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基于Drucker-Prager准则的边坡安全系数定义
及其转换

赵尚毅，郑颖人，刘明维，钱开东
(后勤工程学院建筑系，重庆 400041)

摘要：探讨了基于Drucker-Prager准则的边坡稳定安全系数定义形式，提出了各D-P准则之间的安全系数转换关系，并据此建立了基于Drucker-Prager准则的边坡稳定安全系数与传统Mohr-Coulomb准则条件下安全系数的关系。目前，ANSYS有限元软件采用的岩土材料屈服准则为莫尔–库仑六边形外接圆D-P准则，在利用有限元强度折减法计算边坡稳定安全系数时，可以先求出外接圆D-P准则条件下的安全系数，然后利用所提出的安全系数转换公式就可以直接计算出各D-P准则条件下的安全系数。对于平面应变条件下的强度问题，平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则(分关联和非关联两种情况)与莫尔–库仑准则等效，因此，通过转换就可以在ANSYS程序中实现莫尔–库仑准则，而不需要进行二次开发。这样就解决了基于D-P准则的有限元强度折减安全系数与传统工程中采用的安全系数(基于莫尔–库仑准则)的接轨问题。大量算例表明：在平面应变条件下采用平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则求得的安全系数与传统极限平衡条分法中用Spencer法求得的安全系数非常接近，且误差在1%～2%左右，已经具有相当高的计算精度，也同时证明所提出的方法具有可行性。
关键词：边坡工程；边坡稳定分析；有限元强度折减法；Drucker-Prager准则；安全系数转换；莫尔–库仑匹配D-P准则；ANSYS
中图分类号： 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2006)增1–0000–00

STRENGTH REDUCTION FINITE ELEMENT ANALYSIS OF SLOPES STABILITY USING DRUCKER-PRAGER YIELD CRITERION

ZHAO Shang-yi，ZHENG Ying-ren，LIU Ming-wei，QIAN Kai-dong
(Department of Civil Engineering，Logistical Engineering University，ChongQing 400041，China)

Abstract：Slope stability analysis was carried out using strength reduction FEM base on the Drucker-Prager criterion in this paper. The definition of slope stability safety factor base on the Drucker-Prager criterion was proposed，and the safety factor conversion formula with different DP yield criterion was deduced. The substitute relationship of safety factor base on the Drucker-Prager yield criterion and Mohr-Coulomb yield criterion was set up in this paper. Currently，the Mohr-Coulomb hexagon circumcircle DP criterion was adopted in the ANSYS program. So，we can calculate the safety factor using ANSYS with the Mohr-Coulomb hexagon circumcircle DP criterion at first，thus the safety factor base on the other DP yield criterion (such as the Mohr-Coulomb matching D-P yield criterion under the plane strain condition) can be obtained using the deduced conversion formula. Under the plane strain condition，we can adopt the Mohr-Coulomb yield criterion in the ANSYS program without secondary programming development through equivalent substitution. A series of case studies indicated that the safety factors average error between those obtained by strength reduction FEM base on plane strain Mohr-Coulomb matching DP yield criterion and those by Spencer method is about 1%–2%. The applicability of the proposed method was clearly exhibited.
Key words：slope engineering；slope stability analysis；strength reduction FEM，Drucker-Prager yield criterion；safety factor conversion formula between different DP yield criterion；Mohr-Coulomb matching D-P yield criterion；ANSYS

1 引 言

边坡稳定分析的有限元强度折减法利用不断降低岩土体强度，使边坡达到极限破坏状态，从而直接求出滑动面位置与边坡稳定安全系数，十分贴近工程设计，使边坡稳定分析进入了一个新的时代[1～8]。
在有限元强度折减法中采用不同的屈服准则会得出不同的安全系数。传统边坡稳定分析的极限平衡条分法采用的是Mohr-Coulomb准则，但Mohr- Coulomb准则在三维应力空间中不是一个连续函数，而是由6个分段函数所构成，该准则在三维应力空间的屈服面为不规则的六角形截面的角锥体表面(见图1)，在p 平面上的图形为不等角六边形，其存在尖顶和菱角，因此，给数值计算带来困难。

图1 主应力空间中莫尔–库仑屈服面(c = 0)
Fig.1 Mohr-Coulomb yield surface in principal stress space
(c = 0)

目前，国际上流行的许多大型有限元软件，比如ANSYS以及美国MSC公司的MARC，NASTRAN等均采用了Drucker-Prager准则，即
(1)
式中：，分别为应力张量的第一不变量和应力偏张量的第二不变量。，是与岩土材料内摩擦角和粘聚力有关的常数，不同的，在平面上代表不同的圆(见图2)，各准则的参数换算关系见表1。Drucker-Prager屈服准则在主应力空间的屈服面为光滑圆锥面，在平面上为圆形，不存在尖顶处的数值计算问题。

