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第九讲 电磁现象
一、竞赛内容提要：
1．磁场：电流的磁场 磁感应强度 磁感线 匀强磁场 安培力 洛仑兹力 电子荷质比的测定 质谱仪，回旋加速器
2．电磁感应 法拉弟电磁感应定律 楞次定律 自感系数 互感和变压器
二、竞赛中涉及的问题
（一）磁场
不论是磁体的磁场，还是电流的磁场，都是由于电荷的运动而引起的。
1．磁感应强度B 将电流元放入磁场中，L⊥B，则，B的大小描述磁场强弱，B是矢量 2．磁感线（略）
3．直线电流的磁场 真空中无限长载流直导线产生的磁场 ，I是产生磁场的直导线电流，为与直线相距之处，
例1：将三根平行直导线放在同一平面内，1、2和2、3间距离都是1cm，其上电流I1＝I2，I3＝－(I1＋I2)，方向如图，试求一直线位置，在这线上B＝O，导线1所受磁场力是多大？
1
2
3

S
B
N
α
4．匀强磁场：两个靠得很近的互相平行的异名磁极之间的磁场或通电长直密绕螺线管内的磁场是匀强磁场、特点。B处处相同，磁感线平行且等距。
5．磁通量φ φ＝BS⊥ S⊥表示S投影到垂直于B方向去的面积。
如图，，若线圈翻个面时，磁通量变化量大小为

（二）安培力
计算公式：，θ为L与B的夹角，F的方向总是垂直于B与I决定的平面。
（三）磁力矩 θ为线圈平面与磁场方向所夹的角，S为线圈面积，而不管该线圈是否矩形线圈。
R
ω
例2：如图，一质量均匀的细圆环，其半径为R，质量为m，均匀带电，电量为Q，现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感应强度为B的匀强磁场中，B方向垂直向下，当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速ω绕图示方向旋转时，环中的张力增加多少？（第一届全国竞赛决赛题）

h
xh
B
例3：一根长为L的导线，载电流为I，如果此导线绕成单匝线圈放在磁感应强度为B的匀强磁场中，在什么情况下，这个线圈所受的磁力矩最大？最大磁力矩值是多少？

I
θ
L
B
例4：如图：斜面上放有一木质圆柱，m＝0.25kg，半径为R，长L＝0.1m，顺着圆柱缠着N＝10匝的导线，圆柱体的轴位于导线回路的平面内，在斜面处，有一铅直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5T，若绕组平面跟斜面平行，则通过回路的电流要有多大，圆柱体才不致沿斜面向下滚动？

（四）洛仑兹力 ，式中θ为B、v间的夹角，f总垂直于B、v所在的平面，方向由左手定则判定。∵f⊥v，∴洛仑兹力在任何情况下都不做功，粒子v⊥B时，做匀速圆周运动，若粒子射入匀强磁场，0＜θ＜90˚，此粒子将作等距螺旋运动。（运动的分解）
P′
＋
P
S1
S2
N
R
S3
A′
A
B′
B
1．质谱仪是用来研究物质同位素的装置，如图，N为离子源，S1、S2为加速电场，S2的下方为一垂直纸面向外的匀强磁场B，P、P′间另有电场E（PP′实际上是一个速度选择器），从PP′直线出来的粒子垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，即，。∵在PP′间，有qvB＝qE，∴，∴。其中E、B、B′是人为加上去的，R可测量，这样就可得出荷质比，若q知道，还可测出离子质量m。
D1
D2
B
2．回旋加速器
右图为回旋加速度示意图，两D形盒间加上高频振荡电压，其在两盒间电压可用于加速带电粒子，在加速器中心有离子源，离子出来后，在两D形盒缝隙间被加速，进入一边D形盒的磁场中做匀速圆周运动，，当它运动半周再次回至D形盒缝隙时，速度方向与上次过缝隙时相反，经历时间，若缝隙中方波交变电场恰好反向，则粒子在缝隙中每次经过时都被加速，如此反复循环直至获得足够能量为止，然后再引出。
I
B
h
b
3．霍耳效应 将一载流导体放在磁场中时，由于洛仑兹力的作用，会在与磁场和电流二者垂直的方向上出现横向电势差，这一现象称为霍耳效应，这电势差称为霍耳电势差。
设导体尺寸、电流、磁场如图，单位体积内自由电子数为n，电子电量e，定向运动的平均速度v，则导体中电流：① 由于洛仑兹力作用，自由电子向上表面聚积，下表带正电，上、下表电势差U，这个电压在导体中产生的电场力 ② 当FE和FB抵消时，导体达平衡状态，③ 由上三式得 。
例5：当平行板电容器的负极板为一定波长的光所照射时，我们发现这个负极板上有电子从各个方向射出来，电子脱离负极板时速率很小，可以忽略不计，设电容器两极间距为d，两极板间电势差为U，求：要使这些电子到达不了正极板，应该施加一个多大的与极板平行的磁场？
P
vx
x
d
＋
－

