江苏省南京市中考数学试卷及答案解析版.doc

南京市2011年初中毕业生学业考试
数 学
数学注意事项：
1． 本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2． 请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3． 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效．
4． 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．的值等于
A．3 B．－3 C．±3 D．
【答案】A．
【考点】算术平方根。
【分析】利用算术平方根的定义，直接得出结果
2．下列运算正确的是
A．a2＋a3=a5 B．a2•a3=a6 C．a3÷a2=a D．(a2)3=a8
【答案】C．
【考点】指数运算法则。
【分析】a3÷a2=a= a3-2= a
3．在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%．则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为
A．0.736×106人 B．7.36×104人 C．7.36×105人 D．7.36×106 人
【答案】C．
【考点】科学记数法。
【分析】利用科学记数法的定义，直接得出结果:8000000×9.2%=736000=7.36×105.
4．为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是
A．随机抽取该校一个班级的学生
B．随机抽取该校一个年级的学生
C．随机抽取该校一部分男生
D．分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生
【答案】D．
【考点】随机抽样样本的抽取。
【分析】D是最合适的.
5．如图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是
A．
B．
C．
D．

【答案】B．

A
B
O
P
x
y
y=x
【考点】图形的展开与折叠。
【分析】只有B才能通过折叠围成只有一个底的三棱柱.

6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为2，
函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为，则a的值是
A． B． C． D．
【答案】B．
【考点】弦心距, 四点共圆,300和450直角三角形.
【分析】连结PA,PB ,过点P作PE⊥AB于E, 作PF⊥X轴于F,交AB于G,在,

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．－2的相反数是________．
【答案】2．

B
A
C
D
E
l
1
【考点】相反数。
【分析】利用相反数的定义，直接得出结果
8．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则
∠1=____________．
【答案】360
【考点】n边形的内角和。
【分析】利用n边形的内角和定理，直接得出正五边形的内角和是540,再除以5即得每一个内角等于108°,(180°-108°)/2=36°
9．计算=_______________．
【答案】.
【考点】根式计算, 平方差公式。
【分析】
10．等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为___________㎝．
【答案】6．
【考点】等腰梯形的中位线。
【分析】等腰梯形的周长=上底+下底+2腰长=上底+下底+10=22, 即上底+下底=12, 从而
中位线=(上底+下底)/2=6.

B
A
M
O
11．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，
再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则
cos∠AOB的值等于___________．
【答案】.
【考点】等边三角形和特殊角直角三角形值。
【分析】利用等边三角形内角600的性质和特殊角直角三角形值，直接得出结果

B
A
D
C
E
12．如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝2．
【答案】2．
【考点】等边三角形的判定和性质, 菱形面积。
【分析】 E是AB中点，且DE⊥AB
A
B
O
P

13．如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°．
【答案】40.
【考点】同弦所对的圆周角是圆心角的一半。
【分析】为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值是轮船P落在圆周上，利用同弦所对的圆周角是圆心角的一半，直接得出结果。
14．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF，将△
A
B
C
D
F
E
ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为a（0°＜a＜180°），则∠a=______．
【答案】90°．
【考点】图形的旋转。
【分析】从AE转到BC可直接观察到。
15．设函数与的图象的交点坐标为（a，b），则的值为__________．
【答案】．
【考点】一次函数, 反比例函数，代数式变换。
【分析】

16．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，
后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手
的次数为____________．
【答案】4．
【考点】分析题。
【分析】列表
甲
乙
丙
丁
甲
乙
丙
丁
甲
乙
丙
丁
甲
乙
丙
丁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50

表中可见。
三、解答题（本大题共12小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
【答案】解：

解不等式①得： 解不等式②得：
所以，不等式组的解集是．不等式组的整数解是，0，1．
【考点】不等式组。
【分析】利用不等式组的求解方法，直接得出不等式组的解集，再列出整数解。
18．（6分）计算
计算
【答案】

