竞赛辅导-光学习题解答.doc

物理竞赛辅导——光学
一、干涉
◆杨氏双缝
1、P858-11如图的洛埃镜镜长，幕与镜的右端相距，点光源高出镜面距离为，与镜左端的水平距离，光波波长.

（1）试求幕上干涉条纹的间距，（2）试问幕上总共能出现多少条干涉条纹。（3）为了在叠加区域能看到全部干涉条纹，试问对光谱宽度有何要求？

(1)条纹间距
(2)干涉条纹数

(3)忽略半波损失，在叠加区最大光程差：

看清全部条纹的条件是：

2、P859-12间距为的双孔和后放置一会聚透镜，透镜后焦平面上放一屏幕。上述干涉装置正对遥远的双星和，在幕上观察双星产生的干涉条纹。当从小连续变大时，干涉条纹的反衬度将作周期性变化。

（1）试解释此现象；（2）若星光的平均波长为，当变到时，条纹第一次变模糊，试求双星的角间距。

(1) 设双星角距离为
入射光S在P点光程差为：
入射光在P点光程差为：

两套条纹级次差为
当两套条纹的极大值重合，条纹最清晰
当两套条纹的极大与极小重合，条纹最模糊
当d从零开始增大时，使时，条纹第一次出现模糊，
此时
（2）双星角间距
3、竞1届：波长为的两相干的单色平行光束1、2，分别以入射角入射在屏幕面MN上，求屏幕上干涉条纹的间距。

设两光束在A点位相差为，在B处点位相差为
从A到B点，光束1的光程增加BC,光束2的光程增加-AD
两束光的光程差增加值为
则
当时，恰等于一个条纹的间距

4.竞5届：若用太阳光作光源观察双缝干涉花样，为使条纹不模糊不清，两缝间隔的最大值是多少？（已知太阳光的平均波长为，）
（解题方法同2题）

5、竞10届：借助于滤光片从白光中取得蓝绿色光作为杨氏干涉装置的光源，其波长范围，平均波长为.问杨氏干涉条纹从第几级开始将变得模糊不清？
设：蓝绿光波长下限：；上限：
最不清晰条件：
所以k=4.4,即从第5级开始模糊不清。

◆薄膜干涉

薄膜干涉

6、如图所示，用波长为l= 632.8 nm (1 nm = 10-9 m)的单色点光源S照射厚度为e = 1.00×10-5 m、折射率为n2 = 1.50、半径为R = 10.0 cm的圆形薄膜F，点光源S与薄膜F的垂直距离为d = 10.0 cm，薄膜放在空气（折射率n1 = 1.00）中，观察透射光的等倾干涉条纹．问最多能看到几个亮纹？（注：亮斑和亮环都是亮纹）．

解：对于透射光等倾条纹的第K级明纹有：

中心亮斑的干涉级最高，为，其r =0,有：

应取较小整数，（能看到的最高干涉级为第47级亮斑）
最外面的亮纹干涉级最低，，相应的入射角为
因为

所以

由，得：

应取较大整数，（能看到的最低干涉级为第42级亮斑）
所以，最多能看到6个亮斑（第42,43,44,45,46,47级亮斑）

1
2
A
B

7、指导书P29：一玻璃平板置于边长为的玻璃立方体上，使两者之间形成一层薄的空气膜AB，若波长为到之间的光波垂直投射到平板上，经空气膜AB的上下表面的反射而形成干涉.在此波段中，只有两种波长取得最大增强，其中之一是.试求空气膜的厚度和另一波长
两种波长干涉极大条件：
（1）
（2）
即
因为波长范围是400nm-----1150nm
所以最大比值：；最小比值：
即要求，表中虚线均满足该式

0
1
2
3
4
5
0
1
3
5
7
9
11
1
0.33
1
1.67
2.33
3
3.67
2
0.2
0.6
1
1.4
1.8
2.2
3
0.14
0.43
0.71
1
1.29
1.57
4
0.11
0.33
0.56
0.78
1
1.22
5
0.09
0.27
0.46
0.64
0.81
1

依题意，有符合题意
对
则，膜厚
由（2）式得

牛顿环、劈尖

衬底
8.教程P56:如图是集成光学的劈形薄膜光耦合器.它由沉积在玻璃衬底上的薄膜构成, 薄膜劈形端从A到B厚度逐渐减小到零.能量由薄膜耦合到衬底上中. 为了检测薄膜的厚度, 以波长为的氦氖激光垂直投射, 观察到薄膜劈形端共展现15条暗纹,而且A处对应一条暗纹. 对激光的折射率为2.20,试问薄膜的厚度是多少?

