环焊缝射线检测中K值计算的探讨(增加sinB).doc

对接环焊缝射线检测中K值计算的探讨
靳茂明（江苏省特种设备安全监督检验研究院，210003，南京）
摘要：K值是射线检测中的一个重要参数，应控制实际透照时的透照比K值不能超过标准要求。本文对环焊缝不同透照方法下K值的取值范围进行分析，并给出K值的计算公式和相关参数的计算方法，为计算机辅助计算建立一个精确高效的数学模型。
关键词：环焊缝；射线检测；计算；K值公式
Discussion on the calculation of K value on X-rays examination
for circumferential butt welds
Jin Maoming (Jiangsu Province Special Equipment Safety Supervision Inspection Institute, Nanjing 210000, China)
Abstract: K value is an important parameter in X-rays examination, should control the actual K value can not exceed the requirements of standard. This paper will research calculation Formula of K value on X-rays examination for circumferential butt welds and Establish a precise and efficient mathematical model for computer-aided calculation.
Key words: circumferential welds；X-rays examination；calculation； K value Formula
1 前言
JB/T 4730-2005《承压设备无损检测》附录D给出了K值分别取1.1、1.2、1.06三种情况下环焊缝100%检测时的最少透照次数曲线图，但根据附录D的曲线图确定最少透照次数后，还需要计算实际半幅射角,计算出的η角必需服从于实际最大可用半幅射角的限制[3]，而在内透偏心法透照时可能的最大K值会小于1.06，这时附录D将不再适用，因此必要的计算有助于制定更加科学合理的检测方案。
实际检测中胶片的长度可能是固定的，如何在K值满足标准要求的情况下，最大效率的利用胶片长度是主要考虑的问题，因此有必要研究由底片有效评定长度发起的计算问题。
环焊缝射线检测中存在四种透照方法涉及到较繁琐的计算(中心透照计算较简单)，本文将四种透照方法中的计算问题进行统一考虑，总体上划分为几何层计算和物理层计算两部分，并以圆心角计算为核心建立几何参数和物理参数之间的数学关系。把透照距离f或焦距F转化成圆心至焦点的距离后再参与相关的角度计算，很大程度上优化了计算方法，同时4种透照方法的几何角度计算和K值计算将使用相同的计算公式。
2 问题的几何描述
假设在平面内存在两个半径分别为Ri和Ro的同心圆(O点为圆心，Ri＜Ro),P为平面内任意一点（即焦点）,如果通过P点的一条直线L至少与内圆相交,假设该直线与直线OP的夹角为η(0°≤η≤90°，即实际透照半幅射角),求该直线与两个圆交点之间的距离与Ro-Ri的比值（即K值=A1B1/Ro-Ri）、每个交点所对应的圆心角的大小以及圆心角所对应的弧长（即有效检测长度和底片有效评定长度）与OP距离和η的关系，见图1。

图1
2.1对相关参数在几何关系上进行统一规定和几何定义:
规定直线L与内圆的交点统一标识为A1、A2，规定直线与外圆的交点统一标识为B1、B2 。对相关角度做如下符号规定和定义：
θ1：直线L与内圆交点处的法线与直线L的夹角（θ1≤90°）；
θ2：直线L与外圆交点处的法线与直线L的夹角（θ2＜90°）；
β：直线L与内圆和外圆相邻的两个交点所对应的圆心角（β＜90°）；
无论是内透法还是外透法，以上三个角度的几何关系保持不变，以圆心O点、P点和四个交点形成的三角函数关系保持不变，这使得4种透照方法下实现统一计算成为可能。θ1、θ2、β的角度值取决于OP的距离和η的大小,同时OP的距离和η的大小也决定了A1B1 、A2B2的长度(A1B1=A2B2),所以OP和η决定K值,即K应该是OP和η的函数。设f 为射线源至工件表面距离,则OP距离为:
当内透f＜Ri时,OP= Ri-f；当内透f＞Ri和外透双壁单影时,OP= f-Ri；当外透单壁单影时，OP=f+Ro 。
2.2 对有关物理参数和角度的定义（本文未定义的参数和符号与标准相同）
1）射入点半圆心角α1
在一次曝光中对搭接标记曝光成像时,射线射入（工件）点对应的半圆心角（0＜α1＜90°）。
2）射出点半圆心角α2
在一次曝光中对搭接标记曝光成像时,射线射出（工件）点对应的半圆心角（0＜α2＜90°）。
3）成像点半圆心角α3
一次曝光中搭接标记在底片上成像点对应的半圆心角（0＜α3＜90°）, α3用于考虑底片和工件之间存在贴合间隙时, 计算底片有效评定长度（见图2、图3、图4）。

