青岛理工大学概率课后答案.doc

习题1-2
1. 选择题
(1) 设随机事件A，B满足关系,则下列表述正确的是( ).
(A) 若A发生, 则B必发生. (B) A , B同时发生.
(C) 若A发生, 则B必不发生. (D) 若A不发生，则B一定不发生.
解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).
(2) 设A表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件表示( ).
(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.
(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.
解 设B表示“甲种商品畅销”，C表示“乙种商品滞销”，根据公式, 本题应选(D).
2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:
(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色;
(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；
(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；
(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数.
解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；
(4) 设在生产第10件正品前共生产了n件不合格品，则样本空间为{}.
3. 设A, B, C是三个随机事件, 试以A, B, C的运算关系来表示下列各事件：
(1) 仅有A发生；
(2) A, B, C中至少有一个发生;
(3) A, B, C中恰有一个发生;
(4) A, B, C中最多有一个发生;
(5) A, B, C都不发生;
(6) A不发生, B, C中至少有一个发生.
解 (1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) .
4. 事件Ai表示某射手第i次(i=1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：
(1) A1∪A2; (2) A1∪A2∪A3; (3); (4) A2－A3; (5)； (6).
解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.
习题1-3
1. 选择题
　 (1) 设A, B为任二事件, 则下列关系正确的是( ).
(A). (B).
(C). (D).
解 由文氏图易知本题应选(D).
(2) 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是 ( ).
(A) A和B互不相容. (B) AB是不可能事件.
(C) AB未必是不可能事件. (D) P(A)=0或P(B)=0.
解 本题答案应选(C).
　 2. 设P(AB)=P(), 且P(A)＝p，求P(B).
解 因 ,
故. 于是
3. 已知,,, 求.
解 由公式知. 于是

4. 设A, B为随机事件,,, 求.
解 由公式可知,. 于是.
5. 设A, B是两个事件, 且, .问:
(1) 在什么条件下取到最大值, 最大值是多少？
(2) 在什么条件下取到最小值, 最小值是多少？
解 =1.3.
(1) 如果, 即当时, =0.7, 则有最大值是0.6 .
(2) 如果=1，或者时, 有最小值是0.3 .
6. 已知,, , 求A, B, C全不发生的概率.
解 因为,所以=0, 即有=0.
由概率一般加法公式得
由对立事件的概率性质知A ,B, C全不发生的概率是
.
　　习题1-4
1. 选择题
在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．
(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品.
(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.
解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为, 没有一等品的概率为, 将两者加起即为0.7. 答案为（D）.
2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.
解 (1) 恰有1件次品的概率是;(2) 恰有2件次品的概率是; (3 )至少有1件次品的概率是1-; (4) 至多有1件次品的概率是+; (5) 至少有2件次品的概率是+.
3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：
(1) 两个球均为白球的概率；
(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；
(3）至少有一个黑球的概率.
解 从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有种，一黑一白的取法有种，由古典概率的公式知道
(1) 两球都是白球的概率是;
(2) 两球中一黑一白的概率是;
(3) 至少有一个黑球的概率是1.
4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于;(2) 两数之积小于;(3)　以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于的概率.
解 设X, Y为所取的两个数, 则样本空间S = {(X, Y)|0<X, Y<1}.,
(1) P{X+Y<}=;
(2) P{XY<}=;
(3) P{X+Y<, XY<}
=≈0.593.
(4) 解 设x, y为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x, y)|0<x, y<1}, 记A = {(x, y)|(x, y)∈S, |x-y|<}. 参见图1-1.

图1-1 第2题样本空间
故 ,
其中 SA, SΩ分别表示A与Ω的面积.
习题1-5
1. 选择题
(1) 设随机事件A, B满足P(A|B)=1, 则下列结论正确的是( )
(A) A是必然事件. (B) B是必然事件.
(C) . (D).
解 由条件概率定义可知选(D).
(2) 设A, B为两个随机事件, 且, 则下列命题正确的是( ).
(A) 若, 则A, B互斥.
(B) 若, 则.
(C) 若, 则A, B为对立事件.
(D) 若, 则B为必然事件.
解 由条件概率的定义知选（B）．
2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X, 再从1,2,…,X中任取一个数, 记为Y,求P{Y=2}.
解 解 P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2|X=1}+P{X=2}P{Y=2|X=2}
+P{X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{Y=2|X=4}
=×(0+++)=.
3. 口袋中有b个黑球、r个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球a个. 设Bi={第i次取到黑球}, 求.
解 用乘法公式得到

