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微积分教学案例集萃

数学教研组

序
在多年的教学实践中，作为数学教师，我们比较苦恼的是找不到足够多的、合适的、紧密联系生活且引人入胜的教学案例。如何让学生对数学感兴趣，让学生觉得学了数学有用，一直是数学教师的最大困扰。回顾培训中心二十多年来采用过的高等数学教材，其中能引起学生兴趣的教学案例很少。职大统考时期一直选用同济大学编的本科教材一至四版，2000年后则选用了几种不同版本的高职高专教材。这些教材大多受传统微积分教材编排的影响，过于注重理论、运算技巧之类的知识，对微积分的应用介绍也仅限于在数学和物理学科问题方面，现实生活中的应用几乎没有。学生通过教材看到的是一大堆的数学符号，看不到实际应用的案例，自然会感到学了数学没用，渐渐对数学的学习失去了动力。
在一次为朋友的孩子做辅导时，我惊喜地发现他们大学的自编教材中有许多真实、新颖的案例。此后我又多方搜集，发现不少大学的自编教材都有些生动的、简单适用的案例。这次选编的案例主要来自科学出版社出版的中南大学韩旭里、刘碧玉、李军英主编的《大学数学教程》第一册，湖南大学黄立宏、孟益民主编的《一元微积分》，以及高教出版社出版的吴云宗、张继开凯主编的《实用高等数学》等几个不同版本的大学教材。此外，笔者的大学同学、安徽工业大学教授陈文波也提供了部分案例。事实上我国从上世纪末就在大学中开展了大学生数学建模比赛，这些应该是近几年大学生数学建模的新成果。所选的案例真实生动，实用性强。所用数学模型涵盖函数、极限、连续、微分、定积分、微分方程等各方面知识，教师可以根据需要选用。既可以作为开篇故事用，也可以作为例题或思考题用。
该项目用时近两个月。在资料整理和文字录入工作中，周立菁、王爱莲、马生章等教师均施予援手。数学组教师共同审阅文稿并提供了部分问题的参考答案。该项工作得以按时完成，也是学历部领导策划和督促的结果。在此一并致谢。

学历教育部数学组 何永红
2010年5月

微积分教学案例
一、 函数、极限、连续部分
案例1 、学生实习中遇到的困难——超市搭配销售问题
市场营销专业张同学去商场实习。经理让其推销甲、乙两种互补型产品各300个，甲10元3个，乙10元2个。同学张将其捆绑销售，以20元5个的价格很快把商品售磬。但经理不但没表扬反而让他赔上100元。请你们帮助他算算帐，问题出在哪里？
若甲产品价格为20元3个，乙产品10元2个，销售任务也是各300个，按分开卖与搭配卖两种情况重新计算，结果与前面有何不同？如果你是商场经理，你能制定一种有利于商场的搭配销售策略吗？如果你是消费者，你能看出是否对消费者有利吗？
参考解答：一般地讨论，设甲个元，乙个 元，各有个，且、整除，整除。不妨设,考查的解的情况，即可得出结论。
案例2 、怎样合理避税——10万元收入分月兑现与一次性兑现一样吗？
王先生年收入不低于10万元，但老板每月仅支付其生活费3000元，其余年底根据工作考核情况一次补足。结果造成王先生12月份纳税额急剧升高。王先生要求单位每月先支付7000元，其余2万3年底补足。老板认为先发后发一样。果真如此吗？请你给他们计算以下。
附：个人所得税税率表
级数
全月应纳税所得额（超出2000元部分）
税率（%）
1