图2 各屈服准则在p平面上的曲线
Fig.2 Yield surface on the deviator plane

表1 各准则参数换算表
Table 1 Relationship of different yield criterions
编号
准则种类
a
k
DP1
外角点外接D-P

DP2
莫尔–库仑等面积圆D-P

DP3
平面应变莫尔–库仑匹配D-P(非关联)

DP4
平面应变莫尔–库仑匹配D-P(关联)

DP5
内角点外接D-P

本文主要探讨基于Drucker-Prager准则的边坡稳定安全系数的定义形式及各D-P准则之间的安全系数转换关系，并探讨基于Drucker-Prager准则的边坡稳定安全系数与Mohr-Coulomb准则条件下安全系数之间的关系。

2 基于Drucker-Prager准则的安全系数定义

传统边坡稳定分析的极限平衡条分法采用Mohr- Coulomb准则，稳定安全系数定义为
，
这种安全系数定义有明确的物理意义，安全系数定义可根据滑动面的抗滑力(矩)与下滑力(矩)之比得到。
为了和目前边(滑)坡治理工程中采用的安全系数定义形式一致，对于Drucker-Prager准则，也采用，的安全系数定义形式，这样便于工程实用。

3 不同D-P准则之间的安全系数转换

D-P准则中有多种表达形式，采用不同的D-P屈服准则得到的边坡稳定安全系数是不同的，但这些屈服条件的安全系数又是可以互相转换的，下面推导各D-P准则条件下的安全系数转换关系。
设为初始强度参数，在外接圆D-P准则条件下的安全系数为，折减后的参数为，在平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则(非关联流动法则)条件下的安全系数为，折减后的参数为，因此有
(2)
由式(1)可得
(3)
(4)
因
(5)
联立式(2)～(5)可得

(6)
式(6)即为平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则(非关联流动法则)和外接圆D-P准则(非关联流动法则)之间的安全系数转换关系式，这样只要求得了外接圆D-P准则条件下的安全系数，利用该表达式就可以直接计算出平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则条件下的安全系数。
采用同样的方法可以推得平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则(关联流动法则)条件下的安全系数和外接圆D-P准则(关联流动法则)条件下的安全系数之间的转换关系式：

(7)
进行安全系数的转换时，各D-P屈服准则之间应采用相同的流动法则，也就是说要么都采用关联流动法则，要么都采用非关联流动法则。

4 与莫尔–库仑准则条件下安全系数的接轨问题

目前，边(滑)坡治理工程中采用的稳定安全系数是基于莫尔–库仑准则的，因此，前述各种D-P准则条件下的安全系数与莫尔–库仑准则条件下的安全系数接轨的问题，本文提出：对于平面应变条件下的强度问题(比如边坡稳定安全系数、地基承载力等)，平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则与莫尔–库仑准则等效，该准则分关联和非关联两种情况。
采用非关联流动法则时(膨胀角)，
， (8)
采用关联流动法则时(膨胀角=内摩擦角)：
， (9)
也就是说，在平面应变条件下采用有限元强度折减法求边坡稳定系数时，采用平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则就相当于采用莫尔–库仑准则。
实际上，平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则就是在平面应变条件下根据与莫尔–库仑准则相匹配推导而得到的。式(9)最早是由Drucker-Prager提出的，在偏平面上该准则的屈服曲线是内切莫尔–库仑准则的圆。
目前，ANSYS有限元程序采用的屈服准则为外接圆D-P屈服准则。因此，在利用有限元强度折减法计算边坡稳定安全系数时，可先求出外接圆D-P准则条件下的安全系数，然后再利用上面推导得到的安全系数转换公式就可直接计算出平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则条件的安全系数。这样，通过转换就可以在ANSYS程序中实现莫尔–库仑准则，而不需要进行二次开发。研究结果表明，此法具有可行性，且有相当高的计算精度。
对于三维空间问题，推荐采用莫尔–库仑等面积圆D-P准则，该准则要求偏平面上的莫尔–库仑不等角六角形与D-P圆的面积相等。

5 算例验证

均质土坡，其坡高H = 20 m，粘聚力c = 42 kPa，土重度= 20 kN/m3，内摩擦角=17°，求坡角b = 30°，35°，40°，45°，50°时边坡的稳定安全系数以及对应的临界滑动面。
5.1 有限元模型建立
如图3所示，按照平面应变建立计算模型，边界条件为左右两侧水平约束，下部固定，上部为自由边界，采用非关联流动法则。计算采用的软件为美国ANSYS公司的大型有限元软件ANSYS 5.61 商业版。

有限元单元网格划分
Fig.3 FEM model.