注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和无放回抽样.
4. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.
解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则表示“恰有i发击中目标”. 为互斥的完备事件组. 于是
没有击中目标概率为,
恰有一发击中目标概率为
,
恰有两发击中目标概率为
,
恰有三发击中目标概率为
.
又已知 ,
所以由全概率公式得到

5. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.
(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.
解 (1)以A表示“取得球是白球”，表示“取得球来至第i个箱子”,i=1,2,3.
则P()=, i=1,2,3, .
由全概率公式知
P(A)=.
(2) 由贝叶斯公式知 P()=
6. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.
　 (1) 求这件产品是次品的概率;
(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？
解 设A表示“取到的是一件次品”, (i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 是样本空间S的一个划分, 且
，,.
(1) 由全概率公式可得

.
(2) 由贝叶斯公式可得
,
,
.
习题1-6
1. 选择题
　 (1) 设随机事件A与B互不相容, 且有P(A)>0, P(B)>0, 则下列关系成立的是( ).
(A) A, B相互独立.  (B) A, B不相互独立.
(C) A, B互为对立事件.  (D) A, B不互为对立事件.
解 用反证法, 本题应选(B).
(2) 设事件A与B独立, 则下面的说法中错误的是( ).
(A) 与独立. (B) 与独立.
(C) . (D) A与B一定互斥.
解 因事件A与B独立, 故,A与及与B也相互独立. 因此本题应选(D).
(3) 设事件A与 B相互独立, 且0<P(B)<1, 则下列说法错误的是( ).
(A) . (B) .
(C) A与B一定互斥. (D) .
解 因事件A与B独立, 故也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).
2．设A, B是任意两个事件, 其中A的概率不等于0和1, 证明
P(B|A)=是事件A与B独立的充分必要条件.
证 由于的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.
充分性. 因事件A与B独立, 知事件与B也独立, 因此
,
从而 .
必要性. 已知, 由条件概率公式和对立事件概率公式得到
,
移项得
化简得 P(AB)=P(A)P(B), 因此A和B独立.
3. 设三事件A , B和C两两独立, 满足条件：
, 且,
求.
解 根据一般加法公式有
.
由题设可知 A, B和C 两两相互独立, , 因此有
从而
,
于是或, 再根据题设, 故.
4． 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p(0<p<1), 求此人第4次射击时恰好第2次命中目标的概率.
解 “第4次射击恰好第2次命中” 表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为 .
5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：
(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；
(2) 恰有一人命中目标的概率；
(3) 目标被命中的概率.
解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是
(1)
(2)
(3)
总 习 题 一
1. 选择题：设是三个相互独立的随机事件, 且, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).
(A)与C. (B)与.
(C) 与C. (D) 与.
解 由于A, B, C是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..
2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.
解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为.
(1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为
3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件
产品, 求取到的是次品的概率.
解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设
A={取到的产品是次品}, Bi={取到的产品属于第i家工厂生产}, i=1, 2, 3. 由于BiBj=(i≠j, i, j=1, 2, 3)且B1∪B2∪B3=S, 所以B1, B2, B3是S的一个划分.
又 P(B1)=, P(B2) =, P(B3)=,
P(A| B1)=, P(A| B2)=, P(A| B3)=,
由全概率公式得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A| B3)
==0.025.
4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？
解 设A={设备调整成功}, B={产品合格. 则全概率公式得到
.
由贝叶斯公式可得
.
5. 将两份信息分别编码为A和B传递出去. 接收站收到时, A被误收作B的概率为0.02, 而B被误收作A的概率为0.01, 信息A与信息B传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A, 问原发信息是A的概率是多少？
解 以D表示事件“将信息A传递出去”，以表示事件“将信息B传递出去”，以R表示事件“接收到信息A”,以表示事件“接收到信息B”.已知
.
由贝叶斯公式知
.
习题2-2
1. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0<p<1). 定义随机变量

写出随机变量X的分布律.
解 P{X=1}=p, P{X=0}=1-p.
或者
X
0 1
P
1-p p

2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c, 并计算条件概率.
解 由离散型随机变量的分布律的性质知，

