概率练习经典.doc

第三章 概 率
基础知识：
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

全国各地高考及模拟试卷试题分类----------概率
选择题
1．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是 （ B ）
A． B． C． D．
2．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概
率是 （ D ）
A． B. C. D.
3．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是,那么至少有1人解对的概率
是 （ D ）
A. B. C. D.
4．从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率
是 ( B )
A. B. C. D.
5．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和
为偶数的概率是 （ C ）
A、 B、 C、 D、
6．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名
女生的概率是 （ C ）
A． B． C． D．
7．已知P箱中有红球1个，白球9个，Q箱中有白球7个，（P、Q箱中所有的球除颜色
外完全相同）．现随意从P箱中取出3个球放入Q箱，将Q箱中的球充分搅匀后，再
从Q箱中随意取出3个球放入P箱，则红球从P箱移到Q箱，再从Q箱返回P箱中的
概率等于 （ B ）
A． B． C． D．
C9 2/C10 3 乘以C9 2/C10 3
8．已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A中任取一个元素
用ai(i=1，2，3，4，5)表示，在B中任取一个元素用bj(j=1，2，3，4，5)表示，则
所取两数满足ai>bI的概率为（ B ）
A、 B、 C、 D、
9．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随
机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ B ）直径有5个
A. B. C. D.
10．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽
出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 ( C )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
11．甲、乙独立地解决 同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的
概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（ D ）
A、0.48 B、0.52 C、0.8 D、0.92

填空题
1．纺织厂的一个车间有n（n>7，n∈N）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n，该车
间有技术工人n名，编号分别为1，2，3，……，n．现定义记号如下：如果第i名
工人操作了第j号织布机，此时规定=1，否则=0．若第7号织布机有且仅有一人
操作，则 1 ；若，
说明了什么： 第三名工人操作了2台织布机 ；
2．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一
人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览的概率为
.(用分数表示)
3．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾
客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5
个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是_______．
4．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x名（3≤x≤9），现从中选出
3人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为f(x),则f(x)max= _ _

解答题
1．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投
中相互之间没有影响，求：
（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；
（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．
解：
（1）P1=0.6（1－0.7）+（1－0.6）0.7=0.46． 6分
（2）P2=［0.6（1－0.6）］·［（0.7）2（1－0.7）0］=0.2352． 12分
2．工人看管三台机床，在某一小时内，三台机床正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85，
且各台机床是否正常工作相互之间没有影响，求这个小时内：
（1）三台机床都能正常工作的概率；
（2）三台机床中至少有一台能正常工作的概率．
解：（1）三台机床都能正常工作的概率为P1=0.9×0.8×0.85=0.612． 6分
（2）三台机床至少有一台能正常工作的概率是
P2=1－（1－0.9）（1－0.8）（1－0.85）=0.997． 12分
3．甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8．
（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；
（2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率．
解：设甲投中的事件记为A，乙投中的事件记为B，
（1）所求事件的概率为：
P=P（A·）+P（·B）+P（A·B）
=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8
=0.94． 6分
（2）所求事件的概率为：
P=C0.72×0.3×C0.8×0.22=0．042336． 12分
4．沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方
通过（绿灯亮通过）的概率分别为，，，对于在该大街上行驶的汽车，
求：（1）在三个地方都不停车的概率；
（2）在三个地方都停车的概率；
（3）只在一个地方停车的概率．
解：（1）P=××=． 4分
（2）P=××= 8分
（3）P=××+××+××=． 12分
5．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动．已知开关第一次闭合后，出现红灯和
出现绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯
的概率是，出现绿灯的概率是，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，
出现绿灯的概率是．问：
（1）第二次闭合后，出现红灯的概率是多少？
（2）三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少？
解：（1）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是×，
如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为×．
∴第二次出现红灯的概率为×+×=． 6分
（2）由题意，三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的情况共有如下三种方式：
①出现绿、绿、红的概率为××；
②出现绿、红、绿的概率为××；
③出现红、绿、绿的概率为××； 10分
所求概率为××+××+××=． 12分
6．袋内装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码n的球重－5n+15
克，这些球以等可能性从袋里取出（不受重量、号码的影响）．
（1）如果任意取出1球，试求其重量大于号码数的概率；
（2）如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率
解：（1）由不等式－5n+15>n，得n>15，或n<3．
由题意，知n=1，2或n=16，17，…，35．于是所求概率为． 6分
（2）设第n号与第m号的两个球的重量相等，其中n<m，则有－5n+15=－5m+15，
∴（n－m）（n+m－15）=0，
∵n≠m，∴n+m=15， 10分
∴（n，m）=（1，14），（2，13），…，（7，8）．
故所求概率为． 12分