5
2

10
3

15
4

20
5

25
6

30
7

35
8

40
9

45
案例3、蛛网模型
在市场经济中存在这样的循环现象：若去年的猪肉生产量供过于求，猪肉的价格就会降低；价格降低会使今年养猪者减少，使今年猪肉生产量供不应求，于是肉价上扬；价格上扬又使明年猪肉产量增加，造成新的供过于求…… ．
据统计，某城市2001年的猪肉产量为30万吨，肉价为6元／公斤．2002年生产猪肉25万吨，肉价为8元／公斤．已知2003年的猪肉产量为28万吨．
问题与假设：若维持目前的消费水平与生产模式，并假定猪肉产量与价格之间是线性关系，问若干年以后猪肉的生产量与价格是否会趋于稳定?若能够稳定，请求出稳定的生产量和价格。
参考解答：设第年的猪肉生产量为，猪肉价格为。．由于当年产量确定当年价格，故，而当年价格又决定第二年的生产量，故。 在经济学中，称为需求函数，称为供应函数，产销关系呈现出如下过程：

令坐标为，坐标为，坐标为，坐标为，…,坐标为，坐标为，k=1,2,….将点，，，…描在平面直角坐标系中会发现都满足，都满足，画出图形，这种关系很像一个蛛网，故被称为蛛网模型。
将2001年的猪肉产量记为，2001年的猪肉价格记为，依次类推。
根据线性假设，需求函数是直线，且，位于此直线上，故需求函数为：
供应函数也是一条直线，且，位于此直线上，故供应函数为：
于是我们得到如下递推关系：
现在来计算，的极限。由上面二式可得
，
因此
（万吨）
，
（元/公斤）。
通过上述分析可知，猪肉的产量和价格都会趋于稳定，猪肉产量稳定在年产26．875万吨．猪肉价格稳定在每公斤7.25元．
思考题1 请预报2003，2005，2007年的猪肉产量与价格．(答：生产量依次为28，27．28，27．021万吨，肉价依次为6.80，7.09，7.19元／kg)．
思考题2 若需求函数为，供应函数为，问满足什么条件时和才有极限存在? 并证明此极限值恰为两条直线的交点．(答案：要求)．
案例4、方桌问题
在一块不平的地面上，能否找到一个适当的位置而将一张方桌的四脚同时着地?对于这个似乎与数学毫无关系的问题，我们下面将利用一个巧妙而又简单的数学模型给出一个肯定的回答．
首先，我们假设
(1)方桌的四个脚构成平面上的严格的正方形：
(2)地面高度不会出现间断，亦即不会出现台阶式地面．
分析如下图1，

以正方形的中心为坐标原点，当方桌绕中心转动时，正方形对角连线向量CA与x轴所成之角为．设A、C两脚与地面距离之和为，B、D两脚与地面距离之和为．不失一般性，设=0．另外，方桌在任何时刻总有三只脚可以着地，即对任何，与中总有一个为零．由假设条件(2)，与皆是的连续函数．这样，我们把方桌问题归结为数学问题：对连续函数及，=0，，且对任意，皆有。=0，证明：存在使。
证 （1）若，则取即可证明结论。
（2）若，则将方桌旋转，这时，方桌的对角线互换，故，，构造函数，则
。
显然，是连续函数，由连续函数的介值定理，存在，使，即，又由于
，
故有