因为有半波损失，所以暗纹条件：

在B处，，所以对应K=0
在A处对应K=14（即第15条暗纹）

所以
9.教程P57; 现有两块折射率分别为1.45和1.62的玻璃板,其中一端相接触,形成的劈尖.将波长为的单色光垂直投射在劈尖上,并在上方观察劈尖的干涉条纹.
(1)求条纹间距;

(2)若将整个劈尖侵入折射率为1.52的杉木油中,则条纹的间距变成多少?
（1）极大条件：
所以
对空气：，条纹间距
（2）浸入油中后，条纹间距变为：

10.如图所示，牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一小缝隙e0．现用波长为l的单色光垂直照射，已知平凸透镜的曲率半径为R，求反射光形成的牛顿环的各暗环半径．

解：设某暗环半径为r，由图可知，近似有：
再根据干涉减弱条件有：
，k为大于0的整数。
解得： （k为整数，且）
11.指导书P34：如图牛顿环装置，平凸透镜的曲率半径，，平玻璃板由A和B两部分组成，折射率分别为和.平凸透镜和平玻璃板接触点在这两部分平玻璃板相界之处，中间充满折射率的液体.若以单色光垂直照射，在反射光中测得右边级亮条纹的半径，级亮条纹的半径.试求
（1） 入射光的波长

（2） 左边观察情况如何？
解：
（1）右边，无
左边，有
右边相长干涉：
即
（2）亮环半径
12、P870-15三个平凸透镜、、，两两组合成牛顿环装置。以波长的单色光垂直入射，观察空气层产生的牛顿环。当和组合时，测得第10个暗环的半径为；当和组合时，测得第10个暗环的半径为；当和组合时，测得第10个暗环的半径为。设透镜两两组合时接触良好。求：三个透镜的曲率半径。
解：
A,B组合：第10个暗环处，空气厚度：
B,C组合：第10个暗环处，空气厚度：
A,C组合：第10个暗环处，空气厚度：
第10个暗环处满足：
取k=10（第10个暗环）
则
解得：
P
13.指导书P39：一曲率半径的平凹透镜盖在平板玻璃上.在空气隙中充满折射率为1.62的液体，空气隙的最大厚度.今垂直投射波长的钠黄光.试求：
（1）干涉条纹的形状和分布；
（2）最多能观察到的暗纹条数；
（3）零级条纹的位置.
解：
（1） 看到同心明暗相间圆环
（2） 暗纹条件：

最多能看到10级暗纹
（3） 当时，对应0级暗纹，在液体最外边缘处
（4） 其半径
迈克尔迅干涉仪

14、P870-19迈克尔迅干涉仪一臂的反射镜以均匀的速度平行移动。用透镜将干涉条纹成像于光电元件的取样窗上，条纹移动时，进入取样窗的光强的变化将转换成电信号的变化。
（1）若光源波长，测得电信号变化的时间频率为。试求反射镜移动的速度；
（2）若以平均波长为的钠黄光作光源，反射镜平行移动的速度取第（1）问的数值，测得电信号的拍频频率为。试求钠黄光中两波长的波长差。
（1）设一臂的反色镜在时间内移动了，干涉条纹相应也移动了个条纹，则：
,故移动速度为
(2) 设钠黄光中两谱线的波长为，当反色镜以第（1）问中的速度V匀速平移时，两套条纹分别移动，产生两种电信号，频率分别为：
合成拍频为：.
则
15、钠黄光中包含着两条相近的谱线，其波长分别为l1 = 589.0 nm和l2 = 589.6 nm (1nm = 10-9 m)．用钠黄光照射迈克耳孙干涉仪．当干涉仪的可动反射镜连续地移动时，视场中的干涉条纹将周期性地由清晰逐渐变模糊，再逐渐变清晰，再变模糊，…．求视场中的干涉条纹某一次由最清晰变为最模糊的过程中可动反射镜移动的距离d．