7．口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出２个球，
若是同色的概率为 ，求：
(1) 袋中红色、白色球各是多少？

(2) 从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少？
解：（1）令红色球为x个，则依题意得, （3分）
所以得x=15或x=21，又红色球多于白色球，所以x=21．所以红色球为２１个，白色球为１５个．　　　　　　　　　　　　　 （ 6分）
（2）设从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的事件为A，均为白色球的事件为B，
则P（B）=1－－P（A）＝　＝ （12分）
8．加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为
，且各道工序互不影响
（1）求该种零件的合格率
（2）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率
（3）假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率
（用最简分数表示结果）
解：（1）该种零件合格率为
（2）该种零件的合格率为，则不合格率为，从加工好的零件中任意取3个，
至少取到2件合格品的概率
（3）恰好连续2次抽到合格品的概率

9．同时抛掷15枚均匀的硬币一次
(1)试求至多有1枚正面向上的概率；
(2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?
请说明理由.
解: （1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A，P（A）=，
抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，
根据几次独立重复试验中事件A发生K次的概率公式，
记至多有一枚正面向上的概率为P1
则P1= P15（0）+ P15（1）=+=
（2）记正面向上为奇数枚的概率为P2，则有
P2= P15（1）+ P15（3）+…+ P15（15）=++…+
=+…+)–
又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚” 的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚” 的事件的概率为P3
P3=1–= 相等

C
D
B
A

M
10．如图，用表示四类不同的元件连接成系统.当元件至少有一个正常工作且元件至少
有一个正常工作时，系统正常工作.已知
元件正常工作的概率依次为0.5，
0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系统正常
工作的概率.
解：由A，B构成系统F，由C，D构成系统G，
那么系统F正常工作的概率
，系统G正常工作的概率为，
由已知，得，故系统M正常工作的概率为0.752.