所以.
所求概率为 P{X<1| X }=.
3. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 若≥, 求≥.
解 注意p{x=k}=,由题设≥
故. 从而
≥
4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为, 求每次试验成功的概率.
解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是. 即, 故 =.
5. 若X服从参数为的泊松分布, 且, 求参数.
解 由泊松分布的分布律可知.
6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X的分布律.
解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有种取法.
{X=3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X=3}==;
{X=4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X=4}=;
{X=5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X=5}=.
X的分布律是
X
3 4 5
P

习题2-3
1. 设X的分布律为
X
-1 0 1
P
0.15 0.20 0.65
求分布函数F(x), 并计算概率P{X<0}, P{X<2}, P{-2≤X<1}.
解 (1) F(x)=
(2) P{X<0}=P{X=-1}=0.15;
(3) P{X<2}= P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1;
(4) P{-2≤x<1}=P{X=-1}+P{X =0}=0.35.
2. 设随机变量X的分布函数为
F(x) = A+Barctanx -∞<x<+∞.
试求: (1) 常数A与B; (2)  X落在(-1, 1]内的概率.
解 (1) 由于F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, 可知

于是
(2)

3. 设随机变量X的分布函数为
F(x)=
求P{X≤-1}, P{0.3 <X<0.7}, P{0<X≤2}.
解 P{X,
P{0.3<X<0.7}=F(0.7)-F{0.3}-P{X=0.7}=0.2,
P{0<X≤2}=F(2)-F(0)=1.
5. 假设随机变量X的绝对值不大于1; ; 在事件出现的条件下, X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求的分布函数≤x}; (2) 求X取负值的概率p.
解 (1) 由条件可知,
当时, ;
当时, ;
当时, F(1)=P{X≤1}=P(S)=1.
所以
易见, 在X的值属于的条件下, 事件的条件概率为
≤,
取x=1得到 1=k(1+1), 所以k=.
因此 ≤.
于是, 对于, 有
≤≤

对于≥1, 有 从而

(2) X取负值的概率

习题2-4
1. 选择题
(1) 设 如果c=( ), 则是某一随机变量的概率密度函数.
(A) . (B) . (C) 1. (D) .
解 由概率密度函数的性质可得, 于是, 故本题应选(C ).
(2) 设又常数c满足, 则c等于( ).
(A) 1. (B) 0. (C) . (D) -1.
解 因为, 所以,即
, 从而,即, 得c=0. 因此本题应选(B).
(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
解 由概率密度函数的性质可知本题应选(D).

(4) 设随机变量, , ≤},
≥}, 则( ).
(A) 对任意的实数. (B) 对任意的实数.
(C) 只对实数的个别值, 有. (D) 对任意的实数.
解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有
.
因此本题应选(A).
(5) 设随机变量X的概率密度为, 且, 又F(x)为分布函数, 则对任意实数, 有( ).
(A) . (B) .
(C) .   (D) .
解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).
(6) 设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且 则下式中成立的是( ).
(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2.
解 答案是(A).
(7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数, 数满足, 若, 则等于( ).
(A) . (B) . (C) . (D) .
解 答案是(C).
2. 设连续型随机变量X服从参数为的指数分布, 要使成立, 应当怎样选择数k?
解 因为随机变量X服从参数为的指数分布, 其分布函数为

由题意可知
.
于是 .
3. 设随机变量X有概率密度

要使(其中a>0)成立, 应当怎样选择数?
解 由条件变形,得到,可知, 于是, 因此.
4. 设连续型随机变量X的分布函数为

求: (1) X的概率密度; (2).
解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系,
可得
(2) .
5. 设随机变量X的概率密度为
f(x)＝
求P{X≤}与P{≤2}.
解 ≤;
≤.
6. 设连续型随机变量X具有概率密度函数

求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x).
解 (1) 由概率密度的性质可得
,
于是 ；
(2) 由公式可得
当x≤0时, ;
当≤1时, ;
当≤2时, ;
当x>2时, .
所以
7. 设随机变量X的概率密度为

对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.
解 根据概率密度与分布函数的关系式
≤,
可得
.
所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为
.
8. 设, 求关于x的方程有实根的概率.
解 随机变量X的概率密度为

若方程有实根, 则 ≥0, 于是≥2. 故方程有实根的概率为
P{≥2}=

.
9. 设随机变量.
(1) 计算, , , ；
(2) 确定c使得
(3) 设d满足, 问d至多为多少？
解 (1) 由P{a<x≤b}=P{公式, 得到
P{2<X≤5}=,
P{-4<X≤10}=,
=+
=1+=0.6977,
=1=0.5 .
(2) 若,得1,所以