例6：在空间有相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B，电场方向为y，磁场方向为x，一电子从原点O静止释放，求电子在y方向前进的最大距离。

α
B
x
y
v0
O
E
Z
例7：在相互逆平行的匀强电场E和匀强磁场B中，E沿x轴负方向，B沿x轴正方向，一电子以初速度v0与x轴成α角（在xoy平面内）自原点射出，求：（1）电子运动的轨迹；（2）电子在Z方向偏转的最大距离。

例8：磁感应强度为B0的匀强磁场沿Z方向，匀强电场E0沿y轴，一点电荷－q放在坐标原点，由静止释放，试求：（1）电荷－q在y轴偏转的最大距离；（2）电荷－q沿x方向的平均速度和沿y方向的平均加速度。

a
α
α
T
M
例9：如图，被U＝1000V电压加速的电子从电子枪射出来，沿直线a方向运动，要求击中在a方向，距枪口5cm的目标M，求以下两种情况下所用的磁感应强度B。（1）磁场垂直于由直线a与TM所决定的平面；（2）磁场平行于TM。

五、电磁感应
V
L
a
b
F
由磁场激发电场或电动势的过程叫电磁感应，由于电磁感应发生的机理不同，可分为动生电动势和感生电动势。
1．动生电动势
导体在磁场中切割磁感线，在导体两端产生感生电动势的现象，动生电动势的产生是由于洛仑兹力的作用，如图，导体ab在均匀磁场B中切割B线运动，速度v，导体长L，由于导体中所有自由电子也都随导体一起以v向右运动，∴受洛仑兹力。这样就使导体b、a端分别积聚了负、正电荷，形成了感生电场，这种自由电子的定向移动一直要进行到为止，即，∴，可见在电磁感应中（动生）是洛仑兹力充当了搬运电荷的非静电力，当v与B成角时，。
2．感生电动势
B
E
E
E
E
导体相对磁场静止，由于磁场的变化而引起导体内感生电动势的现象叫感生电磁感应。产生感生电磁现象的原因是涡旋电场的作用，假如有一个局限在圆柱形范围内的匀强磁场B，B方向平行于圆柱的轴，当B大小增加时，感生电场方向如右图，由于对称性，在回路上各点感应电场E方向必与回路相切，E线是一些同心圆，E线闭合，无头无尾，象涡旋一样，∴由B变化激发的电场又叫涡旋电场，设磁场区域半径R，涡旋电场半径r，则根据法拉弟电磁感应定律：，又∵，∴
a
O
d
c
b
a
b
c
r≤R

r＞R

例10：如图，，磁场正以速率增大，求杆ac的电势差。（若正方形abcd边长为L，O为ab中点，求Ubc、Uac）

V
θ
b
a
a
θ
a
V
例11：将一个半径为a，电阻为r的圆形导线，接上一个电阻为R的电压表后按图a、b两种方式放在磁场中，连接电压表的导线电阻可忽略。a、b图中的圆心角都是θ，均匀变化的磁场垂直于圆面，变化率，问a、b中电压表读数各是多少？

例12：如图，OC为一绝缘杆，C端固定一金属细杆MN，已知MC＝CN，MN＝OC＝R，∠MCO＝60˚，此结构整体可绕O点在纸面内沿顺时针方向以匀角速度ω转动，空间中有垂直于纸平面的，磁感应强度为B的匀强磁场，则MN两点间电势差UMN＝？
C
N
M
60˚
O

O
A
B

例13：半径为R的金属圆环是由两种等长，等粗但较细的不同金属材料组合而成，斜线所示材料的电阻率为另一种材料的2倍，此圆环放在如图均匀磁场中，当圆环所围面积内磁场以△B／△t＝K的速率均匀增加时，求分界面上A、B两处的电势差。