原问题得到解决．

思考题 如果将方桌改成长方形桌子，是否还有相同的结论?
案例5、危险气体检测报警装置设计模型
据不完全统计，2004年国我发生多起煤矿瓦斯爆炸安全事故。死亡人数达6027人，超过伊拉克战争中美军死亡人数的数倍，瓦斯是酿成煤矿事故的第一”杀手”，瓦斯治理是煤矿安全生产的的核心任务，瓦斯是一种无色无味的气体，平时靠瓦斯检测仪进行检测，如果矿井安装了瓦斯检测仪，瓦斯浓度一旦超标时就能及时报警，矿工们也就会平安升上地面……..
那么，瓦斯检测仪为什么能够检测出瓦斯的浓度，并根据检测出的瓦斯浓度发出报警声，它是怎样设计出来的？据了解，矿井中含有瓦斯的空气被吸入盛有瓦斯吸收剂的圆柱形过滤检测仪后，出来的空气中的瓦斯气体浓度会降低，而且，这种检测仪吸收瓦斯的量与矿井空气中瓦斯的百分比浓度及吸收层厚度成正比。
对于一个具有特定厚度的检测仪，若进口处的瓦斯浓度较高，则其出口处的瓦斯浓度也会相对较高。假设现有瓦斯的含量为8%的空气，通过厚度为10cm的吸收层后，其瓦斯的含量为2%，
问：（1）若通过的吸收层厚度为30cm，出口处空气中的瓦斯含量是多少？
（2）若要使出口处空气中瓦斯的含量为1%，其吸收层的厚度应为多少？
参考解答：设吸收层厚度为 ，现将吸收层分成小段，每小段吸收层的厚度为 ,现已知吸收瓦斯的量与瓦斯的百分浓度以及吸收层厚度成正比，对于瓦斯含量为8%的空气。
通过第一小段吸收后，吸收瓦斯的量为k8%,空气中剩余的瓦斯含量为 8%—k8%=8% （1—k），
通过第二小段吸收后，吸收瓦斯的量为k8%（1—k），空气中剩余的瓦斯含量为
8% （1—k）—k8%（1—k）=8%（1—k），……
依此类推：通过第n小段吸收后，吸收瓦斯的量为k8%（1—k），空气中剩余瓦斯含量为：
8% （1—k）—k8%（1—k）=8%（1—k）
当时，即将吸收层无限细分，通过厚度为d cm 的吸收层后，出口处空气中的瓦斯含量为 8%（1—k）（）
案例6、病人为何要按时吃药
病人能否很快康复，很多时候取决病人是否按时吃药。因为，病菌藏于我们的身体内，通过吃药让药物成分融入人的血液，通过血液循环传遍全身，当血液中药物的浓度达到一定时就会对病菌起杀灭或抑制作用。但随着时间的推移，经血液循环，药物逐渐为身体所吸收，从而使血液里药物浓度降低。当血液里的药物的浓度降到一定水平将不足以对病菌起到杀灭或抑制作用，这时就需要吃药；再次吃药后使血液里的药物浓度再次升高到能再次对病菌起到杀灭或抑制作用的浓度；这个过程反复几次，直到病人身体完全康复为止。
在医学上，是怎样确定一种药物被人体吸收后达到的足以对病菌起杀灭或抑制作用的时间的？怎样确定给药剂量的呢？
参考解答： 下面我们用所学的极限理论来求解案例，先分析如下：根据药物动力学理论，一次静脉注射剂量为的药物后，经过时间t，体内血药浓度为，其中k>0为消除速率常数，V为表现分布容积，若每隔时间T注射一次，记第n次注射后体内血药浓度为，则第n次注射后药液扩散被身体吸收中且尚未进行第n+1次注射时体内血药浓度为

以时间为横轴，血药浓度为纵轴，得到图2

不难看出，在每一注射周期内，血液浓度下降的规律相同，随着注射次数n的增大，体内血药浓度有上升的趋势。（这正如像一碗干净的水里每隔时间T便向碗里滴红墨水一样，整碗水中红墨水的浓度会逐渐增大.）
那么 ，随着n的无限增大，血药浓度是否会无限上升呢？这就需要观察
时的极限.
,
这就是周期性静脉注射情形下体内血药浓度的稳态水平，也称为坪浓度，记为.
.
临床应用时，即以此数值为依据制定给药剂量与方案。
案例7、饮酒驾车问题
据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因酒后驾车造成的死亡人数占有相当的比例。
针对这种严重的道路交通情况，国际质量监督检验检疫局2004年5月31日发不了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准。新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml，小于80mg/100ml为饮酒驾车（原标准是小于100mg/100ml），血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml为醉酒驾车（原标准是大于或等于100mg/100ml）。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
(1)对大李碰到的情况做出解释。
(2)在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：a,酒是在很短时间内喝的；b,酒是在较长一段时间（比如2h）内喝的。
(3)怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
(4)根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
(5)根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
参考数据
(1)人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体一样。
(2)体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（mg/100ml），得到数据如下：
时间（h）
0.25
0.5
0.75
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
酒精含量
30
68
75
82
82
77
68
68
58
51
50
41