解：
设视场中的干涉条纹由最清晰（的明纹与明纹重合）变为最模糊（的明纹与的暗纹重合）的过程中，可动反射镜移动的距离为d,则在此过程中，
对于，光程增加了 （1）
对于，光程增加了 （2）
由(1)、(2) 联合解得 （3）
将（3）代入（1）得：

16、在用迈克耳孙干涉仪的实验中所用单色光的波长为l = 589.3 nm (1 nm = 10-9 m)，在反射镜M2转动过程中，在观测的干涉区域宽度L = 12 mm内干涉条纹从N1 = 12条增加到N2 = 20条．求M2转过的角度．
解：
由劈尖条纹公式，此处
(,)

17、用波长为l 的单色光，观察迈克耳孙干涉仪的等倾干涉条纹．先看到视场中共有10个亮纹（包括中心的亮斑在内）．在移动可动反射镜M2的过程中，看到往中心缩进去10个亮纹．移动M2后，视场中共有5个亮纹（包括中心的亮斑在内）．设不考虑两束相干光在分束板G1的镀银面上反射时产生的相位突变之差，试求开始时视场中心亮斑的干涉级k．
解：设开始时干涉仪的等效空气薄膜的厚度为，
则对于视场中心的亮斑有： （1）
对于视场中最外面的一个亮纹有 （2）
设移动了可动反射镜M2之后，干涉仪的等效空气薄膜的厚度变为e2，则对于视场中心得亮斑有 (3)
对于视场中最外面的一个亮纹有 （4）
联合解得 k = 18

二、衍射

光栅衍射
18、P908-12试设计一个透射光栅，要求：1、使波长的第二级谱线的衍射角，在此前提下角色散率要尽可能大；2、第三级光谱缺级；3、该波长的二级谱线附近至少能分辨的波长差。满足上述要求的光栅的参数设定后，试问能看到几级波长为的谱线。
（1）
光栅色散率公式，可取（这样可使D尽可能大）
（2） 第三极缺级：
（3） 光栅的色分辨本领

（4）由得，
可看见：±1，±2(0级无色散，看不到。±3缺级，±4在900方向，看不到)。
19、P917-17一衍射光栅每毫米有300条缝，入射光包含红光和紫光两种成分，垂直入射。发现在角度处的谱线同时含有红光和紫光两种成分。（1）试问在什么角度处还会出现这种复合谱线？（2）试问在什么角度处有单一的红谱线出现？
（1）
在处有复合谱线，所以

即红光第2级与紫光第3级谱线重合。
所以

重合条件，即
因为，所以；
所以在kr=4,kv=6级处也将重合，,
（2）只有kr=1,3级处，出现单一红谱线，.

20、将一束波长l = 589 nm (1 nm = 10-9 m)的平行钠光垂直入射在1 厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光缝宽度a与其间距b相等，求：
(1) 光线垂直入射时，能看到几条谱线？是哪几级？
(2) 若光线以与光栅平面法线的夹角q = 30°的方向入射时，能看到几条谱线？是哪几级？
解：
（1），当时，
又因为，
有谱线
但当k=±2，±4，± 6……时缺级，
所以只能看到5级谱线，为0，±,1，±3级
（2）

因为a=b,所以，第2,4，…缺级
所以只能看5条谱线，为+5，+3，+1,0，-1级
21、钠( Na )蒸汽灯中的黄光垂直入射于一光栅上．此黄光系由波长为589.00 nm与589.59 nm的两根靠得很近的谱线（钠双线）所组成．如在第三级光谱中刚能分辨得出这两条谱线，光栅需要有多少条刻线？ (1 nm = 10-9 m)
根据光栅的分辨本领R与条纹级次K和光栅刻线总数N的关系式：
，得：
(取平均波长)
22.竞2届：有三个透射光栅，分别为100条/mm，500条/mm，1000条/mm。以钠灯为光源，经准直正入射光栅，要求两条黄谱线离得尽量远.如果观察第一级衍射谱，应选用哪个光栅？若观察第二级衍射谱，应选用哪个光栅？
（1）当K=1时,
；；

同理，；
所以取应1000条/mm的光栅。
(2) 当K=2时, ；；，所以1000条/mm对钠黄光无二级谱线，应选500条/mm的光栅。
23.竞16届：平行光垂直照射到每毫米500条刻线的光栅上，用焦距为1m的透镜观察夫朗禾费衍射光谱，在第二级光谱中波长为600nm和600.01nm的两条谱线间的线间距多少mm？为了分辨这两条谱线，光栅的宽度至少应是多少mm
由得

