初中数学综合题(九年级必需!).doc

综 合 题
1、（本题12分）如图，顶点为D的抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连结BC，已知tan∠ABC=1.
（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P,使△CDP的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）若点E（x,y）是抛物线上不同于A,B,C的任意一点，设以A,B,C,E为顶点的四边形的面积为S,求S与x之间的函数关系式.

2、已知抛物线（m为常数）经过点（0，4）
⑴求m的值；
⑵将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线。已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为－8.
①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；
②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由。

3、如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B、E、C、G在一直线上。
(1)若BE＝a，求DH的长；
(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值。
D
(第3题图)
B
C
A
E
F
G
H
3a
3a

4、如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）点 （填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
图12
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

5、（本小题满分12分）
B
A
O
P
x
y

如图，在直角坐标系中，为原点，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线向上或向下平移个单位长度后经过点，试求的值及平移后抛物线的最小值；（3）设平移后的抛物线与轴相交于，顶点为，点是平移的抛物线上的一个动点．请探究：当点在何位置时，的面积是面积的2倍？求出此时点的坐标．[友情提示：抛物线的对称轴是，顶点坐标是]

6、如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．
（1）求点B和点C的坐标；

（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰
的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，
若不存在，说明理由．

7、如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

B(0,4)
A(6,0)
E
F

O

8、（本题12分）如图，矩形OABC的边OC、OA与x轴、y轴重合，点B的坐标是（、1），点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD对折后，点A落在点P处（1）若点P在一次函数的图象上（如图甲），求点P的坐标；
（2）若点P在抛物线图象上，并满足△PCB是等到腰三角形，请直接写出该抛物线的解析式；
（3）当线段OD与PC所在的直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值。

9、在平面直角坐标系中，抛物线经过两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线距离相等的点的坐标．
1
2
3
1
2
3
4

10、已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；
A
B
O

D
x
y
(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．

1、(1) B(3,0), (2)
(3)当E在第四象限,
当E在第三象限,
当E在第一象限或第二象限,
2、（1）依题意得：02+4×0+m=4，解得m=4 …………………………………………………（3分）
（2）① 由（1）得：y=x2+4x+4=(x+2)2，∴ 对称轴为直线l1: x=-2 …………………（4分）
依题意得平移后的抛物线的对称轴为直线直线l2：x=2 ……………………………（5分）
故设平移后的抛物线所对应的函数关系式为y =(x-2)2+k …………………………（6分）
∵ 此函数最小值为-8，∴k=-8
即平移后的抛物线所对应的函数关系式为y =(x-2)2-8= x2-4x-4 ……………………（7分）
② 存在。理由如下：
由①知平移后的抛物线的对称轴为直线l2：x=2
当点P在x轴上方时，∵⊙P与x轴相切，故令y= x2-4x-4=3，
解得x=2± ……………………………………………………………………………（8分）
此时点P1(2+,3),P2(2-,3)与直线x=2之距均为，
故点P1、P2不合题意，应舍去。……………………………………………………………（9分）
当点P在x轴下方时，∵⊙P与x轴相切，故令y= x2-4x-4=-3，
解得x=2± ……………………………………………………………………………（10分）
此时点P3(2+,-3),P4(2-,-3)与直线x=2之距均为，
∵＜3，∴⊙P3、⊙P4均与直线l2：x=2相间，
故点P3、P4符合题意。……………………………………………………………………（11分）
此时弦AB=2×
综上，点P的坐标为(2+,-3)或(2-,-3)，
直线l2被⊙P所截得的弦AB的长为4。…………………………………………………（13分）
4、解：（1）点 M 1分
（2）经过t秒时，，
则，
∵==
∴ ∴ 2分
∴
3分
∴ 5分
∵∴当时，S的值最大． 6分
（3）存在． 7分
设经过t秒时，NB=t，OM=2t
则，
∴== 8分
①若，则是等腰Rt△底边上的高
∴是底边的中线 ∴
∴
∴
∴点的坐标为（1，0） 10分
②若，此时与重合
∴
∴
∴
∴点的坐标为（2，0） 12分

5、（1）令，则．点坐标为，． 1分
， 2分
．点坐标为． 3分
．求得． 4分
所求的抛物线解析式为． 5分
（2）设平移后抛物线的解析式为．
它经过点，
．
． 6分
平移后抛物线的解析式为． 7分
配方，得．
，
平移后的抛物线的最小值是． 8分
（3）由（2）可知，，对称轴为．
又，
边上的高是边上的高的2倍． 9分
设点坐标为．
①当点的对称轴的左侧时，则有．
．
．
． 10分
②当点在对称轴与轴之后时，则有．
．
．
． 11分
③当点在轴的右侧时，则有．
，不合题意，应舍去．
x
y
A
B
M
O
D
P
Q
综合上述，得所求的点的坐标是或． 12分

6、（1）把x =0代入得点C的坐标为C（0，2） 1分
把y =0代入得点B的坐标为B（3，0） 2分
（2）连结OP，设点P的坐标为P（x，y） 3分
=+ 　 4分
=
= 5分
=
∵ 点M运动到B点上停止，∴
∴（） 6分
（3）存在． 7分
BC==
① 若BQ = DQ
∵ BQ = DQ，BD = 2
∴ BM = 1 ∴OM = 31 = 2 8分
∴
∴QM =
所以Q的坐标为Q （2，） ． 9分
② 若BQ=BD=2
∵ △BQM∽△BCO，∴ ==
∴ = ∴ QM = 10分
∵ = ∴ =
∴ BM = ∴ OM = 11分
所以Q的坐标为Q （，） 12分

7、（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．
把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为，顶点为
（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
，
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是的对角线，
∴．
因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的
取值范围是1＜＜6．
① 根据题意，当S = 24时，即．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形．
② 当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的
坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，
使为正方形．

9、解：（1）根据题意得
解得
所以抛物线的解析式为：
（）由得抛物线的顶点坐标为B（，1），
依题意，可得C（，-1），且直线 过原点， 设直线 的解析式为，
则 解得
所以直线 的解析式为
（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，
由勾股定理得 OB=OC=BC=2，
所以△OBC为等边三角形。
易证轴所在的直线平分∠BOC，轴是△OBC的一个外角的平分线，
作∠BCO的平分线，交轴于M1点，交轴于M2点，
作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交轴于M3点，
反向延长线交轴于M4点，
可得点M1，M2，M3，M4 就是到直线OB、OC、BC距离相等的点。
可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：
①OM1 ，所以点M1的坐标为（，0）。
②点M2 与点A重合，所以点M2的坐标为（0 ，2），
③点M3 与点A关于轴对称，所以点M2的坐标为（0 ，-2），
④设抛物线的对称轴与轴的交点为N ，
M4N ，且ON = M4N，
所以点M4的坐标为（，0）
综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：
M1（，0）、 M2（0 ，2）、 M3（0 ，-2）、M4（，0）。

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