图3（内透f＞Ri和外透双壁单影）

图2（内透f＜Ri）
4）透照比K
射线穿透工件时，射线射入点与射出点之间的距离和透照厚度（W）的比值。标准对最大允许透照比有限制。
5）有效检测(或透照)半圆心角α
在一次曝光中，如果射入点或射出点对应的半圆心角区域内的全部厚度，都在有效透照半辐射角η范围之内，
图4（外透单壁单影）
则射入点或射出点对应的圆心角为有效检测半圆心角，即：内透法（f＜Ri）和外透法单壁单影时，α=α1；内透法（f＞Ri）和外透法双壁单影时，α=α2 ；(见图1、图2所示)。中心透照时α=α1=α2。有效检测半圆心角α用于计算环焊缝检测比例。
6）一次有效检测（或透照）长度Le
指有效检测圆心角（2倍α）对应的沿底片侧焊缝表面的弧长，内透法和外透双壁单影时指外圆弧长，外透单壁单影时指内圆弧长。（注：将一次有效检测长度规定为底片侧的焊缝长度，以和底片有效评定长度保持在相同计算维度，有利于理解和比较。）
7）底片有效评定长度Lv
在一次曝光中,两端搭接标记在底片上曝光成像点之间的长度，Lv的理论长度等于成像点半圆心角α3对应弧长的2倍。在不考虑底片与工件之间的间隙时，Lv的理论长度等于射出点半圆心角α2对应弧长的2倍。如果曝光后实际有效评定长度大于理论计算值，可能是由于实际透照距离小于计算值，或是搭接标记放置位置偏大，这两种情况都可能造成实际K值超过标准规定，必要时应进行K值验证。
8）横向裂纹检出角θ
指射线穿透工件时，射入点的法线与射入方向的夹角（θ≤90°）。内透法和外透双壁单影时θ=θ1，外透单壁单影时θ=θ2 ，中心透照时θ等于零。
9）漏检半圆心角β
在射入点半圆心角α1 对应的全部厚度区域内，如果存在部分厚度区域不在实际透照半辐射角η范围之内，则存在漏检。漏检半圆心角β等于射线射入点和射出点之间对应的圆心角。内透法（f＞Ri）和外透双壁单影时存在漏检。
关于漏检也可以解释为当射出点半圆心角α2小于射入点半圆心角α1时存在漏检。
3 四种透照方法在几何关系上的统一计算
3.1 θ1、θ2、β与K之间的余弦定理关系：
若已知K值，在三角形OA1B1或OA2B2中，可应用余弦定理计算出θ1、θ2和β：

3.2 θ1、θ2、β与OP和η之间的正弦定理关系：
在三角形OPA1和OPB1（或三角形OPA2和OPB2）中分别应用正弦定理得到θ1、θ2、β与OP和η的关系:

（ 推导过程如下：

在三角形OAB中有:
所以得到: ）
4 K值计算公式
4.1 K值计算方法1
在三角形OA1B1或OA2B2应用正弦定理：
由
=
将和代入上式得到K值公式：

如果从进行推导，也可以得到与上式相同的结果。
4.2 K值计算方法2：
由圆心O点向直线PB2做垂直线h相交于C点（见图5,内透法时计算也是相同的）：

图5
在直角三角形OCP中有
在直角三角形OCB2中有：
在直角三角形OCA2中有：
因为
得到K值公式：
4.3 K值的取值范围分析
由K值公式计算η的一阶导数：