因为
所以 （1）
因为
所以 （2）
将（2）中的代入（1）得：
因为
所以条
光栅宽度
24.竞19届：某光栅的光栅常数 ，每个透光缝的宽度
（1）以单色平行光正入射，通过光栅后，最多能看到多少级谱线？
（2）以和复合平行光正入射，通过光栅后，恰能分辨这两个波长的二级谱线？试问此光栅有多少条刻缝？
解
（1） 由，得kmax=16
因为k=±3，±6，±9，…±15缺级
所以最多能看到的谱线数：33-10=23
（2） 光栅分辨本领
所以
单缝衍射
25.竞5届：一单色平行光束通过一狭缝发生衍射时，当缝宽加倍时，衍射花样中心的光强为原来的几倍？单位时间内透过缝的总能量为原来的几倍？

三、偏振
马吕斯定律
26. 教程P312 通过偏振片观察一束部分偏振光,当偏振光由对应透射光强最大的位置转过时, 其光强减为一半.试求这束部分偏振光中,自然光和线偏振光的强度之比及光束的偏振度.
设:自然光的光强为In，线偏振光的光强为IP,则部分偏振光强度为
In+IP
透射光强最大值
偏振片转过600角后，透射光强：
依题意：
整理得：
；
所以，偏振度
27、使用尼科耳棱镜观测部分偏振光的偏振度，若不考虑棱镜对透射光的吸收，当透过尼科耳的光强由相对于极大值的位置转过30°时，透射光强减弱为4/5，求该光束的偏振度．
（1）
已知，当时， （2）
将（2）代入（1）得：

所以偏振度P=66.7%
28、线偏振光垂直入射于石英晶片上（光轴平行于入射表面），石英主折射率no = 1.544，ne = 1.553．(1) 若入射光振动方向与晶片的光轴成60°角，不计反射与吸收损失，估算透过的o光与e光强度之比．(2) 若晶片厚度为0.50 mm，透过的o光与e光的光程差多大？
解：
（1）O光振幅；
e光振幅；
，两光强之比
（2）晶片厚度d=0.50mm，两光程差
29、教程P321:强度为的自然光，垂直入射到方解石晶体后又垂直入射到另一块完全相同的方解石晶体上。两块晶体的主截面之间的夹角为，试求当和时，最后透射出来的光束的强度（不考虑反射、吸收等损失）.

30、教程P371.4:在两个正交的理想偏振片之间有一个偏振片以匀角速度绕光的传播方向旋转，若入射的自然光强为，试证透射光强为.
解：

偏振光检验
31、教程P338:波长的一束左旋圆偏振光垂直入射到厚的方解石波片上，试问透射光束具有什么样的偏振态？已知，.
解：左旋圆偏振光电矢量的分量
，
e光、O光之间的相位差

所以，该方解石时半波片，透射光的分量是：
；
是右旋光。
偏振光干涉

32.指导书P217：经偏振片观察部分偏振光，当偏振光由对应最大强度的位置转过时，光强减为一半，试求光束的偏振度。

解： (1)
(2)
偏振度 (3)
由（2）得，所以

33、在二正交偏振片Ⅰ，Ⅱ之间插入一厚度为d = 0.025 mm的方解石波晶片，晶片表面与偏振片平行，光轴与晶面平行且与偏振片的偏振化方向成45°角，如图所示．已知方解石的no = 1.658，ne = 1.486．若用波长在450 nm到650 nm ( 1nm = 10-9 m)范围内的平行光束垂直照射偏振片Ⅰ，通过图中三个元件之后，哪些波长的光将发生消光现象？（假设在上述波长范围内no，ne的值为常数）
解：由于，即当
发生消光
所以
在题给的波长范围内，发生消光波长为：

34、教程P372:单色平行自然光垂直入射在杨氏双缝上，屏幕上出现一组干涉条纹.已知屏上A、C两点分别对应零级明纹和零级暗纹，B是AC的中点，试问：（1）若在双缝后放一理想偏振片P，屏上干涉条纹的位置、宽度会有何变化？AC两点的光强会有何变化？（2）在一条缝的偏振片后放一片光轴与偏振片透光方向成的半波片，屏上有无干涉条纹？A、B、C各点的情况如何？

