比为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)
式中，定义，表示平均每个符号发送的能量。
四、瑞利衰落信道下正交空时分组编码信道的容量
　　在加性白高斯噪声(AWGN)下，由(5)式得到瑞利衰落下空时分组编码信道(一个空时分组码码字时间内，即共个时刻)的瞬时信道容量为
　　　　　　(6)
式中为复信道，设是方差为1的零均值独立高斯随机变量，则服从瑞利分布，于是(6)式的瑞利衰落下空时编码信道的瞬时信道容量可改写为　　　(7)
令 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8)
则为服从分布的随机变量，其概率密度函数为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9)
所以，平均信道容量为 　　 　　　　　　　(10)
注意到每维的方差为0.5，应有
　　　　　　　 　　　　　　(11)
直接计算(11)式的积分很困难，现采用数值计算的方法对其进行分析。
　　我们先看发送天线数一定时，信道容量与接收天线数之间的关系。
　　图1(a)给出的是发送天线数＝1时，信道容量的数值与接收天线数之间的关系(SNR由0dB开始依间隔5dB增加)；图1(b)为信道容量与发送信噪比SNR的关系(由1开始依间隔1增加)。由图1知：在发送天线数一定时，信道容量随接收天线数的增加而增加，且在接收天线数较小时增加较快，随着接收天线数的增大容量的增加逐渐变缓。理论上，信道容量随接收天线数的增加会不断增加，但实际系统中是不可能无限增加下去的。由图1(b)知，要得到相同的信道容量，采用两副接收天线的系统比采用一副接收天线的系统需要的发送功率可减少约3到5dB。

　　　　图1 发送天线数n＝1时，信道容量C与接收天线数m及发送信噪比SNR的关系

　　　　　　　　图2 接收天线数 m＝1时，信道容量C与发送天线数n及发送信噪比SNR的关系
　　下面我们看接收天线数一定时，信道容量与发送天线数之间的关系。图2(a)给出的是接收天线数＝1时，信道容量与发送天线数之间的关系(SNR由0dB开始依间隔5dB增加)；图2(b)为信道容量与发送信噪比SNR的关系(由1开始依间隔1增加)。由图2知：在接收天线数一定的条件下。信道容量随发送天线数的增加而增加，且在发送天线数较小时增加较快，但当发送天线数增加到一定程度时(图2中近似为4)，信道容量几乎不再增加。事实上当→∞时，根据大数定理，相当于每个子信道的发送信噪比乘以接收天线数，得到接收天线数一定时信道容量的上限为
　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　(12)
　　由图2(b)知，要得到相同的信道容量，采用两副发送天线的系统比采用一副发送天线的系统需要的发送功率可减少约1到2dB。
四、结束语
　　本文在分析瑞利衰落下正交空时分组码接收信噪比的基础上，得到了正交空时分组编码信道容量的数学表达式，并给出了在接收天线数一定的情况下，增加发送天线数所能得到的信道容量的上界。在发送天线数一定时，瑞利衰落下正交空时分组编码信道的容量随接收天线数的增加而增加。在接收天线数一定时，信道容量也随发送天线数的增加而增加，但当发送天线数增加到一定数量时容量的增加就变得不十分明显了。
参考文献
[ 1 ] I . E. Telatar. Capacity of Multi - Antenna Gaussian Channels[ R] . Technical report . AT &T Bell LaboratTries Internal Technical Memorandum , June 1995 .
[ 2] v. Tarokh . N.Seshadri and A. R.Calderbank . Spacetime codes for high data rate wireless communication :performance criterion and code constnlction [ J ] . IEEE Trans. on I .T. . 1998 .44(2) :744 "765 [ 3 ] S . M.Alamouti . A simple transmit diversity technique for wireless communications[ J ] . IEEE Journal on selectedareas in communications. 1998 . 16(8) :1451 " 1458 .
[ 4] V. Tarokh , H .Jafarkhani and A. R.Calderbank . Spacetime block codes from orthogonal designs [ J ] . IEEET,ans. on I.T.. 1999.45(5) :1456-1467.