【考点】分式运算法则，平方差公式。
【分析】利用分式运算法则，平方差公式，直接得出结果.
19．（6分）解方程x2－4x＋1=0
【答案】解法一：移项，得．配方，得，
由此可得
，
解法二： ，
，．
【考点】－元二次方程。
【分析】利用－元二次方程求解方法，直接得出－元二次方程的解。
20．（7分）某校部分男生分3组进行引体向上训练，对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如下．
2
4
6
8
10
12
0
第一组
第二组
第三组
组别
6
5
3
9
9
11
训练前
训练后
①
训练前后各组平均成绩统计图
训练后第二组男生引体
向上增加个数分布统计图
10%
50%
20%
20%
增加8个
增加6个
增加5个
个数没有变化
②

平均成绩（个）

⑴求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；
⑵小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数
没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均数不可能提高3个这么多．”你同意小明的观点吗？请说明理由；
⑶你认为哪一组的训练效果最好？请提出一个解释来支持你的观点．
【答案】解:⑴训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是≈67%．
⑵不同意小明的观点，因为第二组的平均成绩增加8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3（个）．
（3） 本题答案不唯一，我认为第一组训练效果最好，因为训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数最大．
【考点】统计图表分析。
【分析】统计图表的分析。
A
B
C
D
E
F

21．（7分）如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接
AE，交BC于点F．
⑴求证：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
【答案】证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．
∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC．
在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，∴⊿ABF≌⊿ECF．
（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．
解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．
又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．
又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形．
【考点】平行四边形的性质, 矩形的判定, 全等三角形的判定和性质。
【分析】⑴要证△ABF≌△ECF,由已知□ABCD和CE=DC,很易知其有对应边相等AB=EC,又有一对顶角相等∠AFB=∠EFC,只要再找－角即可,根据平行四边形对角相等和平行线的同位角相等可证∠ABF=∠ECF.
（2）要证四边形ABEC是矩形,首先证其是平行四边形,易证AB平行且等于CE,故只要证其对角线相等或有－个角是直角即可,利用∠AFC=2∠D结合平行四边形的性质都易得到.
22．（7分）小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步30
50
1950
3600
80
x/min
y/m
O

行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终
点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50
min才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min．设小亮出发x
min后行走的路程为y m．图中的折线表示小亮在整个行走过程
中y与x的函数关系．
⑴小亮行走的总路程是____________m，他途中休息了________min．
⑵①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；
②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？
【答案】解:⑴3600，20．
⑵①当时，设y与x的函数关系式为．
根据题意，当时，；当，．

所以，与的函数关系式为．
②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800（），
缆车到达终点所需时间为1800÷180＝１0（）．
小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10＋50＝60（）．
把代入，得y=55×60—800=2500．
所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100（）．
【考点】一次函数。
【分析】⑴看图可知,小亮行走的总路程是3600m, 他途中休息了50-30=20_min．
⑵当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式, 看图可知, 点 ( 50,1950 ) , (80,3600 ) 在函数图像上, 坐标满足函数关系式, 用待定系数可求.
由路程, 速度, 时间的关系求出缆车到达终点所需时间, 从而求出小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间, 代入函数关系式即得小亮离缆车终点的路程.
23．（7分）从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者．求下列事件的概
率：
⑴抽取1名，恰好是女生；
⑵抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．
【答案】解:⑴抽取1名，恰好是女生的概率是．
⑵分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这五位同学，从中任意抽取2名，所有可能出现的结果有：（男1，男2），（男1，男3），（男1，女1），（男1，女2），（男2，男3），（男2，女1），（男2，女2），（男3，女1），（男3，女2），（女1，女2），共10种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足抽取2名，恰好是1名男生和1名女生（记为事件A）的结果共6种，所以P（A）=．
【考点】概率。
【分析】列举出所有情况，求出概率.
24．（7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
【答案】解：⑴当x=0时，．
所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）．
⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；
②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，．
综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．
【考点】一,二次函数, 二次函数与一元二次方程的关系.
【分析】⑴由于二次函数的常数项为1, 故x=0时，得证.
A
B
E
C
D
h
37°
45°