5.2 ANSYS计算过程中的参数设置
强度折减安全系数的计算采用，的折减形式，采用非关联流动法则。以有限元静力平衡计算是否收敛作为边坡失稳的判据。力和位移的收敛标准系数均取为0.000 01，最大迭代次数为
1 000次。一次性施加重力荷载，选用全牛顿-拉普森迭代求解方法，打开自适应下降设置(如果采用关联流动法则，则建议将自适应下降关闭)。
5.3 安全系数计算结果
表2为各屈服准则采用非关联流动法则时的安全系数计算结果，传统极限平衡条分法安全系数计算采用的软件为加拿大的边坡稳定分析程序SLOPE/W。表中D-P1为外接圆D-P准则，D-P2为莫尔–库仑等面积圆D-P准则，D-P3为平面应变条件下的莫尔–库仑匹配D-P准则(非关联流动法则)，S指Spencer法。
从表2可以看出，采用平面应变条件下的莫尔–库仑匹配D-P准则(D-P3)求得的安全系数与传统Spencer法求得的安全系数非常接近，误差在1%左右，具有很高的计算精度。而采用莫尔–库仑等面积圆D-P准则(D-P2)的计算结果比Spencer法计算的结果大约6%，外接圆D-P准则(D-P1)条件下的安全系数比Spencer的计算结果大约25%。

表2 用不同方法求得的稳定安全系数
Table 2 Safety factor by different method
方法
坡角/(°)
30
35
40
45
50
FEM(D-P1)
1.91
1.74
1.62
1.50
1.41
FEM(D-P2)
1.64
1.49
1.38
1.27
1.19
FEM(D-P3)
1.56
1.42
1.31
1.21
1.12
Spencer法
1.55
1.41
1.30
1.20
1.12
(D-P1-S)/S
0.23
0.23
0.25
0.25
0.26
(D-P2-S)/S
0.05
0.06
0.06
0.06
0.06
(D-P3-S)/S
0.01
0.01
0.01
0.01
0

5.4 边坡临界滑动面的确定
根据边坡破坏的特征，边坡破坏时滑面上节点位移和塑性应变将产生突变，滑动面位置在水平位移和塑性应变突变的地方，因此，可在ANSYS程序的后处理中通过绘制边坡水平位移或者等效塑性应变等值云图来确定滑动面。图4～6为坡角 45°时的滑动面形状和位置，为了便于比较将变形显

图4 用塑性应变剪切带表示的滑动面
Fig.4 Failure surface using continuous contours of equivalent
plastic strain

图5 根据水平位移突变表示的滑动面形状
Fig.5 Failure surface using continuous contours of X
displacement

图6 用Slope/w中的Spencer法得到的滑动面形状
Fig.6 Failure surface by Slope/w

示比例设置为0。

6 结 论

(1) 探讨了基于D-P准则的边坡稳定安全系数的定义形式，推导出了不同D-P准则之间的安全系数转换关系，并据此建立了基于Drucker-Prager准则的边坡稳定安全系数与传统Mohr-Coulomb准则条件下安全系数的关系。
(2) 目前，ANSYS有限元软件采用的屈服准则为外接圆D-P准则，在利用有限元强度折减法计算边坡稳定安全系数时，可先求出外接圆D-P准则条件下的安全系数，然后利用本文推导得到的公式可直接计算出其他D-P准则条件的安全系数。
(3) 对于平面应变条件下的强度问题，平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则(分关联和非关联两种情况)与莫尔–库仑准则等效。为了使有限元强度折减法求得的边坡安全系数和传统工程实践中采用的安全系数(基于莫尔–库仑准则)接轨，同时又要使有限元数值计算变得方便，本文提出对于平面应变条件下的强度问题，可采用平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则。因此，利用本文推导的安全系数换算公式，通过转换就可以在ANSYS程序中实现莫
尔–库仑准则，而不需要进行二次开发，从而扩大了ANYS程序在岩土工程中的应用范围。
(4) 大量算例证明，在平面应变条件下采用平面应变莫尔–库仑匹配D-P准则求得的安全系数与传统Spencer法求得的安全系数非常接近，误差在1%～2%左右，已经具有相当高的计算精度，同时也证明了本文提出的方法可行。反过来也说明边坡稳定分析的极限平衡条分法中严格条分法的合理性，二者互相印证。(不同D-P准则之间的安全系数转换，可在Microsoft Excel软件中编制一段程序来轻松实现，需要该程序的读者可通过电子邮件与我联系)
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