第二篇第四章(第八章)弯曲强度.doc

第八章 弯曲强度
第一节 引言
几个概念：
1.弯曲：杆件在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下，其轴线将由直线变成曲线，即发生弯曲变形，这种受力与变形形式称为弯曲。
2.梁：主要发生弯曲变形的杆件通常称为梁，
分为

3.梁的计算简图：不论梁的结构如何，均以梁的轴线（直线）来表示梁，并示出梁的几何尺寸及作用于梁上的载荷以及支撑情况而得的简单图形，称为梁的计算简图。
4.纵向对称面：通常梁的横截面都具有对称轴，它与梁的轴线所组成的平面，称为纵向对称面。
5.主轴平面：梁的横截面如果没有对称轴，但是都有通过横截面形心的形心主轴，我们把横截面的形心主轴和梁的轴组成的平面叫主轴平面。由于对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴平面；反之则不然。
6.平面弯曲：当所有外力（集中力、分布力和集中力偶）都作用在梁的同一主轴平面内时，梁的轴线将在外力作用面内弯曲成一条平面曲线，这种梁的弯曲便称为平面弯曲。

7.纯弯曲：当梁横截面上只有弯矩一个内力分量时，这时的平面弯曲称为纯弯曲。
8.横向弯曲：当梁的横截面上除弯矩外尚有剪力存在。这种弯曲称为横向弯曲。
第二节 梁的内力——剪力与弯矩
一、 剪力与弯矩的正负号规则
规定弯矩、剪力正负号基本原则应保证梁的一个截面的两侧面的弯矩或剪力必须具有相同的正负号。所以我们规定：
1.剪力FQ使截开部分梁产生顺时针方向转动者为正，逆时针方向转动者为负。
2.弯矩M作用在左侧截面上使截开部分逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。

二、截面法确定指定截面上的剪力和弯矩
确定梁横截面上的剪力与弯矩的过程：
①将梁从欲求内力处截开，并以其中任一部分（一般取受力简单的那一部分）为研究对象。
②在截开的截面上假设FQ和 M的方向（一般设为正方向）。
③考虑所取的那一部分的平衡：要么根据平衡方程和即可求得FQ和M的数值；或者将所有外力向O点简化，得到一个力和一个力偶，剪力和弯矩与其大小相等、方向相反。其中O点取为截开截面的形心。
④考虑另一部分的平衡，校核上述结果是否正确。
例：试求图示梁中指定截面(图中虚线所示，它们分别在加力点两侧)上的剪力、弯矩值。
①求支座反力 。方向如图所示。
②求C上的内力

③求D上的内力

三、剪力方程与弯矩方程
1.表示剪力和弯矩沿梁长度方向变化规律的函数关系式称为“剪力方程”和“弯矩方程”。
2.要分段写剪力方程和弯矩方程：集中力、集中力偶作用点以及分布载荷的起止点，均为分段描写剪力方程FQ（x）和弯矩方程M（x）的分段点。
3.首先在梁上建立O-x坐标系（点O一般取为梁的左端点；x轴自左向右）；然后，取坐标为x
的任意截面，并从此处将梁截开，最后应用平衡方程求得该截面上的剪力FQ（x）和弯矩M（x），即为所要建立的剪力方程和弯矩方程。
4.根据剪力方程和弯矩方程可以画出剪力图和弯矩图。在坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点，然后按照剪力方程和弯矩方程的类型，绘制出相应的曲线，便得到所需要的剪力图和弯矩图。
四、剪力FQ、弯矩M以及分布载荷集度q间的微分关系

则

进一步得到：
五、剪力图与弯矩图的形状规律
1.在梁上有集中载荷(力或力偶)作用处内力图有变化：
①若是集中力，在力作用的截面处剪力图有突变，突变值等于该集中力的大小，弯矩图有转折，出现尖点。
②若是力偶，在力偶作用的截面处弯矩图发生突变，突变值等于该力偶矩的大小，剪力图不变。
2.分布载荷q(x)、剪力FQ(x)和弯矩M(x)三者之间图形的特点如下：
①当q(x)=0即梁上某一段无分布载荷作用时，剪力FQ(x)是常数，剪力图为水平线。弯矩图一般为斜直线；若FQ(x)=0时，则弯矩图为水平线。
②当q(x)=常数，剪力FQ(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；弯矩M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。若q(x)>0(即向上)，FQ(x)的图形向上斜，M(x)的图形向上凹；若q(x)<0（即向下），FQ(x)的图形向下斜，弯矩M(x)的图象凹向下。 ③在剪力FQ(x)=0的截面上，弯矩有极值。
六、由以上内力图规律可不必建立剪力方程和弯矩方程，通过求出某些特定截面上的剪力和弯矩而直接绘制剪力图和弯矩图。
例：

第三节 平面纯弯梁横截面上的正应力
一分析过程：
（一）.平面假设与变形的几何关系(应变分布)
1.如果用容易变形的材料制成梁的模型，可以看到梁弯曲后，一些层的纵向发生伸长变形，另一些层则会发生缩短变形，在伸长层和缩短层的交界处那一层，既不伸长也不缩短，称为梁的中性层或中性面。中性层和梁的横截面的交线，称为截面的中性轴。中性轴垂直于加载方向。
2.梁的横截面在梁变形之后依然保持平面，并仍垂直于变形后的梁轴线，只是绕着截面上的中性轴转过一角度，这就是梁弯曲时的平面假设。
另外还假设