例14：假想有一水平方向的匀强磁场，磁感应强率B很大，有一半径为R，厚d的（d<<R）金属圆盒，在此磁场中竖直下落，盘面始终在竖直平面内且与B平行，若要求圆盘磁场中下落的加速度比自由落体加速度小千分之一，试估算B的数值，设金属盘电阻为零，密度ρ＝9×103kg/m3，其介电常数ε＝9×10－12C2/N·m2。
R
B

例15：S为一离子源，它能机会均等地向各方向持续大量发射正离子，离子质量m，电量q，速率皆为v0，在离子源右侧有一半径为R的圆屏，S位于圆屏轴线上，空间有一平行于轴线向右的匀强磁场，磁感应强度为B，发射的离子中，有的离子不论SO距离如何，总能打到圆盘上，求这类离子占离子总数的比例（不考虑离子间碰撞）
R
O
S
O′

C
e
f
B
例16：如图，在竖直放置的两条光滑平行长导轨的上端，接有一个电容为C，击穿电压为UB的电容器，有一匀强磁场与导轨平面垂直，磁感应强度为B，现有一质量m，长为L的金属杆ef在t＝0时以初速度v0沿导轨下滑，问：金属杆ef下滑多长时间电容器就被击穿？设图中任何部分电阻和电感均可忽略。

例17：一根长为a、b、c（a>b>c）的矩形截面长棒，由半导体锑化铟制成，棒中有平行于a边的电流I通过，该棒放在平行于C的外磁场B中，电流I产生的磁场忽略不计，该电流的载流子为电子，在只有电场存在时，电子在半导体中的平均速度v＝μE，其中μ为迁移率。（1）确定在棒中产生上述电流的总电场的大小和方向；（2）计算夹b边的两表面上相对两点之间的电势差；（3）如果电流和磁场都是交变的，且分别为I＝I0sinωt，B＝B0sin(ωt＋φ)，求（2）中电势差的直流分量的表达式，已知数据：μ＝7.8m2/V·S，电子密度n＝2.5×1022/m3，I＝1.0A，B＝1.0T，b＝1.0cm，C＝1.0mm，c＝1.6×10－19C。
a
b
c

V
B
2d
e
a
B
d
b
f
例18：一横截面为矩形的水平金属板，宽为d，两侧由滑动接头e和f通过细金属杆与小电压表相连，金属杆ab长2d，位于水平位置，整个装置处在方向竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场中，不计金属杆和金属板的电阻，问电压表读数为多少？a点比b点的电势高多少？b点电势比e点高多少？（1）若金属板以恒定的水平速度v向右运动，但电压表和金属杆保持静止；（2）若电压表和金属杆一起以恒定的水平速度v向左运动但金属板保持静止；（3）若整个装置一起以恒定v向右运动。

例19：一电阻为R的长方形线圈abcd沿着磁针所指的南北方向平放在北半球的一个水平桌面上，ab＝L1，bc＝L2，现突然将线圈翻转180˚，使ab与dc边互换位置，测得导线中流过的电量为Q1，然后维持ad边不动，将线圈绕ad边转动，使之突然竖直，这次测得导线中流过的电量为Q2，试求该处地磁场B的磁感应强度的大小。
a
c
b
d
北
南

B
C
G
a
d
b
例20：一导线围成半径为D的圆环adbc，在圆环所围区域内有一半径为的圆柱形磁场区域，其边界与圆环内切于C点，此区域内有均匀磁场，磁感应强度为B，方向垂直于纸面，磁场随时间增强，变化率，导线ab是圆环的一条直径，与磁场边界相切，设导线ab及被它分割成的两半圆电阻都是，今用一电流计G接在a、b两点之间，电流计位于纸平面内，内阻亦为，（连接电流计的两导线电阻不计），试问下列情况下，通过电流计的电流Ig为多少？（1）半圆环acb和adb都位于纸面内，并分别位于ab的两则；（2）半圆环adb绕直径ab转过90˚，折成与纸面垂直；（3）半圆环再绕ab转90˚，折成与acb重合。

例21：如图，无限长螺线管（垂直于纸平面）中的电流大小随时间线性增长，方向如图中箭头所示，直流电流的电动势等于包围螺线管回路的感应电动势，均为ε、1、2、3是三个完全一样的灯泡，其电阻均为R，电池内阻为（<<R），试问：（1）通过三个灯泡的电流强度各是多少？（2）在图示电路中，用短路导线①经螺线管右侧连接A、B，通过每个灯泡的电流强度又如何？A、B两点哪一点的电势高？（3）如图电路中，用短路导线②经螺线管左侧连接A、B，通过每个灯泡的电流强度为多少？电池的端电压为多少？A、B两点的电势哪点高？（注：短路导线①、②原图没有）。
ε
r
I
A
D
②
I1
1
B
I
I2
2
3
①
C

