任意角的三角函数·典型例题精析.doc

任意角的三角函数·典型例题精析

例1　 下列说法中，正确的是
[　　　 ]
A．第一象限的角是锐角
B．锐角是第一象限的角
C．小于90°的角是锐角
D．0°到90°的角是第一象限的角
【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推广以后，这些概念容易混淆．因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键．
【解】第一象限的角可表示为｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角为｛θ|θ＜90°｝，0°到90°的角为｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)．

(90°－α)分别是第几象限角？
【分析】　 由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α为第二象限的角，然后由角α的

【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即
90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，

的角．

(2)因为　 180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．
(3)解法一：因为 90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，
所以　 －180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)．
故　 －90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)．
因此90°－α是第四象限的角．
解法二：因为角α的终边在第二象限，所以－α的终边在第三象限．
将－α的终边按逆时针旋转90°，可知90°－α的终边在第四象限内．
【说明】①在确定形如α＋k·180°角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；②确定象限时，α＋kπ与α－kπ是等效的
例5　 一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大．
【分析】解答本题，需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式．本题是求扇形面积的最大值，因此应想法写出面积S以半径r为自变量的函数表达式，再用配方法求出半径r和已知周长l的关系．
【解】设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为l－2r．所以

【说明】在学习弧度制以后，用弧度制表示的求弧长与扇形面积公

形的问题中，中心角用弧度表示较方便．本例实际上推导出一个重要公式，即当扇形周长为定值时，怎样选取中心角可使面积得到最大值．本题也可将面积表示为α的函数式，用判别式来解．

．
例 4 (1)已知角α终边上一点P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值；

【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是

三两个象限，因此必须分两种情况讨论．
【解】(1)因为x＝3k，y=－4k，

例3　 已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是区间
[　　　 ]

【分析】　 解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况．可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断．用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易．
【解法一】　 由正、余弦函数的性质，

【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，AT＜MP，即tanα＜sinθ，由正弦线和余弦线可看出，当

应选(A)．

可排除(C)，(D)，得(A)．
【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有AT＞MP，即tanθ＞sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立．用排除法也有些别的方法，可自己练习．

【分析】第(1)小题因α在第二象限，因此只有一组解；第(2)小题给了正弦函数值，但没有确定角α的象限，因此有两组解；第(3)小题角α可能在四个象限或是轴线角，因此需分两种情况讨论．
【解】

(3)因为sinα=m(|m|＜1)，所以α可能在四个象限或α的终边在x轴上．

1．已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值．

解  ∵sinα＜0
∴角α在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)

(2)若α在第四象限，则

例．已知tanα＝2，则
(1)＝________；
(2)＝________；
(3)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.
解析：(1)注意到分式的分子与分母均是关于sinα、cosα的一次齐次式，将分子、分母同除以cosα(∵cosα≠0)，然后整体代入tanα＝2的值．
＝＝＝－1.
(2)注意到分子、分母都是关于sinα、cosα的二次齐次式，
∵cos2α≠0，分子、分母同除以cos2α，有
＝＝＝.∴应填.
(3)要注意到sin2α＋cos2α＝1，
4sin2α－3sinαcosα－5cos2α
＝
＝＝＝＝1.应填1.
答案：(1)－1　(2)　(3)1
评析：这是一组在已知tanα＝m的条件下，求关于sinα、cosα的齐次式(即次数相同)的问题，解答这类“已知某个三角函数，求其余三角函数值”的问题的常规思路是：利用同角间的三角函数关系，求出其余三角函数值，这就需要根据m的取值符号，确定α角所在的象限，再对它进行讨论．这样计算相当繁琐，而在这里灵活地运用“1”的代换，将所求值的式子的分子、分母同除以cosnα，用tannα表示出来，从而简化了解题过程，我们应熟练掌握这种解法．更主要的是由此进一步领悟“具体问题、具体分析”的辩证思想方法．
4．若tanα＝2，则的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
解析：由tanα＝2，则＝＝－，选A.
答案：A

例例例7(1)已知 tanα=m，求sinα的值；
【分析】(1)已知tanα的值求sinα或cosα，一般可将tanα

母都是sinα和cosα的同次式，再转化为关于tanα的式子求值，转化的方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α，这里cosα≠0)，即可根据已知条件求值．

【说明】　 由tanα的值求sinα和cosα的值，有一些书上利用公

很容易推出，所以不用专门推导和记忆这些公式，这类问题由现有的关系式和方法均可解决．
13．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝，
(1)求sinA·cosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．
分析：可先把sinA＋cosA＝两边平方得出sinA·cosA，然后借助于A∈(0，π)及三角函数符号法则可得sinA与cosA的符号，从而进一步构造sinA－cosA的方程，最后联立求解．
解：(1)∵sinA＋cosA＝①
∴两边平方得1＋2sinAcosA＝，
∴sinA·cosA＝－.
(2)由(1)sinAcosA＝－<0，且0<A<π，
可知cosA<0，∴A为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA
＝1＋＝，
又sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0，
∴sinA－cosA＝②
∴由①，②可得sinA＝，cosA＝－，
∴tanA＝＝＝－.
评析：sinα·cosα与sinα－cosα，sinα＋cosα存在内在联系，即：sinα·cosα＝[(sinα＋cosα)2－1]，sinα·cosα＝[1－(sinα－cosα)2]．可“知一求二”．
6、已知A是三角形的一个内角，sinA＋cosA = ,则这个三角形是 （ ） B
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰直角三角形 D．等腰直角三角形

例3  化简sin2α·tgα+cos2α·ctgα+2sinαcosα

=secα·cscα
解2  原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα)
=tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α)
=tgα+ctgα

=secα·cscα
说明  (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的．
(2)解2中的逆用公式将sinα·cosα用tgα表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用．
例4  化简：

分析  将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简．

函数的定义来证明．

由左边=右边，所以原式成立．

【证法三】(根据三角函数定义)
设P(x，y)是角α终边上的任意一点，则

左边=左边，故等式成立．