时间（h）
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

酒精含量
38
35
28
25
18
15
12
10
7
7
4

案例8、非法传销“魅力” 何在？
近年来，非法传销引起了人们广泛关注，特别是重庆2000名大学生参与非法传销的新闻报道，其参与人数之多，波及范围之广，更是让国人大为震惊。同时，非法传销也给人们带来思考：它为何有如此“魅力”使人沉醉其中？
传销，在国（境）外又称直销，一般是指企业不通过店铺经营等流通环节，将产品或服务直接销售、提供给消费者的一种营销方式。
由于传销销售有成本较低等优点，国外许多企业采用了这种营销方式，传销传入我国后，立即发生了变异，一些不法分子利用传销具有组织上的封闭性、交易的隐蔽性和传销人员的分散性等特点，利用我国市场经济体制尚不完善和群众消费心里尚不成熟，进行各种违法犯罪活动。
这些变异的非法传销具有两个明显特征：一是传销的商品价格严重背离商品本身的实际价值，有的传销商品根本没有任何使用价值和价值，服务项目纯属虚构；二是参加人员所获得收益并非来源于销售产品或服务等所得的合理利润，而是他人加入时所缴纳的费用，他们与国（境）外的“老鼠会”、“金字塔欺诈”如出一辙（图3）

实际上就是一种组织者等少数人聚敛钱财，是绝大多数加入者沦为受害者的欺诈活动。
参与群众缴纳的费用完全被不法分子非法占有或支付上线的收益。多数不法分子仅将参与者缴纳的费用的一小部分用于维持非法活动的运作，大部分早已转入个人账户，一旦难以为继或败露就准备携款潜逃。
下面我们来介绍斐波那契数列（Fibonacci），并借此看一看国（境）外的“老鼠会”、“金字塔欺诈”运作的数据原理——斐波那契数列：
有幼鼠一对，若第二个月他们成年，第三个月生下幼鼠一对，以后每月生产一对幼鼠，而所生的幼鼠亦在第二个月成年，第三个月生产另一对幼鼠，以后亦每月生产一对幼鼠，假设每产一对幼鼠必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有成年与未成年老鼠多少对？两年以后又有多少？……..，k年后年呢？
将上述老鼠生产繁殖过程画成图，即构成金字塔结构（见图3）其中“ ”表示“幼鼠，”“ ”表示“成年鼠”）
从图3-14可以看出：一月份共有老鼠1对;二月份仍有老鼠1对。你还可看出，从三月份开始，每月的老鼠总数恰好等于它前面两个月的老鼠总数之和，按这规律可写出数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…
可见一年后共有老鼠233对。
这是一个有限项数列按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。若设

