计算方法期中测试(二)答案.doc

期中测试（下）
班级： 姓名： 学号： 分数：
一、填空题（20分）
1、计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得近似值为 0.4268 ，用辛普森公式计算求得的近似值为 0.4309，

梯形公式的代数精度为 1 ，辛普森公式的代数精度为 3 。
2、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有 5 次代数精度。
3、求积公式的代数精度以 Gauss型 求积公式为最高，具有 2n+1 次代数精度。
4、数值积分公式的代数精度为 2 。
5、求解一阶常微分方程初值问题的改进欧拉公式为
，是 2 阶方法。
二、选择题（6分）
1、舍入误差是( A )产生的误差。
A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值
2、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。
A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入
3、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。
A．控制舍入误差 B． 减小方法误差 C．防止计算时溢出 D． 简化计算
4、求解初值问题欧拉法的局部截断误差是( A )；中心欧拉法的局部截断误差是( B )；
改进欧拉法的局部截断误差是( B )；四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( D )
A. B. C. D.
三、计算题（64分）
1、（10分）试分别推导复化梯形和复化辛普森求积公式。
证明：以积分为例。将积分区间做等分，步长。
（一）复化梯形求积公式
在区间内应用梯形公式得：

从而有
；
故
（二）复化辛普森求积公式
在区间内应用辛普森公式得：

从而有

此时，，故将带入上式可得

2、(10分) 求A、B使求积公式的代数精度尽量高, 并求其代数精度；利用此公式求 (保留4位小数)。
解：是精确成立，即
得
求积公式为
当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。

3、(12分) 取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算积分的近似值（保留4位小数）。
解：5个点对应的函数值
xi
0
0.5
1
1.5
2
f(xi)
1
0.666667
0.333333
0.181818
0.111111
(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：

~=0.8687
（2）复化辛普森公式（n=2,h=2/2=1）：

~=0.8620
4、(12分) 用龙贝格方法计算积分的近似值（误差满足，保留4位小数）。
解：T = 0.7468
R = 0.6839 0 0
0.7314 0.7472 0
0.7430 0.7469 0.7468

5、(20分) 对于一阶微分方程初值问题，取步长，分别用Euler预报－校正法和经典的四阶龙格--库塔法求的近似值。（在用经典的四阶龙格—库塔法求解时请写出的表达式及值）
解：Euler预报－校正法

经典的四阶龙格—库塔法

()
四、选做题（10分）
用显式欧拉方法求在点处的近似值（取步长h=0.1）。
解：等价于
()
记,取
则由欧拉公式
,
可得 0.4717

五、(6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
(6分)，n=0,1,2,…
∴ 对任意的初值,迭代公式都收敛。
一、 用龙贝格求积公式计算积分的近似值，要求收敛精度