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第五章 常微分方程

微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题.因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及理论.

一、 微分方程的基本概念

本节主要内容
1．微分方程的概念
2．微分方程解的概念
讲解提纲：
1 微分方程的概念
一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.
我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.
例1 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程
(1.1)
其中为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.
根据题意，还需满足条件
(1.2)
例2 设一质量为的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力等于物体的质量与物体运动的加速度成正比，即，若取物体降落的铅垂线为轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是，物体下落的距离与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程
(1.3)
根据题意，还需满足条件
(1.4)
其中为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.

本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：
(1.5)
其中为自变量，是未知函数.
如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程
(1.6)
以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数在所讨论的范围内连续.
如果方程(1.6)可表为如下形式：
(1.7)
则称方程(1.7)为阶线性微分方程. 其中 和均为自变量的已知函数.
不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.

满足微分方程的函数，就是说，把这个函数代入微分方程能使方程成为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数在区间上有阶连续导数，如果在区间上，有

则称函数为微分方程(1.5)在区间上的解.
2 微分方程的解
微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数。含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）。
注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.
许多微分方程都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.
带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 确定了微分方程的通解中的任意常数后，就得到了微分方程的特解.
微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.

例题选讲：
例3 一条曲线通过点(1，2),且在该曲线上任一点处的切线的斜率为2x，求这条曲线方程。
例4 已知函数是微分方程的通解, 求满足初始条件

的特解.
课堂练习
1．试指出下列微分方程的阶数.

二、 可分离变量的微分方程

本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.
本节主要内容
1．可分离变量微分方程
2．齐次方程
3．可化为齐次方程的微分方程
讲解提纲：
1 可分离变量的微分方程
设有一阶微分方程
,
如果其右端函数能分解成，即有
. (2.1)
则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.
2 齐次方程：形如
(2.2)
的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..
3 可化为齐次方程的方程：对于形如

的方程，先求出两条直线

的交点，然后作平移变换
即
这时，，于是，原方程就化为齐次方程

例题选讲：
例1 求微分方程的通解.
例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比. 已知t=0时铀的含量为M0, 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律.
例3 求初值问题的解：。
例4 解方程。
例5 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.
例6 求的通解.
例7 利用变量代换法求方程的通解.
课堂练习
1．求微分方程的通解.
2．求齐次方程的通解.

三、 一阶线性微分方程

本节主要内容
1．一阶线性微分方程及其解法
2．伯努利方程

讲解提纲：
1 一 阶线性微分方程
形如
(3.1)
的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数、是某一区间上的连续函数. 当方程(3.1)成为
(3.2)
这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.
方程(3.2)的通解
(3.3)
其中为任意常数.
求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数变易为待定函数，并设一阶非齐次方程通解为
(3.4)
一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为
(3.5)
2 伯努利方程：形如
(3.6)
的方程称为伯努利方程，其中为常数，且.
伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.6)两端除以，得

或
于是，令，就得到关于变量的一阶线性方程
.
利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.6)的通解

例题选讲：
例1 求方程的通解.
例2 求方程的通解.
例3 求方程满足初值条件的特解。
例4 求方程的通解。
例5 求方程的通解.
课堂练习
1．解方程.
2．求方程的通解。

四、 全微分方程

本节主要内容
1．全微分方程及其解法
2．积分因子

讲解提纲：
1 全微分方程
如果方程
(4.1)
的左端恰好是某个函数的全微分：

则称方程(4.1)为全微分方程. 此时，方程(4.1)可写成

因而

就是方程(4.1)的通解，其中为任意常数. 这样，求解方程(4.1)实质就归结为求全微分函数.
定理1 设开区域是一个单连通域，函数及在内具有一阶连续偏导数，则方程(4.1)为全微分方程的充分必要条件是在内处处成立
(4.2)
并且此时，全微分方程(4.1)通解为
(4.3)
或
(4.4)
其中是内任意一点.
2 积分因子法
如果方程
(4.5)
不是全微分方程，但在上述方程两端乘上因子后所得到的方程

是全微分方程，则称函数为方程(4.5)的积分因子.
根据上述定义，积分因子应满足下列条件：

一般说来，在一些比较简单的情形下，可利用观察法来求得积分因子，这种方法要求记住一些常见的全微分表达式， 如
；
；
； 等等.
而可选用的积分因子，有
，等等.

例题选讲：
例1 求方程的通解.
例2 求方程的通解.
课堂练习
1．求的通解。
2．用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解:

五、 可降阶的高阶微分方程

本节讨论三种特殊形式的微分方程，它们有的可以通过积分求解，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程。

本节主要内容
1．型
2．型
3．型
讲解提纲：
1 型
这种类型的方程，只要连续积分n次, 就可得这个方程的含有n个任意常数的通解.
2 型
这种方程的特点是不显含未知函数y，求解的方法是：
令 则，原方程化为以为未知函数的一阶微分方程，

设其通解为

然后再根据关系式 又得到一个一阶微分方程

对它进行积分，即可得到原方程的通解

3 型
这种方程的特点是不显含自变量x. 解决的方法是：把暂时看作自变量，并作变换 于是，由复合函数的求导法则有

这样就将原方程就化为

这是一个关于变量y、p的一阶微分方程. 设它的通解为

这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解

例题选讲：
例 1 求方程满足的特解.
例2 质量为的质点受力的作用沿轴作直线运动. 设力仅是时间的函数: 在开始时刻时 随着时间的增大, 此力均匀的减少, 直到时, 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.
例3 求初值问题的特解。
例4 求初值问题的解。

