比例加载判定定理.doc

比例加载判定定理
静顶梁和超静定梁的破坏形式较易确定，而对其它超静定结构由于出现的破坏形式较多，采用前面的方法求极限荷载是困难的。下面介绍比例加载情况下有关极限荷载的几个定理，并作如下假定：
（1） 结构的变形与结构的原始尺寸相比小得多，建立平衡方程时，采用原始尺寸计算
（2） 结构由理想弹塑性材料组成，杆件横截面正、负极限弯矩的绝对值相等，塑性铰的转角与极限弯矩的方向一致，且忽略轴力、剪力对极限弯矩的影响。
比例加载时确定极限荷载的三个基本定理
定理一、极小定理（上限定理）
对于比例加载的给定结构，按照其各种可能的破坏形式，由平衡条件求得相应于每一种可能的破坏形式的荷载（记为P+ ）中的最小值，就是极限荷载。即，Pu≤P+
换句话说，可破坏荷载的最小值就是极限荷载的上限值。
定理二、极大定理（下限定理）
对于比例加载的给定结构，在各种静力下，使结构具有安全的弯矩分布状态情况下所求得的相应荷载（称为可接受荷载，记为P-）中的最大值，就是极限荷载。即，Pu≥P-
换句话说，可接受荷载中的最大值就是极限荷载的下限值。
定理三、单值定理（唯一性定理）
对于比例加载的给定结构，若按平衡条件所求得的某一荷载既是可破坏的，又是可接受的，那么，这一荷载就是极限荷载。而且是唯一确定的。
换句话说，如果所求得的荷载同时满足：平衡条件、屈服条件及单线机构条件，则，它就是极限荷载。
定理的证明：
预备定理：可破坏荷载P+≥可接受荷载P –
证明：设结构在任一可破坏荷载P+作用下，成为某一单向机构，含有n个塑性铰。令此机构有一虚位移，则由虚位移原理：
-----------------------------（1）
式中的，表示第i个塑性铰处的极限弯矩和相对转角。
根据单向机构条件，为正值，且P+与Δ均为正值。（1）式可写为：
-----------------------------（2）
再设结构在任一可接受荷载P –作用下，其相应弯矩图为M - ，使这一平衡力系发生上述的机构虚位移，则由虚位移原理：
-----------------------------（3）
式中，是图中第i个塑性铰处的弯矩。
根据屈服条件：≤ 得：
≤ ，由（2）、（3）两式有，
≤ ，由于Δ为正值，故，得
P+≥P – ---------------------（4）
定理一的证明：
由于极限荷载Pu是可接受荷载，由（4）式可得：Pu≤ ，即极小值定理。
定理二的证明：
由于极限荷载Pu是可破坏荷载，由（4）式可得：Pu≥ ，即极大值定理。
定理三的证明：
设存在两种极限内力状态，相应的极限荷载分别为Pu1与Pu2 。
由于每个极限荷载既可看作可破坏荷载，又可看作可接受荷载，所以，
若把Pu1看作可破坏荷载，把Pu2看作可接受荷载，则由（4）式得：Pu1≥Pu2
若把Pu2看作可破坏荷载，把Pu1看作可接受荷载，则由（4）式得：Pu2≥Pu1
故而，有：Pu1=Pu2 ，即证明了极限荷载的唯一性，即单值定理。

例1．求图示等截面梁的极限荷载，已知，梁截面的极限弯矩为Mu 。
P 1.2P
A B C
D E
L/2 L/2 L/3 2L/3

解：取第一跨的破坏机构如图

P+ 1.2P+
A B Mu C
E
Mu
相应的弯矩图：
Mu

ME
Mu
此机构相应的破坏荷载可按弯矩图求得：

由第一跨中点的弯矩
得：
同理，求得截面E的弯矩ME ==< Mu
上述计算表明，各截面弯矩值的绝对值都不超过极限弯矩Mu ，所以，既是破坏荷载，又是可接受荷载。根据单值定理，就是极限荷载。即，

例2．设有一n跨连续梁，每跨各为等截面，单各跨的横截面可以相同，也可以不相同。试证明，此连续梁的极限荷载，就是每个单跨破坏机构相应的可破坏荷载中的最小者。
证明：设
则，由定义，是破坏荷载，现证明它也是可接受荷载。
令n跨连续梁各支座处的弯矩都是（若相邻两跨的Mu不相等，取其较小者），则由平衡条件即可求出在作用下各跨的弯矩图。由于是单跨破坏机构相应的可破坏荷载中的最小者，故，此弯矩图中任意截面的弯矩都不超过Mu 。例如下图示所示的弯矩情形是可能的。
Mu Mu

≤Mu ≤Mu ≤Mu
这就说明，也是可接受荷载。根据唯一性定理，就是极限荷载。
例3．图示一端固定、一端铰支的等截面梁AB，其正、负弯矩的极限值都是Mu ，均布荷载q逐渐增加。求极限荷载qu 。
q

A B
L

解：梁的破坏机构如图所示。一个塑性铰在A截面是显然的，设另一塑性铰在距B端x处。

B
A θA Δ θB

Mu
L-x x

现用极小值定理来确定x及极限荷载。
由虚位移原理，=
式中， ， 代入得：

因为极限荷载是中最小者，故对上式求导，得：
，从而，

注：虚位移原理中，左边第一项如下求得：

s ds dt t
Δs/（L-x） Δt/x
Δ

外力虚功： + =