则次数列有下面的递推关系：
。
关系可以用数学归纳法来证明，由极限的有关理论可以推出其中的通项为：
。
当时，。
当，
从上面的数据，我们不难看出，“老鼠会”强盛的繁殖能力，也不难看出，为什么传销具有这样大的“魅力”了。
二、导数与微分部分
案例9、海鲜店李老板的订货难题
某海鲜店离海港较远，其全部海鲜采购均需通过空运实现。采购部李经理每次都为订货发愁，因为若一次订货太多，海鲜店所采购的海鲜卖不出去，而卖不出去的海鲜死亡率高且保鲜费用也高；若一次订货太少，则一个月内订货批次比多，这样，一则造成订货采购运输费用奇高，另一方面还有可能会丧失商机。
商店李老板为此伤透了脑筋，如果你是李老板的助手，请问你打算怎样帮助他选择订货批量，才能使每月的库存费与采购订货运输费用的总和最小。
参考答案：现假设该海鲜店每月消耗海鲜，一个月分若干批进货，每批采购订货运输费为元，并设该海鲜店客源稳定，均匀消费，且上批海鲜消费完后，下一批海鲜能立即运到，即平均库存量为批量的一半，设每月每千克海鲜保鲜库存费为元。问如何选择批量，才能使每月的库存费与采购订货运输费用的总和最小。
设批量为，采购订货运输费与海鲜保鲜库存费的总和为
首先，求出函数，因每月消耗量为，所以每月的订货批次为，则每月的采购订货运输费用为元，又因库存量为，故每月的保鲜海鲜库存费用为元。这样
=+
其定义域为
求导即得答案。
案例10、咳嗽问题
问题 肺内压力的增加可以引起咳嗽，而肺内压力的增加伴随着气管半径的缩小，那么半径的缩小是促进了还是阻碍了空气在气管里的流动?
参考答案：为简单起见，我们把气管理想化为一个圆柱形的管子，记管半径为．由物理学中的知识，在单位时间内流过管子的流体的体积为
其中为无压力差时的管半径，为常数。
下面我们从两方面来回答：较小半径的气管促进了还是阻碍了空气在气管里的流动?
(1) 什么样的值使V最大?
由

所以

当时，；当时，。
可见时使单位时间内流过气管的气体体积最大．
(2)如果用来表示空气在气管中流动的速度．显然，由上式得

由

得因此当时，速度取得最大值。
从上述两个方面来看，咳嗽时气管收缩(在一定范围内)有助咳嗽，它促进气管内空气的流动，从而使气管中的异物能较快地被清除掉。
案例11、手机生产商的定价问题
某手机制造商估计其产品在某地的需求价格弹性为—1.2%，需求收入弹性为3，当年该地区的销售量为90万单位。据悉，下一年居民实际收入将增加10%，制造商决定提价5%,问手机制造商应如何组织生产（即计划明年的生产量是多少）？如果该手机制造商下一年的生产能力最多比当年可增加5%，为获得最大利润，该手机制造商应如何调整价格？提价还是降价？调整多少？
参考答案：（1）设需求函数为（p为价格），需求收入函数为(R收入)，依题意
由知，价格每提升1%，销售量将减少1.2%，这样由于公司提价5%，即，使销售量减少为5%1.2=6%，即 = —6%；
又由于，预计明年的收入将增加10%，即，这样由于居民收入增加10%将使销售量增加10%3=30%，即=30%。
综合上述两因素的影响：可知明年的销售将增加的百分比为：

又=90万单位，由，
得 Q=1.24 =1.2490= 111.6万单位。
所以，该手机制造商明年的生产量大约为111.6万单位。
(2) 如果手机制造商下一年的生产量最多可增加5%,即= 5%，由于居民收入增加10%将使销售量增加10%3=30%，如果此时手机制造商不采取提高价格的措施，产品将供不应求，为缓解供求矛盾，也为厂家能获得最大利润，只能采取提价措施。
案例12、陈酒出售的最佳时机模型
某酒厂有批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入万元，如果窖藏起来待来日(第n年)按陈酒价格出售，第n年末可得总收人为 (万元)．而银行利率为r=0.05．试分析这批好酒窖藏多少年后出售可使总收人的现值最大
问题分析与建立模型：
如果考虑第n年售出陈酒的总收入的现值，可以建立一个简单的数学模型，使问题更直观．设想现在将X(万元)存人银行，到第n年时增值为 (万元)．根据复利公式，我们称X为的现值．故的现值计算公式为