因为 Ri＜Ro , 所以
对于内透法，当0≤η＜90°时，cosη＞0，即K′＞0，所以K值单调递增，当90°＜η≤180°时，cosη＜0，即K′＜0，所以K值单调递减，当η=90°时cosη=0，即K′=0，所以η=90°时K达到最大值：，其变化趋势如图6所示(90°＜η≤180°时超出η的物理定义)。

图6
对于外透法，η的取值范围达不到90°，因为K值单调递增，所以η为最大值时K达到最大值（此时与内圆相切）：，但在几何意义上η的取值范围允许是180°-≤η≤180°（此时与内圆开始在另一侧相交），但这已经超出了对η的物理定义。（通过计算K的二阶导数，可以证明η在0°附近K的二阶导数为正，η在90°附近K的二阶导数为负，所以当OP<Ri 时，K值在由1变化为最大值时，至少存在一个拐点。由于二阶导数过于复杂，这个结论无法在理论上证明，但通过计算机程序计算结果可以得到验证。以上红色文字部分不作为文章内容，仅供审稿人参考。）
4.4 算例
算例1：若采用内透偏心法（f＜Ri）透照Do=1800mm，厚度30mm的环焊缝，如果f=700mm(即焦距F=730mm)，取半幅射角η=20°，则K 值为：

可能的最大K值为（假设半幅射角η=90°）：

算例2：例1中如果采用外透单壁单影，仍然取f=700mm(即焦距F=730mm)，半幅射角η=20°，则K 值为：

4.5 小结
由K值公式可以看出当K值已知时,对的求解是一个复杂的一元四次方程的求解问题，但我们发现如果利用圆内三角函数关系，先通过K值计算出θ1或θ2后再计算sinη则十分简便。
5 不同透照方法下的相关计算 (见表1)

环焊缝检测相关计算关系 表1
透照方法
中心透照
内透法f＜Ri
内透法f＞Ri
外透双壁单影
外透单壁单影
计算OP距离
OP=0
OP= Ri-f
OP= f-Ri
OP=f+Ro
统一
计算
计算K值
（应符合标准要求）

可能的
最大K值

余弦定理
关系

正弦定理
关系

射入点半圆心角α1
α1=η
α1=η-θ1
α1=η+θ1
α1=θ2-η
射出点半圆心角α2
α2 =η
α2 =η-θ2
α2 =η+θ2
α2 =θ1-η
有效检测半圆心角α
α =η
α=α1
α=α2
α=α1
一次透照检测比例

一次有效检测长度Le

底片有效评定长度Lv

Le与Lv的关系
Le=Lv
Le＜Lv
Le=Lv
Le＜Lv
100%检测最少透照次数
N= （向上圆整到整数）
5 计算机辅助计算模型的分析
本文虽然给出了环焊缝射线检测4种透照方法下的计算方法，但是如果通过手工计算来找到最佳的检测方案，计算量将是巨大的，所以利用计算程序进行辅助计算是提高工作效率的有效方法。该问题的计算包含K、θ1、θ2、β四个几何参数和与射线源有关的OP和η两个物理参数以及与曝光结果有关的α1、α2、α、Le、Lv五个物理参数。K、θ1、θ2、β四个参数在几何意义上等效，知道其中任何一个值就可以计算出其余值，所以只需选取K值作为计算变量；OP和η是两个独立的参数，必须作为计算变量(OP与f或F等效)；α1、α2、α、Le、Lv五个参数在物理意义上等效，只需选取核心参数Le、Lv作为计算变量。这样主要计算问题将在K、OP、η、Le、Lv 五个参数之间进行，知道OP、η、Le、Lv四个物理变量中的任意两个，就可以计算出其余值和K值，知道其中任意一个物理变量和K值，也可以计算出其余，所以存在的函数关系数量是个，因为4种透照方法的物理参数和几何参数之间的数学关系不同，所以将存在40组不完全相同的计算公式，如果考虑底片与工件的贴合间隙，则存在80组计算公式。但鉴于计算机程序的快捷和灵活，可以通过调节输入值来实现逆向计算，所以无需求解出全部的计算公式, 2-4套计算方案就可以满足实际工作的需求，推荐以计算变量分别为（f,η）、（f,K）、（f,Le）、（f,Lv）四种条件建立计算机辅助计算方案。
6 关于环焊缝外透双壁单影照相下K值的进一步分析
6.1 射线源偏移后的K值公式
之前我们所计算的K值都是射线源在焊缝正上方中心位置情况下的，但实际上用外透双壁单影对环焊缝检测时会让射线源（P点）偏离一定距离以避免上部焊缝对照相质量的影响，P点偏移中心位置后K值将会增大，下面对偏移后的K值计算和控制偏移量做一些探讨。