11．有一批种子，每粒发芽的概率为，播下5粒种子，计算：
（Ⅰ）其中恰好有4粒发芽的概率； （Ⅱ）其中至少有4粒发芽的概率；
（Ⅲ）其中恰好有3粒没发芽的概率. （以上各问结果均用最简分数作答）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
12．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.
（1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出一个黑球.
解： （Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A、B，
则
∵A、B为两个互斥事件 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）=
即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为…………6分
（Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C，则
P（C）=至少摸出一个黑球为事件C的对立事件
其概率为………………12分
13．2005年江苏省普通类高校招生进行了改革，在各个批次的志愿填报中实行平行志愿，
按照“分数优先，遵循志愿”的原则进行投档录取．例如：在对第一批本科投档时，
计算机投档系统按照考生的5门高考总分从高到低逐个检索、投档．当检索到某个考
生时，再依次按考生填报的A、B、C三个院校志愿进行检索，只要被检索到3所院校
中一经出现符合投档条件的院校，即向该院校投档，假设一进档即被该院校录取．张
林今年的高考成绩为600分（超过本一线40分），他希望能上甲、乙、丙三所院校中
的一所．经咨询知道，张林被甲校录取的概率为0.4，被乙校录取的概率为0.7，被丙
校录取的概率为0.9．如果张林把甲、乙、丙三所院校依次填入A、B、C三个志愿，求： (Ⅰ) 张林被B志愿录取的概率；
(Ⅱ) 张林被A、B、C三个志愿中的一个录取的概率．
解：记“张林被志愿录取”为事件，“张林被志愿录取”为事件，“张林被志愿录取”为事件．……………………………………………………1分
(Ⅰ) 由题意可知，事件发生即甲校不录取张林而乙校录取张林．
∴．………… ………………………6分
(Ⅱ) 记“张林被、、三个志愿中的一个录取”为事件．由于事件、、中任何两个事件是互斥事件，…… …………………………7分
且… ……9分
∴．
方法2：
(Ⅱ) 记“张林被、、三个志愿中的一个录取”为事件．由于事件的对立事件是“张林没有被、、三个志愿中的一个录取”． ……7分
∴… ………………10分
．… …………………11分
答：张林被志愿录取的概率为0.42；张林被、、三个志愿中的一个录取的概率为0.982．…… ……………………………………12分
14．平面直角坐标系中有两个动点A、B，它们的起始坐标分别是(0,0)，(2,2)，动点A、B
从同一时刻开始每隔1秒钟向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位，
已知动点A向左、右移动的概率都是，向上、下移动的概率分别是和p，动点B
向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位的概率都是q．
（Ⅰ）求p和q的值；
（Ⅱ）试判断最少需要几秒钟，动点A、B能同时到达点D（1，2），并求在最短时间内
同时到达点D的概率 ．
解：（Ⅰ）由于质点A向四个方向移动是一个必然事件，…………………………2分
所以，所以． ………………………………4分
同理可得． ……………………………………………………6分
（Ⅱ）至少需要3秒可以同时到达点D． ……………………………………8分
经过3秒钟，点A到达点D的概率为3p右p上p上=． ……………………10分
经过3秒钟，点B到达点D的概率为． ……………………12分
所以，经过3秒钟，动点A、B同时到达点D的概率为．…14分
15．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使
，记
（1）求时的概率；
（2）若前两次均为正面，求时的概率。
解：（1），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为
则………………6分
（2）当同时出现正面时，要使，需后6次3次正面3次反面，设其概率为
………………12分
16．一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校共有5个交通岗，假设他在每个交通岗遇
到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇红灯的概率均为，其余3个交通岗遇红灯
的概率均为．
（Ⅰ）若，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过，求的取值范围．
解: （Ⅰ） 记该学生在第个交通岗遇红灯为事件（），它们相互独立，则
“这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯”为．
．
答: 该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为. 6分
注：本小问缺少事件命名、概型分析、答，各扣一分．
（Ⅱ）过首末两个路口，过中间三个路口分别看作独立重复试验．该学生至多遇到一次红灯指没有遇红灯（记为）或恰好遇一次红灯（记为），则与互斥．
， 7分
． 9分
该学生至多遇到一次红灯，为，
，
故，即，解得． 11分
又，所以的取值范围为. 12分
注：的取值范围写成不扣分．
17．高三（1）班、高三（2）每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛
规则是：① 按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ② 代表队中每名队员至少
参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛； ③ 先胜两盘的队获胜，比赛结束.
已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
（Ⅲ）高三（1）班代表队至少胜一盘的概率为多少？
解：解：（Ⅰ）参加单打的队员有种方法.
参加双打的队员有种方法. （2分）
所以，高三（1）班出场画容共有 （4分）
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜.所以，连胜两盘的概率为 （8分）
（Ⅲ）高三（1）班至少胜盘，可分为：
（1）胜一盘，此时的概率为 （9分）
（2）胜两盘，此时的概率为 （11分）
所以，高三（1）班至少胜一盘的概率为 （12分）
或：高三（1）班代表队至少胜一盘的对立事件为输掉前两盘 （10分）
所以，所求概率为 （12分）
19．为了支持三峡工程建设，某市某镇决定接受一批三峡移民，其中有3户 互为亲戚关
系,将这3户移民随意安置到5个村民组
① 求这3户恰好安置到同一村民组的概率
② 求这3户中恰好有2户安置到同一村民组的概率
解：①3户任意分配到5个村民组，共有53种不同分法，3户都在同一村民组共有5种方法，3户都在同一村民组的概率为，∴3户都在同一村民组的概率为0.04
②恰有2户分到同一村民组的结果有∴∴恰有2户分到同一
村民组的概率为0.48
20．某制药厂设甲、乙两个研究小组,独立研制治疗禽流感的新药物.
(1)设甲小组研制出新药物的概率为0.75，乙小组研制出新药物的概率为0.80，求甲、
乙两组均研制出新药物的概率；
(2)设甲、乙两组研制出新药物的概率相同。若该制药厂研制出新药物的概率为0.64，
求甲小组研制出新药物的概率.
解：(1）0.80×0.75=0.60……………………………………………5分
（2）设甲研制出的概率为P，1-（1-P）2=0.64………………10分
解得P=0.40……………………11分
答(1)甲、乙两组均研制出新药的概率为060；
(2)甲研制出的概率为0.40.……………12分
21．袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.
（I）求袋中所有的白球的个数；
（II）求甲取到白球的概率.
解：(I)设袋中原有个白球,由题意知

所以n(n-1)=6，解得(舍去)即袋中原有3个白球.
(II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5

因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,
则 P(A)=P(“=1”，或“=3”，或“=5”).
因为事件“=1”、“=3”、“=5”两两互斥，所以

22．在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜
甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；
第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：
（1）乙连胜四局的概率；
（2）丙连胜三局的概率．
解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：
第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；
第四局：乙对丙，乙胜．
　　所求概率为＝×＝＝0.09
　　∴　乙连胜四局的概率为0.09．
　　（2）丙连胜三局的对阵情况如下：
　　第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．
　　当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．
　　当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．
　　故丙三连胜的概率＝0.4××0.5＋（1-0.4）××0.6＝0.162．