的最大值点即为陈酒出售的最佳期时机．
三、定积分部分
案例13、城市交通流下黄灯闪烁时间应该怎样设置？
在北京、上海、广州等大城市乘坐公交车，我们常会遇到等交通灯的烦恼问题。
交通路口的指挥灯信号有红、黄、绿三种颜色，在绿灯转换成红灯之前有一个过度状态，这个过度状态是由黄灯来完成的。通常是亮一段时间的黄灯后才变成红灯信号。交通指挥信号设置合理，即可保证交通安全又能避免某一方向的车流等待太久，减少司机、乘客的烦恼，如果交通指挥灯闪烁时间设置不合理，虽也可在一定程度上保证交通安全，但有时往往会造成人们等待某一方向的“车龙”太长，白白浪费了司机、乘客的宝贵时间，无谓的增添了司机、乘客的烦恼。
那么，怎样设置交通指挥灯各种颜色信号灯闪烁时间的长短，特别是黄灯闪烁的时间才合理呢？
分析：黄灯信号的作用之一是：当机动车行驶到设有红绿灯的路口时，提醒驾驶员注意红绿灯信号，当遇到红灯时应立即停车让横向的车流和人流通过，但已越过停止线的车辆可以继续行驶；黄灯信号的作用之二是：当黄灯闪烁时，机动车、行人在保证安全的原则下通行。
停车是需要时间的，在这段时一段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离，这就是说，在离路口距离为处存在一条停车线，对于黄灯亮时已经过线的车辆，则应保证它们仍能穿过马路而不能与横向车流相撞。道路的宽度是已知的，现在的问题是如何确定的大小。
应当划分为两段：和，其中是驾驶员发现黄灯亮时刻起到他判断应当刹车的反应时间内机动车行驶的距离，为机动车制动后到停下来车辆行驶的距离，即刹车距离。是容易计算的，因为交通部门对驾驶员的平均反应时间早有测算，而在城市不同路况道路对车辆行驶速度已有明确规定，就是选择适当的行驶速度使交通流量达到最大。于是，=
刹车距离可通过下述方法求得。假设汽车在城市路面上以速匀速行驶，到某处需要减速停车，汽车以等加速度= 刹车。设开始刹车的时刻为=0,刹车后汽车减速行驶，其速度函数满足=
积分，得
由初始条件，得
当汽车停住，，得，
从而，，黄灯闪烁时间。
案例14、租客机还是买客机问题
问题 某航空公司为了发展新航线的航运业务，需要增加5架波音747客机。如果购进一架客机需要一次支付5000万美元现金，客机的使用寿为15年，如果租用一架客机，每年需要支付600万美元的租金，租金以均匀货币流的方式支付。若银行的利率为12%，请问购买客机与租用客机那种方案为佳？如果银行的年利率为6%呢？
解 购买一架飞机可使用15年，但需要马上支付5000万美元，而同样租一架飞机使用15年，则需要以均匀货币流方式支付15年租金，年流量为600万美元。两种方案所支付的价值无法直接比较，必须将它们都化为同一时刻的价值才能比较。我们以当前价值为准。 购买一架飞机的当前价值为5000万美元。
只需计算均匀货币流的当前价值

因此，15年的租金在当前的价值为

代入 P = ( 1 － )≈4173.5(万美元).
比较可知，此时租用客机比购买客机合算.
当 r=6% 时，
P = ( 1－ )≈5934.3(万美元)
此时购买客机比租用客机合算.
案例、天然气产量的预测计算
问题 工程师们已经开始从墨西哥湾的一个新井开采天然气.根据初步的试验和以往的经验，他们预计天然气开采后的第t个月的月产量由下面的函数给出：
P（t）= 0.0849t（百万立方米），
试估计前24个月的总产量.
解 前24个月的总产量为
P = ，
直接计算这个和式较难，应用定积分来估计它.
令
=0.0849t，0≤t≤24 ，
则
P = ，
且
f′（t）=0.0849（1－0.02t）≥0.
从而f(t)为递减函数，由定积分的性质有：
I1==≤ = P .
I2 ==≥ = P .
而
I1=
= 0.0849
=0.0849
=0.0849×50
=0.0849×50
=0.0849×50
=0.0849×50
≈ 17.8716（百万立方米）
类似地，可得
I2 =≈19.1039（百万立方米）
从而有
P ===18.4878 (百万立方米)
案例16（待续）。
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