由=0推得于是c=3.
(3) 即1, 也就是
,
因分布函数是一个不减函数, 故
解得 .
10. 设随机变量, 若, 求.
解 因为所以. 由条件可知
,
于是, 从而.
所以 .
习题2-5
1. 选择题
(1) 设X的分布函数为F(x), 则的分布函数为( ).
(A) . (B) .
(C) . (D) .
解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).
(2) 设令, 则( ).
(A). (B). (C). (D).
解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).
2. 设, 求Z所服从的分布及概率密度.
解 若随机变量, 则X的线性函数也服从正态分布, 即 这里, 所以Z.
概率密度为
.
3. 已知随机变量X的分布律为
X
-1
0
1
3
7
P
0.37
0.05
0.2
0.13
0.25
(1) 求Y＝2－X的分布律；　(2) 求Y＝3＋X2分布律.
解 (1)
2－X
-5
-1
1
2
3
P
0.25
0.13
0.2
0.05
0.37
(2)
3＋X2
3
4
12
52
P
0.05
0.57
0.13
0.25
4. 已知随机变量X的概率密度为
＝
且Y＝2－X, 试求Y的概率密度.
解 先求Y的分布函数:
=≤≤≥
   =1-.
于是可得Y的概率密度为
=
即
5. 设随机变量X服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量的概率密度.
解 由题意可知随机变量X的概率密度为

因为对于0<y<4,
≤≤≤X≤}.
于是随机变量的概率密度函数为

即
总习题二
1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.
解 以X表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知.
(1) 恰好有3件次品的概率是P{X=3}=.
(2) 至多有3件次品的概率是.
2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻
(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？
(2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？
(3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？
(4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？
解 以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则X~B(5,0.1),
P{X=k}=,k=0,1,…,5.
(1) 所求的概率是P{X=2}=;
(2) 所求的概率是P{X≥1}=1;
(3) 所求的概率是 P{X≤3}=1-P{X=4}-P{X=5}=0.99954;
(4) 所求的概率是P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=0.00856.
3. 设随机变量X的概率密度为

且已知, 求常数k, θ.
解 由概率密度的性质可知得到k=1.
由已知条件, 得.
4. 某产品的某一质量指标, 若要求≤X≤≥0.8, 问允许最大是多少?
解 由≤X≤
 =≥0.8,
得到≥0.9, 查表得≥1.29, 由此可得允许最大值为31.20.
5. 设随机变量X的概率密度为
φ(x) = Ae-|x|, -∞<x<+∞.
试求: (1) 常数A; (2) P{0<X<1}; (3) X 的分布函数.
解 (1) 由于即故2A = 1, 得到A=.
所以 φ(x) = e-|x|.
(2) P{0<X<1} =
(3) 因为 得到
当x<0时,
当x≥0时,
所以X的分布函数为
习题3-1
1. 已知随机变量X1和X2的概率分布分别为
X1
-1
0
1
P

X2
0
1
P

而且. 求X1和X2的联合分布律.
解 由知. 因此X1和X2的联合分布必形如
X2
X1
0
1
pi·
-1
P11
0

0
P21
P22

1
P31
0

p·j

1

于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律

X2
X1
0
1
pi·
-1

0

0
0

1

0

p·j

1
(2) 注意到, 而, 所以X1和X2不独立.
2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X表示取到黑球的只数, 以Y表示取到红球的只数. 求X和Y的联合分布律.
解 从只球中取球只有种取法. 在只球中, 黑球有只, 红
球有j只(余下为白球只)的取法为
,≤.
于是有
,,
,,
,,
, ,
.
分布律的表格形式为
X
Y

3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为

求: (1) 常数; (2) ; (3) ; (4) .
解 (1) 由, 得
,
所以 .
(2)
.
(3)

.
(4) 作直线, 并记此直线下方区域与的矩形区域的交集为. 即≤.见图3-8. 因此
≤

.