R
v0
A
B
例22：AB杆受一冲量后以初速度V0沿水平面内的导轨运动，经一段时间后而停止，V0＝4m/s，AB的质量m＝5kg，导轨宽L＝0.4m，电阻R＝2Ω，其余电阻不计，磁场B＝0.4T，摩擦因数μ＝0.4，测得整个过程中通过导线的电量q＝10－2C，求：（1）整个过程中产生的电热；（2）AB杆的运动时间。

六、自感与互感
（1）当流过电路本身的电流发生变化时（如电路的通、断等），在电路中产生阻碍电流变化的感生电动势，这种电磁感应现象叫自感，在自感现象中产生的感生电动势叫自感电动势εL，。L~自感系数，自感电动势总是阻碍原电流的变化（方向）。
n2
V1
n1
n2
n1
U1
U2
（2）互感和变压器，因一个电路中电流发生变化，而在邻近的另一个电路中引起感应电动势的现象叫互感，变压器就是利用互感现象来改变交变电压的，变压器构造如图，原副线圈匝数分别为n1、n2，理想变压器条件：①无漏磁②线圈电阻不计③铁心涡流损失不计④原副线圈感抗→∞，对理想变压器有：，，，，∴，又∵U1I1＝U2I2，∴，对多个线圈的变压器，U1I1＝U2I2＋U3I3＋…＋UnIn，，……对日字型变压器，若铁芯截面相等，则：， ，∴
例23：如图，光滑水平面上，有边长l＝0.8m的正方形导线框abcd，质量m＝100g，自感系数L＝10－3V·S/A，电阻不计，当t＝0时，线框的bc边以初速vo＝4m/s进入磁感应强度为B的有界匀强磁场区域，磁场区域宽S＝0.2m，B＝0.5T，方向如图，试分析bc边的运动。
a
b
b
c
d
S

（三）方法和技巧
一、微元法
R
B
v0
例24：质量为m的跨接杆可无摩擦地沿水平平行导轨滑行，两轨间距L，导轨与电阻R连接，放在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，跨接杆的初速度为vo，如图，试求跨接杆运动到停下来所滑行的距离。

C
B
α
例25：质量为m的金属杆，可以沿着与水平面成α角的两根彼此相距为L的平行金属导轨无摩擦地滑动，两根导轨下部接有电容为C的电容器，整个装置放在竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图，金属杆在导轨上某一位置由静止释放，求杆下滑的距离随时间变化的规律。

二、等效法（见例11，例20，例21等）
三、对称法
V
P
Q
例26：半径为r的均匀导体环，电阻为R，放在均匀磁场中，，P、Q是直径上的两点，电压表读数是多少？

q
例27：如图，质量m的小珠可沿半径为r的圆环轨道运动，小珠带正电q，环处于与环同心的边界为圆柱面的匀强磁场区域中，磁感应强度随时间变化，在t＝0时，B＝0，小珠静止在环上，0<t<T时，B随时间均匀增大，在t≥T时，B＝B0不变，试定量地讨论t>0时小球的运动情况及小珠对轨道的作用力，不计重力和摩擦力。

四、存在极限运动问题
例28：质量m，带电+q的小环套在一根足够长的与水平成θ角的绝缘细杆上，杆与环的动摩擦因数为μ(tgθ>μ)，整个装置放在磁感应强度为B的匀强磁场中，如图。小环从杆上端无初速释放，求小环下滑过程中的加速度和速度的最大值。

θ
q
m

B
1
2
A
例29：如图，转轮1和2的轮缘都是很薄的良导体，每个转轮都有四根轮辐，辐条长L，电阻为r，两个轮都可绕各自的轮轴转动，两轮边缘，两轮轴都通过电刷用导线连接，整个装置放在磁感应强度为B的匀强磁场中，B方向如图，转轮2的边缘与一阻力闸A接触，今设法使转轮1以角速度ω1旋转（ω1恒定），不计电刷及导线电阻，而阻力闸对转轮2的阻力恒为F，当转轮2转动起来，并达稳定时，求（1）转轮2的角速度ω2，（2）使转轮1以恒定的角速度ω1旋转所需的功率。