3.沿梁的高度方向纵向变形之间的几何关系即应变分布：

上式结果说明平面纯弯时梁横截面上各点的纵向正应变沿截面高度线性分布，中性轴处正应变为0，中性轴两侧分别为拉应变和压应变，距中性轴最远处，正应变的绝对值最大。
（二）.胡克定律与应力分布

上式结果说明平面纯弯时梁横截面上的正应力沿截面高度线性分布，在中性轴处正应力为零，在距中性轴最远处的截面边缘，分别受有最大拉应力与最大压应力，截面上同一高度的各点正应力相同。

（三）.静力方程与应力计算公式
纯弯情形下
讨论：
1.将代入（1）式

其中称为截面对Z轴的惯性矩，其与截面形状和尺寸有关。EIZ称为梁的弯曲刚度。
再将上式代入，则得：

2. 将代入（2）式：

其中Sz叫截面对Z轴的静矩。根据截面对于某一轴的静矩如果等于零，则这一轴一定通过截面形心的结论。所以Z轴即中性轴通过截面形心且垂直加载面。所以确定中性轴的位置就是确定截面形心的位置。
二梁的弯曲正应力公式的应用与推广
（一） 首先明确公式中各符号的意义。
（二） 关于正应力正负号即确定正应力是拉应力还是压应力。
（三） 关于最大正应力的计算：
（1）如果梁的横截面具有一对互相垂直的对称轴，并且加载方向与其中一根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致。此时最大正应力与最大压应力绝对值相等：

式中WZ=IZ/ymax，称为弯曲截面系数。
（2）如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致，则中性轴过截面形心并垂直于对称轴。这时横截面上最大拉应力与最大压应力绝对值不等：
（拉）
（压）

注意：某一个横截面上的最大正应力不一定就是梁内的最大正应力，而危险截面上的最大正应力才是我们最后关心的工作应力。
（四）上述在纯弯条件下推导出的梁轴线的曲率计算公式及梁横截面上任一点的正应力计算公式对于横截面上有剪力作用的细长梁以及小曲率曲梁也是适用的。另外由于在推导过程中有平面弯曲和线弹性条件的限制，因此，在应用这些公式时要注意不能超出这些条件所限制的范围。
第四节 梁的强度计算
对于具有一对对称轴的截面
称为弯曲截面系数[或抗弯截面系数（模量）]
对于只有一根对称轴的截面

有时需校核：
第五节 弯曲切应力简介
一矩形截面梁横截面上切应力的分布规律假设：
①横截面上任意一点的切应力与剪力相平行，且方向一致。
②距中性轴Z等高的各点上切应力τ的大小相等
且
τ——横截面上距中性轴z为y处的切应力
FQ——横截面上的剪力
b——横截面在所求点处的宽度
Iz——横截面对中性轴z的惯性矩
——距离中性轴的高度为y之处的面积对z轴的静矩

注意：该公式也适用于工字型截面梁
则
当 时，
当 时，
参见书上P197

二、 圆形和环形截面上弯曲最大切应力
（圆形） （圆环形）

例题
第六节 提高梁的强度的主要措施
原理：，要降低σmax，则要么降低Mmax；要么增大W。但增加W需考虑经济因素，即考虑增大W/A。
具体措施如下：
一.选择合理的截面形状
使W/A比值尽可能大的截面称为“合理截面”。

①矩形截面竖放好；
②圆截面梁，其抗弯能力较差，因为大部分材料集中在中性轴附近，没有得到充分利用；
③材料远离中性轴的截面(如圆环形、工字形、槽形等)较好；
④对于塑性材料制成的梁，截面形状宜采用对中性轴对称的截面；
⑤对于脆性材料制成的梁，应选择对中性轴上、下不对称的截面，并使中性轴偏于受拉的一方。
二.尽量降低梁内的最大弯矩
（1）可通过改变加载方式，主要是将作用在梁上的一个集中力用分布力或几个比较小的集中力代替。

在某些允许的情形下，改变加力点的位置，使其靠近支座，也可以使梁内的最大弯矩有明显的降低。
（2）有时可通过调整梁的约束，主要是提高改变支座的位置，来降低梁上的最大弯矩数值。

三.采用变截面梁或等强度梁
改变横截面的尺寸，使每个截面的最大正应力都正好等于材料的许用应力，这样设计出的梁称为等强度梁。

引出：重心(xc yc zc)形心概念

则
对于截面形心
则若截面对于某一轴的静矩等于零，则该轴必定通过截面形心截面对于通过形心的轴的静矩恒等于零。
实际上，只要截面有一根对称轴，截面对于包含此轴在内的一对(互相垂直)坐标轴x.y的惯性积等于0。
四.Iz的计算
1.惯性矩
图在P378
2.平行移轴公式图在P379
因为x=x0+b y=y0+a
所以
若x0 y0为原点过截面形心的一对形心轴，则