⑵考虑一次函数和二次函数两种情况. 函数为一次函数, 与X轴有一个交点. 函数为二次函数, 由函数y=f(x) 与X轴有一个交点的要求, 对应的一元二次方程f(x)=0有两个相等的实数根, 即根的判别式等于0, 从而求解. 也可以考虑二次函数顶点的纵坐标为0求解, 即.
25．（7分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的
高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点
C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、
D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解:在中，＝．
∴EC＝≈（）．
在中，∠BCA＝45°，∴
在中，＝．∴．∴（）．
答：电视塔高度约为120．
【考点】解直角三角形。
【分析】欲求AB, 由只要求出CA, 在中，＝,故只要求出EC,EC由EC＝求得.
26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，
P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运A
B
C
P
Q
O

动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
【答案】解:⑴直线与⊙P相切．
如图，过点P作PD⊥AB, 垂足为D．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=6cm，BC=8cm，
∴．∵P为BC的中点，∴PB=4cm．
∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC．
∴,即，∴PD =2.4(cm) ．
当时，(cm)
∴，即圆心到直线的距离等于⊙P的半径．
∴直线与⊙P相切．
⑵ ∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径．
∴．
连接OP．∵P为BC的中点，∴．
∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切．
∴或，∴=1或4．
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．
【考点】直线和圆的位置关系, 圆和圆的位置关系,勾股定理, 相似三角形, 三角形中位线, 直径所对的圆周角是900.
【分析】(1) 判断直线AB与⊙P的位置关系, 即要求圆心P到直线AB的距离与圆半径PQ的关系即可. PQ很易求出为2.4; 求圆心P到直线AB的距离就应作辅助线:过点P作PD⊥AB,垂足为D ,由△PBD∽△ABC求出, 从而得出结论.
⑵⊙P与⊙O相切, 两圆的圆心距等于两半径之差, 故只要求出圆心距0P和两圆半径即可求得.
27．（9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，
如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
B
B
B
C
C
C
A
A
A
D
P
E
①
②
③

⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点
P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似
点，求该三角形三个内角的度数．
【答案】解: ⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD．
∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．
∴E是△ABC的自相似点．
⑵①作图略． 作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，．
∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A， ∠ACB＝2∠BCP=4∠A．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°． ∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．
【考点】直角三角形斜边的一半等于斜边的一半, 等腰三角形, 相似三角形, 尺规作图, 三角形内心, 三角形内角和定理。
【分析】⑴由直角三角形斜边的一半等于斜边的一半知△CDB是等腰三角形, 从而得对应角∠BCE＝∠ABC．从而由两个都是直角三角形证.
⑵①由相似三角形两个角相等的判定, 分别作出两个角昂即可得到.
②由三角形内心是角平分线的交点和相似三角形对应角相等的性质推出三个角之间的关系, 再应用三角形内角和定理求解.
28．（11分）问题情境:已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型:设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．
探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
1
x
y
O
1
3
4
5
2
2
3
5
4

－1
－1
① 填写下表，画出函数的图象：
x
……

1
2
3
4
……
y
……

……

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还
可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
【答案】 解:⑴①
x
……

1
2
3
4
……
y
……

2

……
函数的图象如图．
②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2．
③==
=
当=0，即时，函数的最小值为2．
⑵仿⑴③==
=
当=0，即时，函数的最小值为．
⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．
【考点】画和分析函数的图象, 配方法求函数的最大(小)值．
【分析】⑴将x值代入函类数关系式求出y值, 描点作图即可. 然后分析函数图像.
⑵仿⑴③=
==
所以, 当=0，即时，函数的最小值为