图7
图8
如图7、图8、图9所示，P是未偏移源点，P′是平行偏移S距离后的源点；偏移前半辐射角为η，射入点是A1，射出点是B1；偏移后半辐射角为η′，射入点仍然是A1，射出点是B1′。射线源偏移后发生了两个方面的改变，首先实际半辐射角发生改变，其次射入点和射出点之间距离发生改变（即K值发生了改变）。
首先证明η′＜η：
在三角形A1A2P和在三角形A1A2P′中，PO′的长度小于P′O′的长度（因为由P、P′、O′三点形成的是直角三角形，P′O′为斜边），所以η′＜η。η′＜η将意味着只要η在射线源工作半幅射角之内，偏移后实际半幅射角就不会超出射线源工作半幅射角。
K值的变化情况：
该问题的前提条件是工件半径和厚度T以及η和f已知。设偏移前射入A1点的K值为K(可由K值公式算出)，偏移后射入A1点的K值为K′,则，。

图9
由图9视图得到，的长度可以在三角形P-O-A1中计算(图7)，由O点向PA1做垂直线相交于C点，得到：=
(同理可得到,则K值公式也可以由得到证明。)
由 ，令,则得到偏移后的K值公式：

6.2 最大允许偏移量的计算
假设K′已知（K′＞K），则由偏移后的K值公式可以计算出S值，也可以在图9的关系中重新计算，其结果是相同的：

令,得到：

若K′为最大允许值，则偏移量S不能超出该计算值。
6.3 算例
算例1：采用外透双壁单影工艺，Do=900mm，厚度20mm的环焊缝，射线机半幅射工作角为20度，如果取f=980mm(即焦距F=1000mm)，若不偏移照射，取半幅射角η=18.56°（弧度=0.324），经计算K=1.09，如果源点偏移80mm后，计算偏移后的K值。若工艺要求K值不得大于1.1，求允许的最大偏移量。
mm
==914mm
偏移后的K值：==1.094
若取K′=1.1，则最大允许偏移量 =124mm，
算例2：采用外透双壁单影工艺，Do=300mm，厚度10mm的环焊缝，射线机半幅射工作角为20度，如果取f=410mm(即焦距F=420mm)，假如源点不偏移，取K=1.18，经计算半幅射角η=16.55°（弧度=0.289），若工艺要求K值不得大于1.2，求射线源点允许的最大偏移量。
mm
==375.8mm
取K′=1.2，则最大允许偏移量 =69.5mm
通过上面计算发现由于K1取1.18过于偏大从而造成允许的偏移量过小，不易操作。假如K1取1.15，经计算最大允许偏移量S=113.5mm，若按100mm偏移，偏移后的实际K值为1.19满足工艺要求。
7 结束语
实际检测中应用K值公式对K值进行验证，使之符合标准或工艺要求，可以更加科学合理的编制检测方案，在有效地控制检测质量的前提下提高底片利用率和检测效率。

参考文献：
[1]JB/T 4730-2005《承压设备无损检测》（S）
[2]《射线检测》（M），强天棚，中国劳动社会保障出版社，2008年
[3]《一次透照长度及其相关参数的自动计算》（J），周勇，无损探伤，2010年02月