课堂练习
1．求方程的通解
2．求方程的通解。
3．求方程的通解。
六、 高阶线性微分方程

本节主要内容
1．函数的线性相关与线性无关
2．二阶线性微分方程的概念
3．二阶线性微分方程的解的性质
4．*常数变易法

讲解提纲：
1 二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程的一般形式是
， (6.1)
其中、及是自变量的已知函数，函数称为方程(6.1)的自由项. 当时, 方程(6.1)成为
， (6.2)
这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(6.1)称为二阶非齐次线性微分方程.
定理1 如果函数与是方程(6.2)的两个解, 则
(6.3)
也是方程(6.2)的解，其中是任意常数.
定理2 如果与是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则

就是方程(6.2)的通解，其中是任意常数.
定理3 设是方程(6.1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(6.2)的通解，则
(6.4)
就是二阶非齐次线性微分方程(6.1)的通解.
定理4 设与分别是方程

与
的特解，则是方程
(6.5)
的特解.
定理5 设是方程
(6.6)
的解，其中为实值函数，为纯虚数. 则与分别是方程

与
的解.
2 常数变易法
在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.
设有二阶非齐次线性方程
(6.10)
其中在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程

的通解已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.
设非齐次方程(6.10)具有形如
(6.11)
的特解, 其中是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数.

例题选讲：
例1 已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：
（1）求此方程的通解；
（2）写出此微分方程；
（3）求此微分方程满足的特解.
例2 求方程的通解.

课堂练习
1．下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的?

2．验证y1=x与y2=ex是方程(x-1)y¢¢-xy¢+y=0的线性无关解, 并写出其通解.

七、 常系数齐次线性微分方程

二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求得二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解. 本节和下一节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其解法. 本节先讨论二阶常系数齐次线性微分方程及其解法.

本节主要内容
1．二阶常数系数齐次线性方程的解法
2．阶常数系数线性微分方程的解法

讲解提纲：
1 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式

(7.1)
特征方程 (7.2)
称特征方程的两个根为特征根.

2 n阶常系数齐次线性微分方程的解法
阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
(7.3)
特征方程为
(7.4)
根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:

注: n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到阶常系数齐次线性微分方程的通解为

例题选讲：
例1 求通解
(1)
(2)
(3)
例2 求的通解.

课堂练习
1．求方程的通解。
2．求的解。
八、 二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为
(8.1)
根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(8.1)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(8.1)的通解. 上节我们已经解决了其对应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程(8.1)的一个特解.
方程(8.1)的特解的形式与右端的自由项有关，如果要对的一般情形来求方程(8.1)的特解仍是非常困难的，这里只就的两种常见的情形进行讨论.
1．，其中是常数，是的一个次多项式：；
2．或，其中，是常数，是的一个次多项式.
本节主要内容
1．型
2．型
讲解提纲：
1 型
当时，二阶常系数非齐次线性微分方程(8.1)具有形如
(8.2)
的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
2 或型
即要求形如
(8.3)
(8.4)
两种方程的特解.
由欧拉公式知道，和分别是

的实部和虚部.
我们先考虑方程
. (8.5)
这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过. 假定已经求出方程(8.5)的一个特解，则根据第六节的定理5知道，方程(8.5)的特解的实部就是方程(8.3)的特解，而方程(8.5)的特解的虚部就是方程(8.4)的特解.
例题选讲：
例1 下列方程具有什么样形式的特解?
(1)
(2)
(3)
例2 求方程的一个特解.
例3 求方程的通解。
例4 求方程的一个特解。

课堂练习
1．求微分方程的通解.
2．求微分方程的通解.
九、 欧拉方程

变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的. 欧拉方程是特殊的变系数线性微分方程，可以通过变量替换化为常系数的线性微分方程，因而容易求出其解。

本节主要内容

欧拉方程

讲解提纲：
欧拉方程
形如
(9.1)
的方程称为欧拉方程, 其中为常数.
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同.
作变量替换 或
将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(9.1)化为以t为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t换为lnx, 即得到原方程的解.
如果采用记号D表示对自变量t求导的运算 则上述结果可以写为
，
，
一般地，有
. (9.2)
例题选讲：
例1 求欧拉方程的通解。
课堂练习
1.求微分方程的通解.
十、 微分方程的幂级数解法

本节主要内容
1．一阶微分方程的幂级数解法
2．二阶齐次线性方程幂级数解法
讲解提纲：
1 一阶微分方程的幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时, 就要寻求其它求解方法, 尤其是近似求解方法, 常用的近似求解方法有幂级数解法等。
问题 求 (10.1)
满足的特解, 其中

解法 假设所求特解可展开为的幂级数
(10.2)
其中为待定的系数. 将(10.2)代入(10.1)中, 得到一恒等式, 比较恒等式两端的同次幂的系数, 就可定出常数以这些常数为系数的幂级数(b)在其收敛区间内就是方程(10.1)满足初始条件的特解.
2 二阶齐次线性方程幂级数解法
定理 若方程中的系数与可在内展为x的幂级数, 则原方程必有如下的幂级数解:
.
解法 设解为 , 将,,展开为的幂级数, 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.

例题选讲：
例1 求满足的特解.
例2 求方程的解.
例3 求解勒让德(Legendre)方程 (n为常数).

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