35.指导书P231：在两个正交尼科耳棱镜之间插入一方解石晶片，他的光轴与表面平行，并与尼科耳棱镜的主截面成角.设光通过第一个尼科耳棱镜后的振幅为1，试求：
（1） 通过晶片时分解出来的O光和E光的振幅和强度；
（2） 这两束光通过检偏器后的振幅和强度.
（1）
所以
（2）

振幅

36.指导书P232：两尼科耳棱镜主截面的夹角为，中间插入一块水晶的的波片，其主截面平分上述夹角，光强为的自然光入射时，试求：
（1） 通过波片后光的偏振态；
（2） 通过第二个尼科耳棱镜的光强.
解：
（1） 自然光通过第一个尼克尔
棱镜N1后成线偏振光，
再通过波片后成正椭圆
偏振光
（2） 如图所示,
因为:

所以：
因为：

所以：

37. 竞10届：偏振片和1/4玻片可组成一个圆偏振器，其中偏振片的偏振化方向与1/4玻片的光轴夹450角。现有两个圆偏振器，偏振片用N1和N2表示，1/4玻片用P1和P2表示,按P1- N1-N2-P2顺序排列，N1和N2偏振化方向间的夹角为，以光强为I0的自然光垂直入射到上述偏振系统，则透射光的偏振状态为 ，光强为 。
解：自然光通过1/4玻片P1后，仍为自然光，且光强不变，次光再通过偏振片N1和N2后成为光强是得线偏振光，其光振动方向与N2的偏振化方向相同，与1/4玻片P2的 光轴夹角为450.故最后出射的光应为圆偏振光，其强度仍是
S1
S0
S2
38. 竞11届：杨氏双缝实验装置如图，当用单色自然光照射逢源S0时，在屏幕上可得到一组明暗相间的条纹。今在S0处贴放一偏振片P，使其通振方向与缝S0平行；在S1、S2处各贴放一个相同的半波片Q1和Q2,并使其中一个半波片的 光轴与缝平行，另一个的 光轴与缝垂直。不计P、Q1和Q2对光的吸收，则与原干涉图样相比，屏上条纹位置及强度如何变化。

解：在S0后放偏振片P后，自然光入射后变成光振动方向与缝平行的偏振光，且光强度减半；此线偏振光对于S1，S2后放置的半波片Q1，Q2而言，一个为e光，一个为O光，故通过半波片后要附加上的位相差，这引起屏上条纹平移半个条纹间距（或明暗相反）。
同时由于自然光变成线偏振光后强度减半，故屏上条纹强度减半。
39. 竞15届：如图所示，偏振片P1和P2相互平行放置，它们各自透光方向与图中y轴方向的夹角分别为.光强为I0，沿y轴方向振动的线偏振光从P1左侧正入射，最后通过P2出射的光，其强度记为I1.若将原线偏振光改从P2右侧正入射，最后通过P1出射的光，其强度记为I2.那么
I2：I1=？.若用自然光代替原线偏振光，则I2：I1=？

解：（1）
n 从P1左侧正入射

n 从P2右侧正入射

（2）若用自然光代替原线偏振光
40. 竞16届：单色平行自然光通过分束器B分成相互垂直的两束光Ⅰ与Ⅱ，A1和A2是相同的玻璃反射面，Ⅰ与Ⅱ均以布儒斯特角分别入射到A1、A2,反射后得到光强相等的两束光Ⅰ/与Ⅱ/.在Ⅰ/与Ⅱ/重叠区放一观察屏P，使Ⅰ/与Ⅱ/对屏的法线对称。
（1）求屏上干涉条纹的间距
（2）在Ⅱ的 光路上放置一片偏振片，使其偏振化方向与纸面的法线成600角，求屏上干涉条纹的可见度.
B
A1
A2
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ/
Ⅰ/
P

解（1）Ⅰ/与Ⅱ/的夹角为：
所以屏上干涉条纹的间距
（2）设Ⅰ与Ⅱ这两束自然光的光强均为2I0，则Ⅱ通过偏振片后为沿偏振化方向的偏振光，光强为I2=I0,被A2反射后，为垂直于纸面的偏振光，光强为. 与被A1反射的光强为的线偏振光满足相干条件，屏上总光强为：
，（为两束光的位相差）
故有
可见度
26