五、发现隐含条件（例15属于此类情况）
例30：如图，一金属板折成狭长的矩形框架，框架一边开有小孔，框架在图中的匀强磁场中以速度v1向右运动，此时框架右边的小孔射入一带电油滴，油滴速度为v2，方向向左，若油滴恰好在框架内作匀速圆周运动，问油滴运动的半径与周期各是多少？
v1
v2

六、数学方法
ε
B
例31：位于水平面内的两条平行导轨相距L＝0.3m，中间由ε＝6v，内阻不计的电源连接，将一根R＝5Ω的金属棒垂直架在两根导轨上，整个装置放在竖直向下的匀强磁场中，金属棒滑动时受到的摩擦力f＝0.18N，导轨电阻不计，求金属棒可能获得的最大速度及这时磁感应强度B的值。

七、其它
例32：如图，在空间中，有垂直于xoy平面的圆柱形磁场区域，里面匀强磁场磁感应强度为B，与圆柱区域轴线平行，有一质量为m，带电量q的粒子，从a点以速度v垂直于y轴进入第一象限，经过匀强磁场区域后，又从b点垂直于x轴射出，求此圆柱磁场区域的最小半径（94年高考题）
x
v
o
a
v
y
b

v0
θ
D

例34：如图，在虚线所示的宽度为D的范围内，用场强为E的匀强电场可使初速度为vo的某种正离子偏转θ角，在同样宽度范围内，若改用匀强磁场（方向垂直于纸面向外）使同样离子穿过该区域，并使偏转角也为θ，求：（1）磁感应强度B，（2）离子穿过电场和磁场的时间比是多少？

例35：图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向外，O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q，质量为m的速率v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力和粒子间的相互作用，（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径；（2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。（99年高考）
M
N
O
P

例36：设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场，已知电场强度E方向与磁感应强度B方向是相同的，且E＝4.0v/m，B＝0.15T，今有一带负电的粒子以v＝20m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的荷质比q/m以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表示）（96高考）

例37：一质量为m，带电量为q的粒子以速度vo从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的圆形匀强域内，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角为30˚，如图所示，粒子重力不计，试求：（1）圆形磁场区域的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到b点所经历的时间及b点的坐标值。
x
y
v0
m、q
O
b
30˚

x
y
v0
O
m
q
例38：如图所示，在xoy平面内，有一半径为r的圆形匀强磁场区，磁场的磁感强度为B，方向垂直于xoy平面向外。一质量为m，电量为q的正离子，从原点O沿y轴正方向以速度vo开始进入磁场中运动。已知正离子在磁场中运动的轨道半径大于r， 不计重力。（1）改变圆形磁场区圆心的位置，可改变正离子从磁场区射出时的偏转角，求正离子从磁场区射出时的最大偏转角；（2）若改变圆形磁场区半径r的值（但仍保持r比轨道半径小），要使正离子以相应的最大偏转角射出磁场后均可穿过x轴，求满足上述条件的r的取值范围。

2L
L
v0
m
q
a
B
b
C
2B

例39：如图，三条足够长的平行虚线a、b、c相距分别为2L和L，其间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度分别为B和2B，质量为m，带电量为q的粒子沿垂直于界面a的方向射入磁场区域，不计重力，为使粒子能从界面C射出，粒子的初速度大小应满足什么条件？

x
y
O
v
P
θ
v
M
例40：如图所示，y轴右方有方向垂直于纸面的匀强磁场，一个质量为m，电量为q的质子以速度v水平向右通过x轴上的P点，最后从y轴上的M点射出磁场，已知M点到原点O的距离为H，v方向与负y方向夹角θ＝30˚，求：（1）磁感强度的大小和方向；（2）适当时候，在y轴右方再加一个匀强电场就可使质子最终能沿y轴正方向做匀速直线运动，从质子经过P点开始计时，再经多长时间加这个电场？电场强度多大？方向如何？

x/m
y/m
B
A
O
E

例41：如图所示的空间区域里，y轴左方有一匀强电场，E方向与y负方向成30˚角，大小E＝4.0×105N/C，y轴右方有一方向垂直纸面向里的匀强磁场，由x轴上的A点，第一次沿x轴正方向发射一质子，速度v0＝2.0×106m/s，第二次以同样大小的速度沿x负方向发射质子，回旋后都垂直于电场方向射入电场，然后又进入磁场，已知质子质量mH＝1.6×10－27kg，求：（1）匀强磁场的B＝？（2）两次发射的质子在磁场中运动的时间之比；（3）两次发射的质子在电场中运动的时间各是多少？

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