图3-8 第4题积分区域
4. 二维随机变量的概率密度为

试确定, 并求.
解 由,解得.
因而 .
5. 设二维随机变量(X, Y)概率密度为

求关于X和Y边缘概率密度.
解 的概率密度在区域≤≤,≤≤外取零值.因而, 有

6. 假设随机变量在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量

试求：(1) X和Y的联合概率分布；(2)≤.
解 (1) 见本章第三节三(4).
(2)≤.
习题3-2
1. 设(X, Y)的分布律为

Y
X
1
2
3
4
1
0.1
0
0.1
0
2
0.3
0
0.1
0.2
3
0
0.2
0
0

求: (1) 在条件X=2下Y的条件分布律;
 (2) .
解 (1) 由于,所以在条件X=2下Y的条件分布律为
,
,
,
,
或写成

1
2
3
4

(2) 注意到
≤.
而

 .
因此
.
2. 设平面区域D由曲线及直线所围成, 二维随机变量(X, Y)在区域D上服从均匀分布, 求(X, Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值.
解 由题设知D的面积为.
因此, (X,Y)的密度为
由此可得关于X的边缘概率密度 .
显然, 当x≤1或x≥e2时,; 当时,. 故.
3. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为

求：(1) (X, Y)的边缘概率密度；(2)
解 (1) 当时,;
当x≤0时或x≥1时, .
故
当0<y<2时,;
当≤时或≥时, .
故
(2) 当z≤0时,;
当z≥2时,;
当0<z<2时, ≤

.
故
(3) .
4. 设是由直线y=x, y=3,x=1所围成的三角形区域, 二维随机变量在上服从二维均匀分布.求:
(1) (X, Y)的联合概率密度；(2) ；(3) 关于X的边缘概率密度.
解 (1)由于三角形区域的面积等于2, 所以的概率密度为

(2)记区域≤与的交集为,则
.
其中为G0的面积.
(3) X的边缘概率密度. 所以,
当时, .
当或时, .
因此
习题3-3
1. 设X与Y相互独立, 且分布律分别为下表:
X
-1

0
P

Y
0
2
5
6
P

求二维随机变量的分布律.
解 由于X与Y相互独立, 所以有
,.
因此可得二维随机变量的联合分布律
X
Y

2. 设(X, Y)的分布律如下表:

X
Y
1
2
1

2

3

问为何值时与相互独立?
解 首先, 由分布律求得边缘分布律
Y
X
1
2
p.j
1

2

α
α+
3

β
β+
pi.

+α+β
1
由于边缘分布满足, 又X, Y相互独立的等价条件为
pij= pi. p.j (i=1,2; j=1,2,3).
故可得方程组
解得,.
经检验, 当,时, 对于所有的i=1,2; j=1,2,3均有pij= pi. p.j成立. 因此当,时, X与Y相互独立..
3. 设随机变量X与Y的概率密度为

(1) 试确定常数b.
(2) 求边缘概率密度, .
(3) 问X与Y是否相互独立？
解 (1) 由
,
得 .
(2)

(3) 由于，所以X与Y相互独立.
4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量, X在(0, 1)上服从均匀分布, Y的概率密度为

(1) 求X和Y的联合概率密度.
(2) 设关于a的二次方程为, 试求a有实根的概率.
解 (1) 由题设知X和Y的概率密度分别为

因X和Y相互独立, 故(X, Y)的联合概率密度为

(2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即
≥≥Y.
因此事件{方程有实根}≥.
下面计算≥(参见图3-3).
≥
  .

图3-3 第6题积分区域
习题3-4
1. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

Y
X
0
1
0
0.4
a
1
b
0.1

若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立, 求常数a, b.
解 首先, 由题设知. 由此得. 此外,
,
,
  .
根据题意有
,
即. 解得.
2. 设两个相互独立的随机变量X,Y的分布律分别为

X
1
3

Y
2
4
PX
0.3
0.7

PY
0.6
0.4

求随机变量Z = X + Y的分布律.
解 随机变量Z = X + Y的可能取值为.
的分布律为
,
,
,
或写为

Z
3
5
7
PZ
0.18
0.54
0.28

3. 随机变量与相互独立, 且均服从区间[0,3]上的均匀分布, 求.
解 由题意知, X与Y的概率密度均为

又由独立性, 有
P{max{X+Y}≤1}=P{X≤1,Y≤1}= P{X≤1} P{Y≤1}.
而 P{X≤1}= P{Y≤1},
故 P{max{X+Y}≤1}=.
4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 且X服从正态分布N(μ, σ2), Y服从均匀分布U(-a, a)( a>0), 试求随机变量和Z=X+Y的概率密度.
解 已知X和Y的概率密度分别为
, ; .
由于X和Y相互独立, 所以

=.
10. 设随机变量X和Y的联合分布是正